№ 102ГДЗ ответы к учебнику Алгебра 8 класс, Мерзляк, Полонский, Якир

Ответы к странице 102

398. Найдите значение выражения:
1) $0,15sqrt{3600} — 0,18sqrt{400} + (10sqrt{0,08})^2$;
2) $frac{95}{sqrt{361}} — frac{13}{14}sqrt{1frac{27}{169}} + sqrt{8^2 + 15^2}$;
3) $(-8sqrt{frac{1}{4}} + frac{sqrt{1,44}}{3} * sqrt{12,25}) : (0,1sqrt{13})^2$.

Решение:

1) $0,15sqrt{3600} — 0,18sqrt{400} + (10sqrt{0,08})^2 = 0,15 * 60 — 0,18 * 20 + 10^2 * (sqrt{0,08})^2 = 9 — 3,6 + 100 * 0,08 = 5,4 + 8 = 13,4$

2) $frac{95}{sqrt{361}} — frac{13}{14}sqrt{1frac{27}{169}} + sqrt{8^2 + 15^2} = frac{95}{19} — frac{13}{14} * sqrt{frac{196}{169}} + sqrt{64 + 225} = 5 — frac{13}{14} * frac{14}{13} + sqrt{289} = 5 — 1 + 17 = 4 + 17 = 21$

3) $(-8sqrt{frac{1}{4}} + frac{sqrt{1,44}}{3} * sqrt{12,25}) : (0,1sqrt{13})^2 = (-8 * frac{1}{2} + frac{1,2}{3} * 3,5) : (0,1^2 * (sqrt{13})^2) = (-4 + 0,4 * 3,5) : (0,01 * 13) = (-4 + 1,4) : 0,13 = -2,6 : 0,13 = -20$

399. При каких значениях x имеет смысл выражение:
1) $sqrt{x}$;
2) $sqrt{-x}$;
3) $sqrt{x^2}$;
4) $sqrt{-x^2}$;
5) $sqrt{x — 8}$;
6) $sqrt{8 — x}$;
7) $sqrt{x^2 + 8}$;
8) $sqrt{(x — 8)^2}$;
9) $frac{1}{sqrt{(x — 8)^2}}$;
10) $frac{1}{sqrt{x} — 3}$;
11) $frac{1}{sqrt{x} + 3}$;
12) $sqrt{x} * sqrt{-x}$;
13) $frac{1}{sqrt{x} * sqrt{-x}}$;
14) $sqrt{|x|}$;
15) $sqrt{-|x|}$;
16) $frac{1}{sqrt{|x|}}$?

Решение:

1) $sqrt{x}$
имеет смысл при x ≥ 0

2) $sqrt{-x}$
имеет смысл при x ≤ 0

3) $sqrt{x^2}$
имеет смысл при любом значении x

4) $sqrt{-x^2}$
имеет смысл при x = 0

5) $sqrt{x — 8}$
x − 8 ≥ 0
x ≥ 8
имеет смысл при x ≥ 8

6) $sqrt{8 — x}$
8 − x ≥ 0
−x ≥ −8
x ≤ 8
имеет смысл при x ≤ 8

7) $sqrt{x^2 + 8}$
имеет смысл при любом значении x

8) $sqrt{(x — 8)^2}$
имеет смысл при любом значении x

9) $frac{1}{sqrt{(x — 8)^2}}$
$sqrt{(x — 8)^2} ≠ 0$
x − 8 ≠ 0
x ≠ 8
имеет смысл при любом x, кроме x = 8

10) $frac{1}{sqrt{x} — 3}$
$sqrt{x} — 3 ≠ 0$
$sqrt{x} ≠ 3$
$(sqrt{x})^2 ≠ 3^2$
x ≠ 9
имеет смысл при x ≥ 0, кроме x = 9

11) $frac{1}{sqrt{x} + 3}$
имеет смысл при x ≥ 0

12) $sqrt{x} * sqrt{-x}$
имеет смысл при x = 0

13) $frac{1}{sqrt{x} * sqrt{-x}}$
не имеет смысл ни при каких x

14) $sqrt{|x|}$
имеет смысл при любом значении x

15) $sqrt{-|x|}$
имеет смысл ни при x = 0

16) $frac{1}{sqrt{|x|}}$
$|x| ≠ 0$
x ≠ 0
имеет смысл при любом x, кроме x = 0

400. При каких значениях y имеет смысл выражение:
1) $sqrt{2y}$;
2) $sqrt{-3y}$;
3) $sqrt{y^3}$;
4) $sqrt{-y^3}$;
5) $sqrt{-y^4}$;
6) $frac{1}{sqrt{y}}$;
7) $frac{1}{sqrt{y} — 1}$;
8) $frac{1}{sqrt{y} + 1}$?

