Ответы к странице 137
527. Внесите множитель под знак корня:
1) $7sqrt{2}$;
2) $3sqrt{13}$;
3) $-2sqrt{17}$;
4) $-10sqrt{14}$;
5) $5sqrt{8}$;
6) $6sqrt{a}$;
7) $frac{1}{4}sqrt{32}$;
8) $-frac{2}{3}sqrt{54}$;
9) $frac{1}{8}sqrt{128a}$;
10) $-0,3sqrt{10b}$;
11) $3sqrt{frac{1}{3}}$;
12) $frac{2}{9}sqrt{frac{27}{28}}$.
Решение:
1) $7sqrt{2} = sqrt{7^2} * sqrt{2} = sqrt{49} * sqrt{2} = sqrt{49 * 2} = sqrt{98}$
2) $3sqrt{13} = sqrt{3^2} * sqrt{13} = sqrt{9} * sqrt{13} = sqrt{9 * 13} = sqrt{117}$
3) $-2sqrt{17} = -sqrt{2^2} * sqrt{17} = -sqrt{4} * sqrt{17} = -sqrt{4 * 17} = -sqrt{68}$
4) $-10sqrt{14} = -sqrt{10^2} * sqrt{14} = -sqrt{100} * sqrt{14} = -sqrt{100 * 14} = -sqrt{1400}$
5) $5sqrt{8} = sqrt{5^2} * sqrt{8} = sqrt{25} * sqrt{8} = sqrt{25 * 8} = sqrt{200}$
6) $6sqrt{a} = sqrt{6^2} * sqrt{a} = sqrt{36} * sqrt{a} = sqrt{36a}$
7) $frac{1}{4}sqrt{32} = sqrt{(frac{1}{4})^2} * sqrt{32} = sqrt{frac{1}{16}} * sqrt{32} = sqrt{frac{1}{16} * 32} = sqrt{2}$
8) $-frac{2}{3}sqrt{54} = -sqrt{(frac{2}{3})^2} * sqrt{54} = -sqrt{frac{4}{9}} * sqrt{54} = -sqrt{frac{4}{9} * 54} = -sqrt{4 * 6} = -sqrt{24}$
9) $frac{1}{8}sqrt{128a} = sqrt{(frac{1}{8})^2} * sqrt{128a} = sqrt{frac{1}{64}} * sqrt{128a} = sqrt{frac{1}{64} * 128a} = sqrt{2a}$
10) $-0,3sqrt{10b} = -sqrt{0,3^2} * sqrt{10b} = -sqrt{0,09} * sqrt{10b} = -sqrt{0,09 * 10b} = -sqrt{0,9b}$
11) $3sqrt{frac{1}{3}} = sqrt{3^2} * sqrt{frac{1}{3}} = sqrt{9} * sqrt{frac{1}{3}} = sqrt{9 * frac{1}{3}} = sqrt{3}$
12) $frac{2}{9}sqrt{frac{27}{28}} = sqrt{(frac{2}{9})^2} * sqrt{frac{27}{28}} = sqrt{frac{4}{81}} * sqrt{frac{27}{28}} = sqrt{frac{4}{81} * frac{27}{28}} = sqrt{frac{1}{3} * frac{1}{7}} = sqrt{frac{1}{21}}$
528. Внесите множитель под знак корня:
1) $2sqrt{6}$;
2) $9sqrt{2}$;
3) $-11sqrt{3}$;
4) $12sqrt{b}$;
5) $-7sqrt{3c}$;
6) $-10sqrt{0,7m}$;
7) $8sqrt{frac{n}{8}}$;
8) $-frac{1}{3}sqrt{18p}$.
