Ответы к странице 132
513. Упростите выражение:
1) $sqrt{9a^{16}}$;
2) $sqrt{0,81d^6}$, если d ≥ 0;
3) $-5sqrt{4x^2}$, если x ≤ 0;
4) $-0,1sqrt{100z^{10}}$, если z ≥ 0;
5) $sqrt{p^6q^8}$, если p ≥ 0;
6) $sqrt{25m^{34}n^{38}}$, если m ≤ 0, n ≤ 0;
7) $ab^2sqrt{a^4b^{18}c^{22}}$, если b ≥ 0, c ≤ 0;
8) $-frac{8m^3p^4}{k^2}sqrt{frac{625k^{30}p^{40}}{144m^6}}$, если m <0, k > 0.
Решение:
1) $sqrt{9a^{16}} = sqrt{(3a^{8})^2} = |3a^8| = 3a^8$
2) $sqrt{0,81d^6} = sqrt{(0,9d^3)^2}= |0,9d^3| = 0,9d^3$, если d ≥ 0
3) $-5sqrt{4x^2} = -5sqrt{(2x)^2} = -5 * |2x| = -5 * (-2x) = 10x$, если x ≤ 0
4) $-0,1sqrt{100z^{10}} = -0,1sqrt{(10z^{5})^2} = -0,1 * |10z^5| = -0,1 * 10z^5 = -z^5$, если z ≥ 0
5) $sqrt{p^6q^8} = sqrt{(p^3q^4)^2} = |p^3q^4| = p^3q^4$, если p ≥ 0
6) $sqrt{25m^{34}n^{38}} = sqrt{(5m^{17}n^{19})^2} = |5m^{17}n^{19}| = 5 * (-m^17) * (-n^19) = 5m^{17}n^{19}$, если m ≤ 0, n ≤ 0
7) $ab^2sqrt{a^4b^{18}c^{22}} = ab^2sqrt{(a^2b^{9}c^{11})^2} = ab^2 * |a^2b^{9}c^{11}| = ab^2 * a^2b^9 * (-c^{11}) = -a^3b^{11}c^{11}$, если b ≥ 0, c ≤ 0
8) $-frac{8m^3p^4}{k^2}sqrt{frac{625k^{30}p^{40}}{144m^6}} = -frac{8m^3p^4}{k^2} * frac{sqrt{625k^{30}p^{40}}}{sqrt{144m^6}} = -frac{8m^3p^4}{k^2} * frac{sqrt{(25k^{15}p^{20})^2}}{sqrt{(12m^3)^2}} = -frac{8m^3p^4}{k^2} * frac{|25k^{15}p^{20}|}{|12m^3|} = -frac{8m^3p^4}{k^2} * frac{25k^{15}p^{20}}{-12m^3} = frac{2p^4}{1} * frac{25k^{13}p^{20}}{3} = frac{50k^{13}p^{24}}{3}$, если m <0, k > 0
514. Каких из данных равенств выполняются при всех действительных значениях a:
1) $sqrt{a^2} = a$;
2) $sqrt{a^4} = a^2$;
3) $sqrt{a^6} = a^3$;
4) $sqrt{a^8} = a^4$?
Решение:
1)
$sqrt{a^2} = a$
$sqrt{a^2} = |a| = a$
выполняется при a ≥ 0
2)
$sqrt{a^4} = a^2$
$sqrt{a^4} = sqrt{(a^2)^2} = |a^2| = a^2$
выполняется при любых значениях a
3)
$sqrt{a^6} = a^3$
$sqrt{a^6} = sqrt{(a^3)^2} = |a^3| = a^3$
выполняется при a ≥ 0
4)
$sqrt{a^8} = a^4$
$sqrt{a^8} = sqrt{(a^4)^2} = |a^4| = a^4$
выполняется при любых значениях a
Ответ: при любых значениях a выполняются равенства 2 и 4
515. При каких значениях a выполняется равенство:
1) $sqrt{a^{10}} = a^5$;
2) $sqrt{a^{10}} = -a^5$;
3) $sqrt{a^2} = (sqrt{a})^2$;
4) $sqrt{a^2} = (sqrt{-a})^2$?
Решение:
1) $sqrt{a^{10}} = sqrt{(a^{5})^2} = |a^5| = a^5$ − выполняется при a ≥ 0
2) $sqrt{a^{10}} = sqrt{(a^{5})^2} = |a^5| = -a^5$ − выполняется при a ≤ 0
3) $sqrt{a^2} = (sqrt{a})^2$
подкоренное выражение должно быть неотрицательным, тогда:
a ≥ 0, значит равенство выполняется при a ≥ 04) $sqrt{a^2} = (sqrt{-a})^2$
подкоренное выражение должно быть неотрицательным, тогда:
−a ≥ 0
a ≤ 0, значит равенство выполняется при a ≤ 0
516. Постройте график функции:
1) $y = sqrt{x^{2}} — x$, если x ≤ 0;
2) $y = 2x + sqrt{x^{2}}$;
3) $y = sqrt{x} * sqrt{x}$;
4) $y = frac{x^2}{sqrt{x^2}} + 3$.
