Ответы к странице 104
418. Дома на улице пронумерованы подряд числами от 1 до 24. Сколько раз цифра 1 встречается в нумерации домов?
Решение:
Цифра 1 встречается в числах:
1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21 − всего 13 раз.
Ответ: 13 раз
419. Упростите выражение:
$(frac{a}{a^2 — 25} + frac{5}{5 — a} + frac{1}{a + 5}) : (frac{28 — a^2}{a + 5} + a — 5)$.
Решение:
$(frac{a}{a^2 — 25} + frac{5}{5 — a} + frac{1}{a + 5}) : (frac{28 — a^2}{a + 5} + a — 5) = (frac{a}{(a — 5)(a + 5)} — frac{5}{a — 5} + frac{1}{a + 5}) : frac{28 — a^2 + a(a + 5) — 5(a + 5)}{a + 5} = frac{a — 5(a + 5) + a — 5}{(a — 5)(a + 5)} : frac{28 — a^2 + a^2 + 5a — 5a — 25}{a + 5} = frac{a — 5a — 25 + a — 5}{(a — 5)(a + 5)} : frac{3}{a + 5} = frac{-3a — 30}{(a — 5)(a + 5)} : frac{3}{a + 5} = frac{3(-a — 10)}{(a — 5)(a + 5)} * frac{a + 5}{3} = frac{-a — 10}{a — 5} = -frac{a + 10}{a — 5}$
420. Рабочий получил 4700 р. аванса купюрами по 100 р. и по 500 р. Сколько было купюр каждого достоинства, если всего была 31 купюра?
Решение:
Пусть:
x (купюр) − было по 100 рублей;
y (купюр) − было по 500 рублей.
Зная, что рабочий получил 4700 рублей и всего была 31 купюра, можно составить систему уравнений:
$begin{equation*} begin{cases} 100x + 500y = 4700 &\ x + y = 31 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} 100x + 500y = 4700 &\ x = 31 — y& end{cases} end{equation*}$
100(31 − y) + 500y = 4700
3100 − 100y + 500y = 4700
400y = 4700 − 3100
400y = 1600
y = 4 (купюры) − было по 500 рублей;
x = 31 − y = 31 − 4 = 27 (купюр) − было по 100 рублей.
Ответ: 27 купюр по 100 рублей и 4 купюры по 500 рублей.
№421. Найдите все трехзначные натуральные числа n такие, что сумма цифр числа n в 11 раз меньше самого числа n.
Решение:
Самое большое натуральное трехзначное число n = 999.
Сумма его цифр 9 + 9 + 9 = 27.
Поскольку сумма в 11 раз меньше самого числа, то максимальное число можно найти как
27 * 11 = 297
Остается выбрать трехзначные числа меньше 297-ми и проверить удовлетворение условию задачи.
Кратны 11: 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 209, 220, 231, 242, 253, 264, 275, 286, 297.
Выпишем и проверим все трехзначные числа, меньшие 287 и кратные 11.
n = 110:
сумма цифр равна: 1 + 1 = 2
2 * 11 = 22 ≠ 110 − не подходит.
n = 121:
сумма цифр равна: 1 + 2 + 1 = 4
4 * 11 = 44 ≠ 121 − не подходит.
n = 132:
сумма цифр равна: 1 + 3 + 2 = 6
6 * 11 = 66 ≠ 132 − не подходит.
n = 143:
сумма цифр равна: 1 + 4 + 3 = 8
8 * 11 = 88 ≠ 143 − не подходит.
n = 154:
сумма цифр равна: 1 + 5 + 4 = 10
10 * 11 = 110 ≠ 154 − не подходит.
n = 165:
сумма цифр равна: 1 + 6 + 5 = 12
12 * 11 = 132 ≠ 165 − не подходит.
n = 176:
сумма цифр равна: 1 + 7 + 6 = 14
14 * 11 = 154 ≠ 176 − не подходит.
n = 187:
сумма цифр равна: 1 + 8 + 7 = 16
16 * 11 = 176 ≠ 187 − не подходит.
n = 198:
сумма цифр равна: 1 + 9 + 8 = 18
18 * 11 = 198 = 198 − подходит.
n = 209:
сумма цифр равна: 2 + 0 + 9 = 11
11 * 11 = 121 ≠ 209 − не подходит.
n = 220:
сумма цифр равна: 2 + 2 + 0 = 4
4 * 11 = 44 ≠ 220 − не подходит.
n = 231:
сумма цифр равна: 2 + 3 + 1 = 6
6 * 11 = 66 ≠ 231 − не подходит.
n = 242:
сумма цифр равна: 2 + 4 + 2 = 8
8 * 11 = 88 ≠ 242 − не подходит.
n = 253:
сумма цифр равна: 2 + 5 + 3 = 10
10 * 11 = 110 ≠ 253 − не подходит.
n = 264:
сумма цифр равна: 2 + 6 + 4 = 12
12 * 11 = 132 ≠ 264 − не подходит.
n = 275:
сумма цифр равна: 2 + 7 + 5 = 14
14 * 11 = 154 ≠ 275 − не подходит.
n = 286:
сумма цифр равна: 2 + 8 + 6 = 16
16 * 11 = 176 ≠ 286 − не подходит.
n = 297:
сумма цифр равна: 2 + 9 + 7 = 18
18 * 11 = 198 ≠ 297 − не подходит.
Ответ: n = 198