Ответы к странице 123
484. Истинным или ложным является высказывание:
1) сумма двух иррациональных чисел является числом иррациональным;
2) произведение любых двух иррациональных чисел является числом иррациональным;
3) произведение любого иррационального числа и любого рационального числа является число иррациональным?
Решение:
1) Высказывание ложное, так как например:
$sqrt{5} + (-sqrt{5}) = sqrt{5} — sqrt{5} = 0$ − число рациональное2) Высказывание ложное, так как например:
$sqrt{5} * sqrt{5} = (sqrt{5})^2 = 5$ − число рациональное
Решение e
Высказывание ложное, так как например:
$sqrt{5} * 0 = 0$ − число рациональное
485. В каждом подъезде на каждом этаже девятиэтажного дома по восемь квартир. В каком подъезде и на каком этаже находится квартира № 186?
Решение:
1) 8 * 9 = 72 (квартиры) − находится в каждом подъезде;
2) $frac{186}{72} = 2frac{42}{72}$ − значит квартира № 186 находится в третьем подъезде и является 42−ой по счету;
3) $frac{42}{8} = 5frac{2}{8}$ − значит квартира № 186 находится на шестом этаже.
Ответ: квартира № 186 находится в третьем подъезде на шестом этаже.
486. Натуральные числа a и b таковы, что a − четное число, a b − нечетное. Значение какого из данных выражений не может быть натуральным числом:
1) $frac{8b}{5a}$;
2) $frac{a^2}{b^2}$;
3) $frac{4a}{b}$;
4) $frac{b^2}{a}$?
Решение:
Пусть:
a = 2n
b = 2m + 1
Тогда:
1)
$frac{8b}{5a} = frac{8(2m + 1)}{5 * 2n} = frac{16m + 8}{10n} = frac{2 * (8m + 4)}{2 * 5n} = frac{8m + 4}{5n}$
при m = 2 и n = 2:
$frac{8 * 2 + 4}{5 * 2} = frac{20}{10} = 2$ − число натуральное.
2)
$frac{a^2}{b^2} = frac{(2n)^2}{(2m + 1)^2} = frac{4n^2}{4m^2 + 4m + 1}$
при m = 0 n = 1:
$frac{4 * 1^2}{4 * 0^2 + 4 * 0 + 1} = frac{4}{1} = 4$ − число натуральное.
3)
$frac{4a}{b} = frac{4 * 2n}{2m + 1} = frac{8n}{2m + 1}$
при m = 0 n = 1:
$frac{8 * 1}{2 * 0 + 1} = frac{8}{1} = 8$ − число натуральное.
4)
$frac{b^2}{a} = frac{(2m + 1)^2}{2n} = frac{4m^2 + 4m + 1}{2n} = frac{4m^2}{2n} + frac{4m}{2n} + frac{1}{2n} = frac{2m^2}{n} + frac{2m}{n} + frac{1}{2n}$ − так как при любых значениях m и n число $frac{1}{2n}$ всегда будет не натуральным, значит и сумма $frac{2m^2}{n} + frac{2m}{n} + frac{1}{2n}$ всегда будет числом не натуральным. Следовательно значение $frac{b^2}{a}$ не может быть натуральным числом.
Ответ: 4) $frac{b^2}{a}$
487. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения
$(frac{3}{4 — 4a + a^2} + frac{2}{a^2 — 4}) * (a — 2)^2 — frac{2a — 4}{a + 2}$
не зависит от значения a.
Решение:
$(frac{3}{4 — 4a + a^2} + frac{2}{a^2 — 4}) * (a — 2)^2 — frac{2a — 4}{a + 2} = (frac{3}{a^2 — 4a + 4} + frac{2}{a^2 — 4}) * (a — 2)^2 — frac{2a — 4}{a + 2} = (frac{3}{(a — 2)^2} + frac{2}{(a — 2)(a + 2)}) * (a — 2)^2 — frac{2a — 4}{a + 2} = frac{3(a + 2) + 2(a — 2)}{(a — 2)^2(a + 2)} * (a — 2)^2 — frac{2a — 4}{a + 2} = frac{3a + 6 + 2a — 4}{a + 2} — frac{2a — 4}{a + 2} = frac{5a + 2}{a + 2} — frac{2a — 4}{a + 2} = frac{5a + 2 — (2a — 4)}{a + 2} = frac{5a + 2 — 2a + 4}{a + 2} = frac{3a + 6}{a + 2} = frac{3(a + 2)}{a + 2} = 3$
488. В ведре несколько литров воды. Если отлить половину воды, то в нем останется на 14 л воды меньше, чем помещается. Если долить 4 л, то объем воды составит $frac{2}{3}$ того, что помещается в ведре. Сколько литров воды помещается в ведре?
Решение:
Пусть x (л) − воды налито в ведро, тогда:
$frac{1}{2}x$ (л) − воды останется в ведре, после того как отлили половину;
$frac{1}{2}x + 14$ (л) − воды помещается в ведре;
x + 4 (л) − воды станет в ведре, после того как долили 4 литра;
$(x + 4) : frac{2}{3}$ (л) − воды помещается в ведре.
Так как, вместимость ведра величина неизменная, можно составить уравнение:
$frac{1}{2}x + 14 = (x + 4) : frac{2}{3}$
$frac{1}{2}x + 14 = (x + 4) * frac{3}{2}$
$frac{1}{2}x + 14 = frac{3}{2}x + frac{3}{2} * 4$
$frac{1}{2}x + 14 = frac{3}{2}x + 3 * 2$
$frac{1}{2}x + 14 = frac{3}{2}x + 6$
$frac{1}{2}x — frac{3}{2}x = 6 — 14$
$-frac{2}{2}x = -8$
−x = −8
x = 8
$frac{1}{2}x + 14 = frac{1}{2} * 8 + 14 = 4 + 14 = 18$ (л) − воды помещается в ведре.
Ответ: 18 литров
489. Найдите значение выражения:
1) |−3,5| − |2,6|;
2) |−9,6| − |−32|.
Решение:
1) |−3,5| − |2,6| = 3,5 − 2,6 = 0,9
2) |−9,6| − |−32| = 9,6 − 32 = −22,4
490. Модуль какого числа равен 6?
Решение:
|−6| = 6
|6| = 6
Ответ: −6 и 6
491. Для каких чисел выполняется равенство:
1) |a| = a;
2) |a| = −a;
3) |a| = |−a|;
4) |a| = −|a|?
Решение:
1) |a| = a
при a ≥ 02) |a| = −a
при a ≤ 03) |a| = |−a|
при любом a4) |a| = −|a|
при a = 0
492. Для каких чисел одновременно выполняются оба равенства |a| = a и |a| = −a?
Решение:
Равенства |a| = a и |a| = −a выполняются одновременно при a = 0.
493. Найдите значение каждого их выражений $a^2, (-a)^2, |a|^2$ при a = −8 и при a = 7. Сделайте вывод.
Решение:
при a = −8:
$a^2 = (-8)^2 = 64$
$(-a)^2 = (-(-8))^2 = 8^2 = 64$
$|a|^2 = |-8|^2 = 8^2 = 64$
при a = 7:
$a^2 = 7^2 = 49$
$(-a)^2 = (-7)^2 = 49$
$|a|^2 = |7|^2 = 7^2 = 49$
Вывод: при любом значении a выполняется равенство $a^2 = (-a)^2 = |a|^2$