Ответы к странице 139
545. Разложите на множители выражение:
1) $15 — x^2$;
2) $49x^2 — 2$;
3) $36p — 64q$, если p ≥ 0, q ≥ 0;
4) c − 100, если c ≥ 0;
5) $a — 8bsqrt{a} + 16b^2$;
6) $m + 2sqrt{mn} + n$, если m ≥ 0, n ≥ 0;
7) $a — 4sqrt{a} + 4$;
8) $5 + sqrt{5}$;
9) $sqrt{3p} — p$;
10) $sqrt{12} + sqrt{32}$.
Решение:
1) $15 — x^2 = (sqrt{15})^2 — x^2 = (sqrt{15} — x)(sqrt{15} + x)$
2) $49x^2 — 2 = (7x)^2 — sqrt{2} = (7x — sqrt{2})(7x + sqrt{2})$
3) $36p — 64q = (6sqrt{p})^2 — (8sqrt{q})^2 = (6sqrt{p} — 8sqrt{q})(6sqrt{p} + 8sqrt{q})$
4) $c — 100 = (sqrt{c})^2 — 10^2 = (sqrt{c} — 10)(sqrt{c} + 10)$
5) $a — 8bsqrt{a} + 16b^2 = (sqrt{a})^2 — 2 * sqrt{a} * 4b + (4b)^2 = (sqrt{a} — 4b)^2$
6) $m + 2sqrt{mn} + n = (sqrt{m})^2 + 2 * sqrt{m} * sqrt{n} + (sqrt{n})^2 = (sqrt{m} + sqrt{n})^2$
7) $a — 4sqrt{a} + 4 = (sqrt{a})^2 — 2 * sqrt{a} * 2 + 2^2 = (sqrt{a} — 2)^2$
8) $5 + sqrt{5} = (sqrt{5})^2 + sqrt{5} = sqrt{5}(sqrt{5} + 1)$
9) $sqrt{3p} — p = sqrt{3} * sqrt{p} — (sqrt{p})^2 = sqrt{p}(sqrt{3} — sqrt{p})$
10) $sqrt{12} + sqrt{32} = sqrt{4 * 3} + sqrt{16 * 2} = 2sqrt{3} + 4sqrt{2} = 2(sqrt{3} + 2sqrt{2})$
546. Сократите дробь:
1) $frac{a^2 — 7}{a + sqrt{7}}$;
2) $frac{sqrt{3} — b}{3 — b^2}$;
3) $frac{c — 9}{sqrt{c} — 3}$;
4) $frac{a — b}{sqrt{a} + sqrt{b}}$;
5) $frac{5sqrt{a} — 7sqrt{b}}{25a — 49b}$;
6) $frac{100a^2 — 9b}{10a + 3sqrt{b}}$;
7) $frac{sqrt{2} — 1}{sqrt{6} — sqrt{3}}$;
8) $frac{sqrt{35} + sqrt{10}}{sqrt{7} + sqrt{2}}$;
9) $frac{sqrt{15} — sqrt{6}}{5 — sqrt{10}}$;
10) $frac{13 — sqrt{13}}{sqrt{13}}$;
11) $frac{a + 2sqrt{ab} + b}{sqrt{a} + sqrt{b}}$;
12) $frac{4b^2 — 4bsqrt{c} + c}{2b — sqrt{c}}$.