Решение:

1) $sqrt{2y}$
имеет смысл при y ≥ 0

2) $sqrt{-3y}$
имеет смысл при y ≤ 0

3) $sqrt{y^3}$
имеет смысл при y ≥ 0

4) $sqrt{-y^3}$
имеет смысл при y ≤ 0

5) $sqrt{-y^4}$
имеет смысл при y = 0

6) $frac{1}{sqrt{y}}$
$sqrt{y} ≠ 0$
y ≠ 0
имеет смысл при y > 0

7) $frac{1}{sqrt{y} — 1}$
$sqrt{y} — 1 ≠ 0$
$sqrt{y} ≠ 1$
$(sqrt{y})^2 ≠ 1^2$
y ≠ 1
имеет смысл при y ≥ 0, кроме y = 1

8) $frac{1}{sqrt{y} + 1}$
имеет смысл при y ≥ 0

401. Решите уравнение:
1) $sqrt{5x} — 4 = 0$;
2) $sqrt{5x — 4} = 0$;
3) $sqrt{5x — 4} = 6$;
4) $frac{42}{sqrt{x}} = 6$;
5) $frac{18}{sqrt{x + 3}} = 9$;
6) $sqrt{x^2 — 36} = 8$.

Решение:

1) $sqrt{5x} — 4 = 0$
имеет смысл при x ≥ 0

$sqrt{5x} = 4$
$(sqrt{5x})^2 = 4^2$
5x = 16
x = 3,2
3,2 ≥ 0
Ответ: 3,2

2) $sqrt{5x — 4} = 0$
имеет смысл при:
5x − 4 ≥ 0
5x ≥ 4
x ≥ 0,8

5x − 4 = 0
5x = 4
x = 0,8
0,8 ≥ 0,8
Ответ: 0,8

3) $sqrt{5x — 4} = 6$
имеет смысл при:
5x − 4 ≥ 0
5x ≥ 4
x ≥ 0,8

$(sqrt{5x — 4})^2 = 6^2$
5x − 4 = 36
5x = 36 + 4
5x = 40
x = 8
8 ≥ 0,8
Ответ: 8

4) $frac{42}{sqrt{x}} = 6$
имеет смысл при x ≥ 0

$(frac{42}{sqrt{x}})^2 = 6^2$
$frac{1764}{x} = 36$
$x = frac{1764}{36}$
x = 49
49 ≥ 0
Ответ: 49

5) $frac{18}{sqrt{x + 3}} = 9$
имеет смысл при:
x + 3 > 0
x > −3

$(frac{18}{sqrt{x + 3}})^2 = 9^2$
$frac{324}{x + 3} = 81$
$x + 3 = frac{324}{81}$
x + 3 = 4
x = 4 − 3
x = 1
1 > −3
Ответ: 1

6) $sqrt{x^2 — 36} = 8$
имеет смысл при:
$x^2 — 36 ≥ 0$

$(sqrt{x^2 — 36})^2 = 8^2$
$x^2 — 36 = 64$
$x^2 = 64 + 36$
$x^2 = 100$
x = ±10
$(±10)^2 — 36 ≥ 0$
100 − 36 ≥ 0
64 ≥ 0
Ответ: x = −10 и x = 10

402. Решите уравнение:
1) $frac{1}{3}sqrt{x} — 2 = 0$;
2) $sqrt{2x + 3} = 11$;
3) $frac{4}{sqrt{x — 5}} = 6$;
4) $sqrt{130 — x^2} = 9$.

Решение:

1) $frac{1}{3}sqrt{x} — 2 = 0$
имеет смысл при x ≥ 0

$frac{1}{3}sqrt{x} = 2$
$(frac{1}{3}sqrt{x})^2 = 2^2$
$frac{1}{9}x = 4$
x = 4 * 9
x = 36
36 ≥ 0
Ответ: 36

2) $sqrt{2x + 3} = 11$
имеет смысл при:
2x + 3 ≥ 0
2x ≥ −3
x ≥ −1,5

$(sqrt{2x + 3})^2 = 11^2$
2x + 3 = 121
2x = 121 − 3
2x = 118
x = 59
59 ≥ −1,5
Ответ: 59

3) $frac{4}{sqrt{x — 5}} = 6$
имеет смысл при:
x − 5 > 0
x > 5

$(frac{4}{sqrt{x — 5}})^2 = 6^2$
$frac{16}{x — 5} = 36$
$x — 5 = frac{16}{36}$
$x = frac{4}{9} + 5$
$x = 5frac{4}{9}$
$5frac{4}{9} — 5 > 0$
$frac{4}{9} > 0$
Ответ: $5frac{4}{9}$

4) $sqrt{130 — x^2} = 9$
имеет смысл при:
$130 — x^2 ≥ 0$

$(sqrt{130 — x^2})^2 = 9^2$
$130 — x^2 = 81$
$x^2 = 130 — 81$
$x^2 = 49$
x = ±7
$130 — (±7)^2 ≥ 0$
$130 — 49 ≥ 0$
$81 ≥ 0$
Ответ: −7 и 7

403. Решите уравнение:
1) $(x + 6)^2 = 0$;
2) $(x + 6)^2 = 9$;
3) $(x + 6)^2 = 3$;
4) $(7x + 6)^2 = 5$.

