Ответы к странице 131
503. Найдите значение выражения:
1) $frac{sqrt{48}}{sqrt{3}}$;
2) $frac{sqrt{150}}{sqrt{6}}$;
3) $frac{sqrt{6,3}}{sqrt{0,7}}$;
4) $frac{sqrt{98}}{sqrt{242}}$;
5) $frac{sqrt{6} * sqrt{2}}{sqrt{3}}$.
Решение:
1) $frac{sqrt{48}}{sqrt{3}} = sqrt{frac{48}{3}} = sqrt{16} = 4$
2) $frac{sqrt{150}}{sqrt{6}} = sqrt{frac{150}{6}} = sqrt{25} = 5$
3) $frac{sqrt{6,3}}{sqrt{0,7}} = sqrt{frac{6,3}{0,7}} = sqrt{frac{63}{7}} = sqrt{9} = 3$
4) $frac{sqrt{98}}{sqrt{242}} = sqrt{frac{98}{242}} = sqrt{frac{49}{121}} = frac{7}{11}$
5) $frac{sqrt{6} * sqrt{2}}{sqrt{3}} = frac{sqrt{6 * 2}}{sqrt{3}} = frac{sqrt{12}}{sqrt{3}} = sqrt{frac{12}{3}} = sqrt{4} = 2$
504. При каких значения a выполняется равенство:
1) $sqrt{a^2} = a$;
2) $sqrt{a^2} = -a$?
Решение:
1) $sqrt{a^2} = a$
$sqrt{a^2} = |a| $, то есть равенство выполняется при любом неотрицательном a, значит при a ≥ 0.
Ответ: при a ≥ 02) $sqrt{a^2} = -a$
$sqrt{a^2} = |a|$, то есть равенство выполняется при любом неотрицательном a, тогда
−a ≥ 0
a ≤ 0
Ответ: при a ≤ 0
505. При каких значениях a и b выполняется равенство:
1) $sqrt{ab} = sqrt{a} * sqrt{b}$;
2) $sqrt{ab} = sqrt{-a} * sqrt{-b}$;
3) $sqrt{-ab} = sqrt{a} * sqrt{-b}$?
Решение:
1) $sqrt{ab} = sqrt{a} * sqrt{b}$ при a ≥ 0 и b ≥ 0
2) $sqrt{ab} = sqrt{-a} * sqrt{-b}$ при a ≤ 0 и b ≤ 0
3) $sqrt{-ab} = sqrt{a} * sqrt{-b}$ при a ≥ 0 и b ≤ 0
506. Найдите значение выражения, представив предварительно подкоренное выражение в виде произведения квадратов рациональных чисел:
1) $sqrt{18 * 32}$;
2) $sqrt{8 * 98}$;
3) $sqrt{3,6 * 14,4}$;
4) $sqrt{75 * 48}$;
5) $sqrt{288 * 50}$;
6) $sqrt{4,5 * 72}$;
7) $sqrt{2,7 * 1,2}$;
8) $sqrt{80 * 45}$;
9) $sqrt{33 * 297}$.
Решение:
1) $sqrt{18 * 32} = sqrt{9 * 2 * 2 * 16} = sqrt{3^2 * 2^2 * 4^2} = sqrt{3^2} * sqrt{2^2} * sqrt{4^2} = 3 * 2 * 4 = 24$
2) $sqrt{8 * 98} = sqrt{2 * 2 * 2 * 49 * 2} = sqrt{2^2 * 2^2 * 7^2} = sqrt{2^2} * sqrt{2^2} * sqrt{7^2} = 2 * 2 * 7 = 28$
3) $sqrt{3,6 * 14,4} = sqrt{36 * 0,1 * 0,1 * 144} = sqrt{6^2 * 0,1^2 * 12^2} = sqrt{6^2} * sqrt{0,1^2} * sqrt{12^2} = 6 * 0,1 * 12 = 72 * 0,1 = 7,2$
4) $sqrt{75 * 48} = sqrt{25 * 3 * 3 * 16} = sqrt{5^2 * 3^2 * 4^2} = sqrt{5^2} * sqrt{3^2} * sqrt{4^2} = 5 * 3 * 4 = 60$
5) $sqrt{288 * 50} = sqrt{144 * 2 * 2 * 25} = sqrt{12^2 * 2^2 * 5^2} = sqrt{12^2} * sqrt{2^2} * sqrt{5^2} = 12 * 2 * 5 = 120$
6) $sqrt{4,5 * 72} = sqrt{4,5 * 2 * 36} = sqrt{9 * 36} = sqrt{3^2 * 6^2} = sqrt{3^2} * sqrt{6^2} = 3 * 6 = 18$
7) $sqrt{2,7 * 1,2} = sqrt{9 * 0,3 * 0,3 * 4} = sqrt{3^2 * 0,3^2 * 2^2} = sqrt{3^2 * 0,3^2 * 2^2} = 3 * 0,3 * 2 = 1,8$
8) $sqrt{80 * 45} = sqrt{16 * 5 * 5 * 9} = sqrt{4^2 * 5^2 * 3^2} = sqrt{4^2} * sqrt{5^2} * sqrt{3^2} = 4 * 5 * 3 = 60$
9) $sqrt{33 * 297} = sqrt{3 * 11 * 11 * 27} = sqrt{11^2 * 81} = sqrt{11^2 * 9^2} = sqrt{11^2} * sqrt{9^2} = 11 * 9 = 99$
507. Найдите значение выражение:
1) $sqrt{18 * 200}$;
2) $sqrt{3,6 * 0,4}$;
3) $sqrt{14,4 * 0,9}$;
4) $sqrt{13 * 52}$;
5) $sqrt{12,5 * 32}$;
6) $sqrt{108 * 27}$.