Решение:
1) $frac{a^2 — 7}{a + sqrt{7}} = frac{a^2 — (sqrt{7})^2}{a + sqrt{7}} = frac{(a — sqrt{7})(a + sqrt{7})}{a + sqrt{7}} = a — sqrt{7}$
2) $frac{sqrt{3} — b}{3 — b^2} = frac{sqrt{3} — b}{(sqrt{3})^2 — b^2} = frac{sqrt{3} — b}{(sqrt{3} — b)(sqrt{3} + b)} = frac{1}{sqrt{3} + b}$
3) $frac{c — 9}{sqrt{c} — 3} = frac{(sqrt{c})^2 — 3^2}{sqrt{c} — 3} = frac{(sqrt{c} — 3)(sqrt{c} + 3)}{sqrt{c} — 3} = sqrt{c} + 3$
4) $frac{a — b}{sqrt{a} + sqrt{b}} = frac{(sqrt{a})^2 — (sqrt{b})^2}{sqrt{a} + sqrt{b}} = frac{(sqrt{a} — sqrt{b})(sqrt{a} + sqrt{b})}{sqrt{a} + sqrt{b}} = sqrt{a} — sqrt{b}$
5) $frac{5sqrt{a} — 7sqrt{b}}{25a — 49b} = frac{5sqrt{a} — 7sqrt{b}}{(5sqrt{a})^2 — (7sqrt{b})^2} = frac{5sqrt{a} — 7sqrt{b}}{(5sqrt{a} — 7sqrt{b})(5sqrt{a} + 7sqrt{b})} = frac{1}{5sqrt{a} + 7sqrt{b}}$
6) $frac{100a^2 — 9b}{10a + 3sqrt{b}} = frac{(10a)^2 — (3sqrt{b})^2}{10a + 3sqrt{b}} = frac{(10a — 3sqrt{b})(10a + 3sqrt{b})}{10a + 3sqrt{b}} = 10a — 3sqrt{b}$
7) $frac{sqrt{2} — 1}{sqrt{6} — sqrt{3}} = frac{sqrt{2} — 1}{sqrt{2 * 3} — sqrt{3}} = frac{sqrt{2} — 1}{sqrt{2} * sqrt{3} — sqrt{3}} = frac{sqrt{2} — 1}{sqrt{3}(sqrt{2} — 1)} = frac{1}{sqrt{3}}$
8) $frac{sqrt{35} + sqrt{10}}{sqrt{7} + sqrt{2}} = frac{sqrt{7 * 5} + sqrt{2 * 5}}{sqrt{7} + sqrt{2}} = frac{sqrt{7} * sqrt{5} + sqrt{2} * sqrt{5}}{sqrt{7} + sqrt{2}} = frac{sqrt{5}(sqrt{7} + sqrt{2})}{sqrt{7} + sqrt{2}} = sqrt{5}$
9) $frac{sqrt{15} — sqrt{6}}{5 — sqrt{10}} = frac{sqrt{5 * 3} — sqrt{2 * 3}}{(sqrt{5})^2 — sqrt{5 * 2}} = frac{sqrt{5} * sqrt{3} — sqrt{2} * sqrt{3}}{(sqrt{5})^2 — sqrt{5} * sqrt{2}} = frac{sqrt{3}(sqrt{5} — sqrt{2})}{sqrt{5}(sqrt{5} — sqrt{2})} = frac{sqrt{3}}{sqrt{5}}$
10) $frac{13 — sqrt{13}}{sqrt{13}} = frac{(sqrt{13})^2 — sqrt{13}}{sqrt{13}} = frac{sqrt{13}(sqrt{13} — 1)}{sqrt{13}} = sqrt{13} — 1$
11) $frac{a + 2sqrt{ab} + b}{sqrt{a} + sqrt{b}} = frac{(sqrt{a})^2 + 2 * sqrt{a} * sqrt{b} + (sqrt{b})^2}{sqrt{a} + sqrt{b}} = frac{(sqrt{a} + sqrt{b})^2}{sqrt{a} + sqrt{b}} = sqrt{a} + sqrt{b}$
12) $frac{4b^2 — 4bsqrt{c} + c}{2b — sqrt{c}} = frac{(2b)^2 — 2 * 2b * sqrt{c} + (sqrt{c})^2}{2b — sqrt{c}} = frac{(2b — sqrt{c})^2}{2b — sqrt{c}} = 2b — sqrt{c}$
547. Сократите дробь:
1) $frac{x — 25}{sqrt{x} — 5}$;
2) $frac{sqrt{a} + 2}{a — 4}$;
3) $frac{a — 3}{sqrt{a} + sqrt{3}}$;
4) $frac{sqrt{10} + sqrt{5}}{sqrt{5}}$;
5) $frac{23 — sqrt{23}}{sqrt{23}}$;
6) $frac{sqrt{24} — sqrt{28}}{sqrt{54} — sqrt{63}}$;
7) $frac{sqrt{a} — sqrt{b}}{a — 2sqrt{ab} + b}$;
8) $frac{b — 8sqrt{b} + 16}{sqrt{b} — 4}$.