Решение:

1) $(x + 6)^2 = 0$
x + 6 = 0
x = −6
Ответ: −6

2) $(x + 6)^2 = 9$
$(x + 6)^2 = (±3)^2$
x + 6 = −3
x = −3 − 6
x = −9
или
x + 6 = 3
x = 3 − 6
x = −3
Ответ: −9 и −3

3) $(x + 6)^2 = 3$
$x + 6 = ±sqrt{3}$
$x + 6 = sqrt{3}$
$x = sqrt{3} — 6$
или
$x + 6 = -sqrt{3}$
$x = -sqrt{3} — 6$
Ответ: $-sqrt{3} — 6$ и $sqrt{3} — 6$

4) $(7x + 6)^2 = 5$
$7x + 6 = ±sqrt{5}$
$7x + 6 = sqrt{5}$
$7x = sqrt{5} — 6$
$x = frac{sqrt{5} — 6}{7}$
или
$7x + 6 = -sqrt{5}$
$7x = -sqrt{5} — 6$
$x = frac{-sqrt{5} — 6}{7}$
Ответ: $frac{-sqrt{5} — 6}{7}$ и $frac{sqrt{5} — 6}{7}$

404. Решите уравнение:
1) $(2x — 3)^2 = 25$;
2) $(x — 3)^2 = 7$;
3) $(2x — 3)^2 = 7$.

Решение:

1) $(2x — 3)^2 = 25$
$(2x — 3)^2 = (±5)^2$
2x − 3 = −5
2x = −5 + 3
2x = −2
x = −1
или
2x − 3 = 5
2x = 5 + 3
2x = 8
x = 4
Ответ: −1 и 4

2) $(x — 3)^2 = 7$
$x — 3 = ±sqrt{7}$
$x — 3 = -sqrt{7}$
$x = -sqrt{7} + 3$
или
$x — 3 = sqrt{7}$
$x = sqrt{7} + 3$
Ответ: $-sqrt{7} + 3$ и $sqrt{7} + 3$

3) $(2x — 3)^2 = 7$
$2x — 3 = ±sqrt{7}$
$2x — 3 = -sqrt{7}$
$2x = -sqrt{7} + 3$
$x = frac{-sqrt{7} + 3}{2}$
или
$2x — 3 = sqrt{7}$
$2x = sqrt{7} + 3$
$x = frac{sqrt{7} + 3}{2}$
Ответ: $frac{-sqrt{7} + 3}{2}$ и $frac{sqrt{7} + 3}{2}$

405. Решите уравнение:
1) $sqrt{3 + sqrt{2 + x}} = 4$;
2) $sqrt{2 + sqrt{3 + sqrt{x}}} = 3$;
3) $sqrt{4 — sqrt{10 + sqrt{x}}} = 2$.

Решение:

1) $sqrt{3 + sqrt{2 + x}} = 4$
имеет смысл при:
2 + x ≥ 0
x ≥ −2
$(sqrt{3 + sqrt{2 + x}})^2 = 4^2$
$3 + sqrt{2 + x} = 16$
$sqrt{2 + x} = 16 — 3$
$sqrt{2 + x} = 13$
$(sqrt{2 + x})^2 = 13^2$
2 + x = 169
x = 169 − 2
x = 167
167 ≥ −2
Ответ: 167

2) $sqrt{2 + sqrt{3 + sqrt{x}}} = 3$
имеет смысл при:
x ≥ 0
$(sqrt{2 + sqrt{3 + sqrt{x}}})^2 = 3^2$
$2 + sqrt{3 + sqrt{x}} = 9$
$sqrt{3 + sqrt{x}} = 9 — 2$
$sqrt{3 + sqrt{x}} = 7$
$(sqrt{3 + sqrt{x}})^2 = 7^2$
$3 + sqrt{x} = 49$
$sqrt{x} = 49 — 3$
$sqrt{x} = 46$
$(sqrt{x})^2 = 46^2$
x = 2116
2116 ≥ 0
Ответ: 2116

3) $sqrt{4 — sqrt{10 + sqrt{x}}} = 2$
имеет смысл при:
x ≥ 0
$(sqrt{4 — sqrt{10 + sqrt{x}}})^2 = 2^2$
$4 — sqrt{10 + sqrt{x}} = 4$
$-sqrt{10 + sqrt{x}} = 4 — 4$
$-sqrt{10 + sqrt{x}} = 0$
$sqrt{10 + sqrt{x}} = 0$
$10 + sqrt{x} = 0$
$sqrt{x} = -10$ − нет корней
Ответ: нет корней