Решение:
1) $sqrt{18 * 200} = sqrt{9 * 2 * 2 * 100} = sqrt{3^2 * 2^2 * 10^2} = sqrt{3^2} * sqrt{2^2} * sqrt{10^2} = 3 * 2 * 10 = 60$
2) $sqrt{3,6 * 0,4} = sqrt{36 * 0,1 * 0,1 * 4} = sqrt{6^2 * 0,1^2 * 2^2} = sqrt{6^2} * sqrt{0,1^2} * sqrt{2^2} = 6 * 0,1 * 2 = 1,2$
3) $sqrt{14,4 * 0,9} = sqrt{144 * 0,1 * 0,1 * 9} = sqrt{12^2 * 0,1^2 * 3^2} = sqrt{12^2} * sqrt{0,1^2} * sqrt{3^2} = 12 * 0,1 * 3 = 3,6$
4) $sqrt{13 * 52} = sqrt{13 * 4 * 13} = sqrt{13^2 * 2^2} = sqrt{13^2} * sqrt{2^2} = 13 * 2 = 26$
5) $sqrt{12,5 * 32} = sqrt{12,5 * 2 * 16} = sqrt{25 * 16} = sqrt{5^2 * 4^2} = sqrt{5^2} * sqrt{4^2} = 5 * 4 = 20$
6) $sqrt{108 * 27} = sqrt{36 * 3 * 3 * 9} = sqrt{6^2 * 3^2 * 3^2} = sqrt{6^2} * sqrt{3^2} * sqrt{3^2} = 6 * 3 * 3 = 54$
508. Найдите значение выражения:
1) $sqrt{41^2 — 40^2}$;
2) $sqrt{145^2 — 144^2}$;
3) $sqrt{8,5^2 — 7,5^2}$;
4) $sqrt{21,8^2 — 18,2^2}$;
5) $sqrt{frac{155^2 — 134^2}{84}}$;
6) $sqrt{frac{139^2 — 86^2}{98,5^2 — 45,5^2}}$.
Решение:
1) $sqrt{41^2 — 40^2} = sqrt{(41 — 40)(41 + 40)} = sqrt{1 * 81} = sqrt{81} = 9$
2) $sqrt{145^2 — 144^2} = sqrt{(145 — 144)(145 + 144)} = sqrt{1 * 289} = sqrt{289} = 17$
3) $sqrt{8,5^2 — 7,5^2} = sqrt{(8,5 — 7,5)(8,5 + 7,5)} = sqrt{1 * 16} = sqrt{16} = 4$
4) $sqrt{21,8^2 — 18,2^2} = sqrt{(21,8 — 18,2)(21,8 + 18,2)} = sqrt{3,6 * 40} = sqrt{3,6 * 4 * 10} = sqrt{36 * 4} = sqrt{36} * sqrt{4} = 6 * 2 = 12$
5) $sqrt{frac{155^2 — 134^2}{84}} = sqrt{frac{(155 — 134)(155 + 134)}{84}} = sqrt{frac{21 * 289}{84}} = sqrt{frac{289}{4}} = frac{sqrt{289}}{sqrt{4}} = frac{17}{2} = 8frac{1}{2}$
6) $sqrt{frac{139^2 — 86^2}{98,5^2 — 45,5^2}} = sqrt{frac{(139 — 86)(139 + 86)}{(98,5 — 45,5)(98,5 + 45,5)}} = sqrt{frac{53 * 225}{53 * 144}} = sqrt{frac{225}{144}} = frac{15}{12} = frac{5}{4} = 1frac{1}{4}$
509. Найдите значение выражения:
1) $sqrt{6,8^2 — 3,2^2}$;
2) $sqrt{98,5^2 — 97,5^2}$;
3) $sqrt{frac{98}{228^2 — 164^2}}$.