Решение:
1) $y = sqrt{x^{2}} — x$, если x ≤ 0
$y = sqrt{x^{2}} — x = |x| — x = -x — x = -2x$
y = −2x
х -1 0
у 2 02) $y = 2x + sqrt{x^{2}} = 2x + |x|$
если x ≥ 0, то:
y = 2x + x = 3x
х 0 1
у 0 3
если x < 0, то:
y = 2x − x = x
х -2 -1
у -2 -13) $y = sqrt{x} * sqrt{x} = (sqrt{x})^2 = x$ при x ≥ 0
y = x
х 1 2
у 1 24) $y = frac{x^2}{sqrt{x^2}} + 3 = frac{x^2}{|x|} + 3$ при x ≠ 0
если x > 0, то:
$y = frac{x^2}{x} + 3 = x + 3$
х 1 2
у 4 5
если x < 0, то:
$y = frac{x^2}{-x} + 3 = -x + 3$
х -2 -1
у 5 4
517. Постройте график функции:
1) $y = sqrt{x^2} — 2x$, если x ≥ 0;
2) $y = sqrt{-x} — sqrt{-x}$.
Решение:
1) $y = sqrt{x^2} — 2x = |x| — 2x$
если x ≥ 0, то:
$y = |x| — 2x = x — 2x = -x$
y = −x
х 0 1
у 0 -12) $y = sqrt{-x} — sqrt{-x} = (sqrt{-x})^2 = -x$ при x ≤ 0
y = −x
х 0 -1
у 0 1
518. При каком значении x выполняется равенство:
1) $sqrt{x^2} = x — 4$;
2) $sqrt{x^2} = 6 — x$;
3) $2sqrt{x^2} = x + 3$?
Решение:
1) $sqrt{x^2} = x — 4$
|x| = x − 4
x − 4 ≥ 0
x ≥ 4
при x ≥ 0:
x = x − 4
x − x = −4
0 = −4 − нет корней
при x < 0:
−x = x − 4
−x − x = −4
−2x = −4
x = 2 < 4 − нет корней
Ответ: нет корней2) $sqrt{x^2} = 6 — x$
|x| = 6 − x
6 − x ≥ 0
−x ≥ −6
x ≤ 6
при x ≥ 0:
x = 6 − x
x + x = 6
2x = 6
x = 3 ≤ 6
при x < 0:
−x = 6 − x
−x + x = 6
0 = 6 − нет корней
Ответ: при x = 33) $2sqrt{x^2} = x + 3$
2 * |x| = x + 3
|x| = 0,5x + 1,5
0,5x + 1,5 ≥ 0
0,5x ≥ −1,5
x ≥ −3
при x ≥ 0:
2x = x + 3
2x − x = 3
x = 3 ≥ −3
при x < 0:
2 * (−x) = x + 3
−2x = x + 3
−2x − x = 3
−3x = 3
x = −1 ≥ −3
Ответ: при x = −1 и при x = 3
519. Решите уравнение:
1) $sqrt{x^2} = x + 8$;
2) $sqrt{x^2} = 6x — 10$.
Решение:
1) $sqrt{x^2} = x + 8$
|x| = x + 8
x + 8 ≥ 0
x ≥ −8
при x ≥ 0:
x = x + 8
x − x = 8
0 = 8 − нет корней
при x < 0:
−x = x + 8
−x − x = 8
−2x = 8
x = −4 ≥ −8
Ответ: при x = −42) $sqrt{x^2} = 6x — 10$
|x| = 6x − 10
6x − 10 ≥ 0
6x ≥ 10
$x ≥ frac{10}{6} = frac{5}{3} = 1frac{2}{3}$
при x ≥ 0:
x = 6x − 10
x − 6x = −10
−5x = −10
$x = 2 ≥ 1frac{2}{3}$
при x < 0:
−x = 6x − 10
−x − 6x = −10
−7x = −10
$x = frac{10}{7} = 1frac{3}{7} ≤ 1frac{2}{3}$ − нет корней
Ответ: при x = 2
520. Найдите значение выражения:
$(frac{a^2 — 5a}{a^2 — 10a + 25} + frac{25}{a^2 — 25}) : frac{125 — a^3}{5 + a}$
при a = 4,5.
Решение:
$(frac{a^2 — 5a}{a^2 — 10a + 25} + frac{25}{a^2 — 25}) : frac{125 — a^3}{5 + a} = (frac{a(a — 5)}{(a — 5)^2} + frac{25}{(a — 5)(a + 5)}) : frac{125 — a^3}{a + 5} = (frac{a}{a — 5} + frac{25}{(a — 5)(a + 5)}) * frac{a + 5}{125 — a^3} = frac{a(a + 5) + 25}{(a — 5)(a + 5)} * frac{a + 5}{125 — a^3} = frac{a^2 + 5a + 25}{a — 5} * frac{1}{(5 — a)(25 + 5a + a^2)} = frac{1}{a — 5} * frac{1}{5 — a} = frac{1}{a — 5} * (-frac{1}{a — 5}) = -frac{1}{(a — 5)^2}$
при a = 4,5:
$-frac{1}{(4,5 — 5)^2} = -frac{1}{(-0,5)^2} = -frac{1}{(frac{1}{2})^2} = -frac{1}{frac{1}{4}} = -4$