Решение:
1) $2sqrt{6} = sqrt{2^2} * sqrt{6} = sqrt{4} * sqrt{6} = sqrt{4 * 6} = sqrt{24}$
2) $9sqrt{2} = sqrt{9^2} * sqrt{2} = sqrt{81} * sqrt{2} = sqrt{81 * 2} = sqrt{162}$
3) $-11sqrt{3} = -sqrt{11^2} * sqrt{3} = -sqrt{121} * sqrt{3} = -sqrt{121 * 3} = -sqrt{363}$
4) $12sqrt{b} = sqrt{12^2} * sqrt{b} = sqrt{144} * sqrt{b} = sqrt{144b}$
5) $-7sqrt{3c} = -sqrt{7^2} * sqrt{3c} = -sqrt{49} * sqrt{3c} = -sqrt{49 * 3c} = -sqrt{147c}$
6) $-10sqrt{0,7m} = -sqrt{10^2} * sqrt{0,7m} = -sqrt{100} * sqrt{0,7m} = -sqrt{100 * 0,7m} = -sqrt{70m}$
7) $8sqrt{frac{n}{8}} = sqrt{8^2} * sqrt{frac{n}{8}} = sqrt{64} * sqrt{frac{n}{8}} = sqrt{64 * frac{n}{8}} = sqrt{8n}$
8) $-frac{1}{3}sqrt{18p} = -sqrt{(frac{1}{3})^2} * sqrt{18p} = -sqrt{frac{1}{9}} * sqrt{18p} = -sqrt{frac{1}{9} * 18p} = -sqrt{2p}$
529. Упростите выражение:
1) $4sqrt{a} + 3sqrt{a} — 5sqrt{a}$;
2) $6sqrt{b} + 2sqrt{b} — 8sqrt{b}$;
3) $5sqrt{c} + 3sqrt{d} — sqrt{c} + 3sqrt{d}$;
4) $sqrt{5} + 7sqrt{5} — 4sqrt{5}$.
Решение:
1) $4sqrt{a} + 3sqrt{a} — 5sqrt{a} = sqrt{a}(4 + 3 — 5) = 2sqrt{a}$
2) $6sqrt{b} + 2sqrt{b} — 8sqrt{b} = sqrt{b}(6 + 2 — 8) = 0sqrt{b} = 0$
3) $5sqrt{c} + 3sqrt{d} — sqrt{c} + 3sqrt{d} = (5sqrt{c} — sqrt{c}) + (3sqrt{d} + 3sqrt{d}) = sqrt{c}(5 — 1) + sqrt{d}(3 + 3) = 4sqrt{c} + 6sqrt{d}$
4) $sqrt{5} + 7sqrt{5} — 4sqrt{5} = sqrt{5}(1 + 7 — 4) = 4sqrt{5}$
530. Упростите выражение:
1) $3sqrt{a} — 2sqrt{a}$;
2) $sqrt{c} + 10sqrt{c} — 14sqrt{c}$;
3) $9sqrt{6} — 2sqrt{3} + 8sqrt{3} — 3sqrt{6}$.
Решение:
1) $3sqrt{a} — 2sqrt{a} = sqrt{a}(3 — 2) = sqrt{a}$
2) $sqrt{c} + 10sqrt{c} — 14sqrt{c} = sqrt{c}(1 + 10 — 14) = -3sqrt{c}$
3) $9sqrt{6} — 2sqrt{3} + 8sqrt{3} — 3sqrt{6} = (9sqrt{6} — 3sqrt{6}) + (-2sqrt{3} + 8sqrt{3}) = sqrt{6}(9 — 3) — sqrt{3}(2 — 8) = 6sqrt{6} + 6sqrt{3} = 6(sqrt{6} + sqrt{3})$
531. Упростите выражение:
1) $sqrt{9a} + sqrt{25a} — sqrt{49a}$;
2) $sqrt{64b} — frac{1}{6}sqrt{36b}$;
3) $2sqrt{0,04c} — 0,3sqrt{16c} + frac{1}{3}sqrt{0,81c}$;
4) $0,4sqrt{100m} + 15sqrt{frac{4}{9}m} — 1,2sqrt{2,25m}$.