Решение:
1) $sqrt{6,8^2 — 3,2^2} = sqrt{(6,8 — 3,2)(6,8 + 3,2)} = sqrt{3,6 * 10} = sqrt{36} = 6$
2) $sqrt{98,5^2 — 97,5^2} = sqrt{(98,5 — 97,5)(98,5 + 97,5)} = sqrt{1 * 196} = sqrt{196} = 14$
3) $sqrt{frac{98}{228^2 — 164^2}} = sqrt{frac{98}{(228 — 164)(228 + 164)}} = sqrt{frac{98}{64 * 392}} = sqrt{frac{1}{64 * 4}} = frac{sqrt{1}}{sqrt{64 * 4}} = frac{sqrt{1}}{sqrt{64} * sqrt{4}} = frac{1}{8 * 2} = frac{1}{16}$
510. Замените выражение тождественно равным, не содержащим знака корня:
1) $sqrt{b^2}$;
2) $-0,4sqrt{c^2}$;
3) $sqrt{a^6}$;
4) $sqrt{m^8}$.
Решение:
1) $sqrt{b^2} = |b|$
2) $-0,4sqrt{c^2} = -0,4 * |c|$
3) $sqrt{a^6} = sqrt{(a^3)^2} = |a^3|$
4) $sqrt{m^8} = sqrt{(m^4)^2} = |m^4| = m^4$
511. Замените выражение тождественно равным, не содержащим знака корня:
1) $1,2sqrt{x^2}$;
2) $sqrt{y^4}$;
3) $sqrt{n^{10}}$.
Решение:
1) $1,2sqrt{x^2} = 1,2 * |x|$
2) $sqrt{y^4} = sqrt{(y^2)^2} = |y^2| = y^2$
3) $sqrt{n^{10}} = sqrt{(n^{5})^2} = |n^5|$
512. Упростите выражение:
1) $sqrt{m^2}$, если m > 0;
2) $sqrt{n^2}$, если n < 0;
3) $sqrt{16p^2}$, если p ≥ 0;
4) $sqrt{0,36k^2}$, если k ≤ 0;
5) $sqrt{c^{12}}$;
6) $sqrt{0,25b^{14}}$, если b ≤ 0;
7) $sqrt{81x^4y^2}$, если y ≥ 0;
8) $sqrt{0,01a^6b^{10}}$, если a ≤ 0, b ≥ 0;
9) $-1,2xsqrt{64x^{18}}$, если x ≤ 0;
10) $frac{sqrt{a^{12}b^{22}c^{36}}}{a^4b^8c^{10}}$, если b < 0;
11) $frac{3,3a^4}{b^3}sqrt{frac{b^{24}}{121a^{26}}}$, если a < 0;
12) $-0,5m^5sqrt{1,96m^6n^8}$, если m ≤ 0.
Решение:
1) $sqrt{m^2} = |m| = m$, если m > 0
2) $sqrt{n^2} = |n| = -n$, если n < 0 3) $sqrt{16p^2} = |4p| = 4p$, если p ≥ 0 4) $sqrt{0,36k^2} = |0,6k| = -0,6k$, если k ≤ 0 5) $sqrt{c^{12}} = sqrt{(c^{6})^2} = |c^6| = c^6$ 6) $sqrt{0,25b^{14}} = sqrt{(0,5b^7)^2} = |0,5b^7| = -0,5b^7$, если b ≤ 0 7) $sqrt{81x^4y^2} = sqrt{(9x^2y)^2} = |9x^2y| = 9x^2y$, если y ≥ 0 8) $sqrt{0,01a^6b^{10}} = sqrt{(0,1a^3b^5)^2} = |0,1a^3b^5| = 0,1 * (-a^3) * b^5 = -0,1a^3b^5$, если a ≤ 0, b ≥ 0 9) $-1,2xsqrt{64x^{18}} = -1,2xsqrt{(8x^{9})^2} = -1,2x * |8x^9| = -1,2x * (-8x^9) = 9,6x^{10}$, если x ≤ 0 10) $frac{sqrt{a^{12}b^{22}c^{36}}}{a^4b^8c^{10}} = frac{sqrt{(a^{6}b^{11}c^{18})^2}}{a^4b^8c^{10}} = frac{|a^{6}b^{11}c^{18}|}{a^4b^8c^{10}} = frac{a^{6} * (-b^{11}) * c^{18}}{a^4b^8c^{10}} = -a^2b^3c^8$, если b < 0 11) $frac{3,3a^4}{b^3}sqrt{frac{b^{24}}{121a^{26}}} = frac{3,3a^4}{b^3} * frac{sqrt{b^{24}}}{sqrt{121a^{26}}} = frac{3,3a^4}{b^3} * frac{sqrt{(b^{12})^2}}{sqrt{(11a^{13})^2}} = frac{3,3a^4}{b^3} * frac{|b^{12}|}{|11a^{13}|} = frac{3,3a^4}{b^3} * frac{b^{12}}{-11a^{13}} = -frac{33a^4}{10b^3} * frac{b^{12}}{11a^{13}} = -frac{3}{10} * frac{b^{9}}{a^{9}} = -0,3frac{b^{9}}{a^{9}}$, если a < 0 12) $-0,5m^5sqrt{1,96m^6n^8} = -0,5m^5sqrt{(1,4m^3n^4)^2} = -0,5m^5 * |1,4m^3n^4| = -0,5m^5 * (-1,4m^3n^4) = 0,7m^8n^4$, если m ≤ 0