Решение:
1) $frac{x — 25}{sqrt{x} — 5} = frac{(sqrt{x})^2 — 5^2}{sqrt{x} — 5} = frac{(sqrt{x} — 5)(sqrt{x} + 5)}{sqrt{x} — 5} = sqrt{x} + 5$
2) $frac{sqrt{a} + 2}{a — 4} = frac{sqrt{a} + 2}{(sqrt{a})^2 — 2^2} = frac{sqrt{a} + 2}{(sqrt{a} — 2)(sqrt{a} + 2)} = frac{1}{sqrt{a} — 2}$
3) $frac{a — 3}{sqrt{a} + sqrt{3}} = frac{(sqrt{a})^2 — (sqrt{3})^2}{sqrt{a} + sqrt{3}} = frac{(sqrt{a} — sqrt{3})(sqrt{a} + sqrt{3})}{sqrt{a} + sqrt{3}} = sqrt{a} — sqrt{3}$
4) $frac{sqrt{10} + sqrt{5}}{sqrt{5}} = frac{sqrt{2 * 5} + sqrt{5}}{sqrt{5}} = frac{sqrt{2} * sqrt{5} + sqrt{5}}{sqrt{5}} = frac{sqrt{5}(sqrt{2} + 1)}{sqrt{5}} = sqrt{2} + 1$
5) $frac{23 — sqrt{23}}{sqrt{23}} = frac{(sqrt{23})^2 — sqrt{23}}{sqrt{23}} = frac{sqrt{23}(sqrt{23} — 1)}{sqrt{23}} = sqrt{23} — 1$
6) $frac{sqrt{24} — sqrt{28}}{sqrt{54} — sqrt{63}} = frac{sqrt{4 * 6} — sqrt{4 * 7}}{sqrt{9 * 6} — sqrt{9 * 7}} = frac{2sqrt{6} — 2sqrt{7}}{3sqrt{6} — 3sqrt{7}} = frac{2(sqrt{6} — sqrt{7})}{3(sqrt{6} — sqrt{7})} = frac{2}{3}$
7) $frac{sqrt{a} — sqrt{b}}{a — 2sqrt{ab} + b} = frac{sqrt{a} — sqrt{b}}{(sqrt{a})^2 — 2 * sqrt{a} * sqrt{b} + (sqrt{b})^2} = frac{sqrt{a} — sqrt{b}}{(sqrt{a} — sqrt{b})^2} = frac{1}{sqrt{a} — sqrt{b}}$
8) $frac{b — 8sqrt{b} + 16}{sqrt{b} — 4} = frac{(sqrt{b})^2 — 2 * sqrt{b} * 4 + 4^2}{sqrt{b} — 4} = frac{(sqrt{b} — 4)^2}{sqrt{b} — 4} = sqrt{b} — 4$
548. Вынесите множитель из−под знака корня:
1) $sqrt{3a^2}$, если a ≥ 0;
2) $sqrt{5b^2}$, если b ≤ 0;
3) $sqrt{12a^4}$;
4) $sqrt{c^5}$.
Решение:
1) $sqrt{3a^2} = sqrt{3} * sqrt{a^2} = asqrt{3}$, если a ≥ 0
2) $sqrt{5b^2} = sqrt{5} * sqrt{b^2} = -bsqrt{5}$, если b ≤ 0
3) $sqrt{12a^4} = sqrt{12 * (a^2)^2} = sqrt{12} * sqrt{(a^2)^2} = sqrt{4 * 3} * a^2 = 2sqrt{3} * a^2 = 2a^2sqrt{3}$
4) $sqrt{c^5} = sqrt{c^4 * c} = sqrt{(c^2)^2 * c} = sqrt{(c^2)^2} * sqrt{c} = c^2sqrt{c}$