Решение:
1) $sqrt{9a} + sqrt{25a} — sqrt{49a} = sqrt{9} * sqrt{a} + sqrt{25} * sqrt{a} — sqrt{49} * sqrt{a} = 3sqrt{a} + 5sqrt{a} — 7sqrt{a} = sqrt{a}(3 + 5 — 7) = sqrt{a}$
2) $sqrt{64b} — frac{1}{6}sqrt{36b} = sqrt{64} * sqrt{b} — frac{1}{6} * sqrt{36} * sqrt{b} = 8sqrt{b} — frac{1}{6} * 6 * sqrt{b} = 8sqrt{b} — sqrt{b} = sqrt{b}(8 — 1) = 7sqrt{b}$
3) $2sqrt{0,04c} — 0,3sqrt{16c} + frac{1}{3}sqrt{0,81c} = 2 * sqrt{0,04} * sqrt{c} — 0,3 * sqrt{16} * sqrt{c} + frac{1}{3} * sqrt{0,81} * sqrt{c} = 2 * 0,2 * sqrt{c} — 0,3 * 4 * sqrt{c} + frac{1}{3} * 0,9 * sqrt{c} = 0,4sqrt{c} — 1,2sqrt{c} + 0,3sqrt{c} = sqrt{c}(0,4 — 1,2 + 0,3) = -0,5sqrt{c}$
4) $0,4sqrt{100m} + 15sqrt{frac{4}{9}m} — 1,2sqrt{2,25m} = 0,4 * sqrt{100} * sqrt{m} + 15 * sqrt{frac{4}{9}} * sqrt{m} — 1,2 * sqrt{2,25} * sqrt{m} = 0,4 * 10 * sqrt{m} + 15 * frac{2}{3} * sqrt{m} — 1,2 * 1,5 * sqrt{m} = 4sqrt{m} + 5 * 2sqrt{m} — 1,8sqrt{m} = 4sqrt{m} + 10sqrt{m} — 1,8sqrt{m} = sqrt{m}(4 + 10 — 1,8) = 12,2sqrt{m}$
532. Упростите выражение:
1) $2sqrt{4x} + 6sqrt{16x} — sqrt{625x}$;
2) $3sqrt{0,09y} — 0,6sqrt{144y} + frac{18}{11}sqrt{frac{121}{36}y}$.
Решение:
1) $2sqrt{4x} + 6sqrt{16x} — sqrt{625x} = 2 * sqrt{4} * sqrt{x} + 6 * sqrt{16} * sqrt{x} — sqrt{625} * sqrt{x} = 2 * 2 * sqrt{x} + 6 * 4 * sqrt{x} — 25 * sqrt{x} = 4sqrt{x} + 24sqrt{x} — 25sqrt{x} = sqrt{x}(4 + 24 — 25) = 3sqrt{x}$
2) $3sqrt{0,09y} — 0,6sqrt{144y} + frac{18}{11}sqrt{frac{121}{36}y} = 3 * sqrt{0,09} * sqrt{y} — 0,6 * sqrt{144} * sqrt{y} + frac{18}{11} * sqrt{frac{121}{36}} * sqrt{y} = 3 * 0,3 * sqrt{y} — 0,6 * 12 * sqrt{y} + frac{18}{11} * frac{11}{6} * sqrt{y} = 0,9sqrt{y} — 7,2sqrt{y} + 3sqrt{y} = sqrt{y}(0,9 — 7,2 + 3) = -3,3sqrt{y}$
533. Упростите выражение:
1) $8sqrt{2} — sqrt{32}$;
2) $6sqrt{3} — sqrt{27}$;
3) $sqrt{96} — 3sqrt{6}$;
4) $2sqrt{500} — 8sqrt{5}$;
5) $5sqrt{7} — sqrt{700} — 0,5sqrt{28}$;
6) $2sqrt{20} — frac{1}{3}sqrt{45} — 0,6sqrt{125}$.
