Ответы к странице 129
§16. Свойства арифметического квадратного корня
Вопросы
1. Какому выражению тождественно равно выражение $sqrt{a^2}$?
Ответ:
Для любого действительного числа а выполняется равенство $sqrt{a^2} = |a|$.
2. Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из степени.
Ответ:
Для любого действительного числа а и любого натурального числа n выполняется равенство $sqrt{a^{2n}} = |a^n|$.
3. Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из произведения.
Ответ:
Для любых действительных чисел а и b таких, что a ≥ 0 и b ≥ 0, выполняется равенство $sqrt{ab} = sqrt{a} * sqrt{b}$.
4. Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из дроби.
Ответ:
Для любых действительных чисел а и b таких, что a ≥ 0 и b ≥ 0, выполняется равенство $sqrt{frac{a}{b}} = frac{sqrt{a}}{sqrt{b}}$
5. Известно, что неотрицательные числа $a_1$ и $a_2$ таковы, что $a_1 > a_2$. Сравните значения выражений $sqrt{a_1}$ и $sqrt{a_2}$.
Ответ:
Для любых неотрицательных чисел $a_1$ и $a_2$ таких, что $a_1 > a_2$, выполняется неравенство $sqrt{a_1} > sqrt{a_2}$.
Упражнения
496. Чему равно значение выражения:
1) $sqrt{0,4^2}$;
2) $sqrt{(-1,8)^2}$;
3) $2sqrt{(-15)^2}$;
4) $3sqrt{1,2^2}$;
5) $sqrt{6^4}$;
6) $sqrt{(-2)^{10}}$;
7) $5sqrt{(-10)^4}$;
8) $-4sqrt{(-1)^{14}}$;
9) $-10sqrt{3^6}$?
Решение:
1) $sqrt{0,4^2} = |0,4| = 0,4$
2) $sqrt{(-1,8)^2} = |-1,8| = 1,8$
3) $2sqrt{(-15)^2} = 2 * |-15| = 2 * 15 = 30$
4) $3sqrt{1,2^2} = 3 * |1,2| = 3 * 1,2 = 3,6$
5) $sqrt{6^4} = sqrt{(6^2)^2} = |6^2| = |36| = 36$
6) $sqrt{(-2)^{10}} = sqrt{((-2)^{5})^2} = |(-2)^5| = |-32| = 32$
7) $5sqrt{(-10)^4} = 5 * sqrt{((-10)^2)^2} = 5 * |(-10)^2| = 5 * |100| = 5 * 100 = 500$
8) $-4sqrt{(-1)^{14}} = -4 * sqrt{((-1)^{7})^2} = -4 * |(-1)^7| = -4 * |-1| = -4 * 1 = -4$
9) $-10sqrt{3^6} = -10 * sqrt{(3^3)^2} = -10 * |3^3| = -10 * |27| = -10 * 27 = -270$
497. Найдите значение выражения:
1) $sqrt{a^2}$, если a = 4,6; −18,6;
2) $sqrt{b^4}$, если b = −3; 1,2;
3) $0,1sqrt{c^6}$, если c = −2; 5.
Решение:
1) $sqrt{a^2}$
$sqrt{a^2} = |a|$
при a = 4,6:
$sqrt{4,6^2} = |4,6| = 4,6$
при a = −18,6:
$sqrt{-18,6^2} = |-18,6| = 18,6$2) $sqrt{b^4} = sqrt{(b^2)^2} = |b^2|$
при b = −3:
$sqrt{(-3)^4} = sqrt{((-3)^2)^2} = |(-3)^2| = |9| = 9$
при b = 1,2:
$sqrt{1,2^4} = sqrt{(1,2^2)^2} = |1,2^2| = |1,44| = 1,44$3) $0,1sqrt{c^6} = 0,1sqrt{(c^3)^2} = 0,1 * |c^3|$
при c = −2:
$0,1sqrt{(-2)^6} = 0,1sqrt{((-2)^3)^2} = 0,1 * |(-2)^3| = 0,1 * |-8| = 0,1 * 8 = 0,8$
при c = 5:
$0,1sqrt{5^6} = 0,1sqrt{(5^3)^2} = 0,1 * |5^3| = 0,1 * 125 = 12,5$