Решение:
1) $8sqrt{2} — sqrt{32} = 8sqrt{2} — sqrt{16 * 2} = 8sqrt{2} — sqrt{16} * sqrt{2} = 8sqrt{2} — 4sqrt{2} = sqrt{2}(8 — 4) = 4sqrt{2}$
2) $6sqrt{3} — sqrt{27} = 6sqrt{3} — sqrt{9 * 3} = 6sqrt{3} — sqrt{9} * sqrt{3} = 6sqrt{3} — 3sqrt{3} = sqrt{3}(6 — 3) = 3sqrt{3}$
3) $sqrt{96} — 3sqrt{6} = sqrt{16 * 6} — 3sqrt{6} = sqrt{16} * sqrt{6} — 3sqrt{6} = 4sqrt{6} — 3sqrt{6} = sqrt{6}(4 — 3) = sqrt{6}$
4) $2sqrt{500} — 8sqrt{5} = 2 * sqrt{100 * 5} — 8sqrt{5} = 2 * sqrt{100} * sqrt{5} — 8sqrt{5} = 2 * 10 * sqrt{5} — 8sqrt{5} = 20sqrt{5} — 8sqrt{5} = sqrt{5}(20 — 8) = 12sqrt{5}$
5) $5sqrt{7} — sqrt{700} — 0,5sqrt{28} = 5sqrt{7} — sqrt{100 * 7} — 0,5sqrt{4 * 7} = 5sqrt{7} — sqrt{100} * sqrt{7} — 0,5 * sqrt{4} * sqrt{7} = 5sqrt{7} — 10sqrt{7} — 0,5 * 2 * sqrt{7} = 5sqrt{7} — 10sqrt{7} — sqrt{7} = sqrt{7}(5 — 10 — 1) = -6sqrt{7}$
6) $2sqrt{20} — frac{1}{3}sqrt{45} — 0,6sqrt{125} = 2 * sqrt{4 * 5} — frac{1}{3} * sqrt{9 * 5} — 0,6 * sqrt{25 * 5} = 2 * sqrt{4} * sqrt{5} — frac{1}{3} * sqrt{9} * sqrt{5} — 0,6 * sqrt{25} * sqrt{5} = 2 * 2 * sqrt{5} — frac{1}{3} * 3 * sqrt{5} — 0,6 * 5 * sqrt{5} = 4sqrt{5} — sqrt{5} — 3sqrt{5} = sqrt{5}(4 — 1 — 3) = 0 * sqrt{5} = 0$
534. Рациональным или иррациональным является значение выражения:
1) $sqrt{48} — 6 — 4sqrt{3}$;
2) $sqrt{162} — 9sqrt{2} + sqrt{27}$?
Решение:
1) $sqrt{48} — 6 — 4sqrt{3} = sqrt{16 * 3} — 6 — 4sqrt{3} = 4sqrt{3} — 6 — 4sqrt{3} = -6$ − рациональное число
2) $sqrt{162} — 9sqrt{2} + sqrt{27} = sqrt{81 * 2} — 9sqrt{2} + sqrt{9 * 3} = 9sqrt{2} — 9sqrt{2} + 3sqrt{3} = 3sqrt{3}$ − иррациональное число
535. Упростите выражение:
1) $4sqrt{700} — 27sqrt{7}$;
2) $sqrt{75} — 6sqrt{3}$;
3) $2sqrt{50} — 8sqrt{2}$;
4) $5sqrt{12} — 7sqrt{3}$;
5) $3sqrt{72} — 4sqrt{2} + 2sqrt{98}$;
6) $frac{1}{3}sqrt{108} + sqrt{363} — frac{2}{9}sqrt{243}$.
Решение:
1) $4sqrt{700} — 27sqrt{7} = 4sqrt{100 * 7} — 27sqrt{7} = 4 * 10sqrt{7} — 27sqrt{7} = 40sqrt{7} — 27sqrt{7} = 13sqrt{7}$
2) $sqrt{75} — 6sqrt{3} = sqrt{25 * 3} — 6sqrt{3} = 5sqrt{3} — 6sqrt{3} = -1sqrt{3} = -sqrt{3}$
3) $2sqrt{50} — 8sqrt{2} = 2sqrt{25 * 2} — 8sqrt{2} = 2 * 5sqrt{2} — 8sqrt{2} = 10sqrt{2} — 8sqrt{2} = 2sqrt{2}$
4) $5sqrt{12} — 7sqrt{3} = 5sqrt{4 * 3} — 7sqrt{3} = 5 * 2sqrt{3} — 7sqrt{3} = 10sqrt{3} — 7sqrt{3} = 3sqrt{3}$
5) $3sqrt{72} — 4sqrt{2} + 2sqrt{98} = 3sqrt{36 * 2} — 4sqrt{2} + 2sqrt{49 * 2} = 3 * 6sqrt{2} — 4sqrt{2} + 2 * 7sqrt{2} = 18sqrt{2} — 4sqrt{2} + 14sqrt{2} = 28sqrt{2}$
6) $frac{1}{3}sqrt{108} + sqrt{363} — frac{2}{9}sqrt{243} = frac{1}{3}sqrt{36 * 3} + sqrt{121 * 3} — frac{2}{9}sqrt{81 * 3} = frac{1}{3} * 6sqrt{3} + 11sqrt{3} — frac{2}{9} * 9sqrt{3} = 2sqrt{3} + 11sqrt{3} — 2sqrt{3} = 11sqrt{3}$