Ответы к странице 14
§2. Основное свойство рациональной дроби
Вопросы
1. Какие выражения называют тождественно равными?
Ответ:
Выражения, соответствующие значения которых равны при любых допустимых значениях входящих в них переменных, называют тождественно равными.
2. Что называют тождеством?
Ответ:
Равенство, которое выполняется при любых допустимых значения входящих в него переменных, называют тождеством.
3. Сформулируйте основное свойство рациональной дроби.
Ответ:
Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получим дробь, тождественно равную данной.
Упражнения
27. Какому из приведенных выражений тождественно равна дробь $frac{6a^2}{24a}$:
1) $frac{a^2}{4}$;
2) $frac{a}{4}$;
3) $frac{12a^3}{48a}$;
4) $frac{3a^4}{12a^2}$?
Решение:
1) $frac{a^2}{4} = frac{6 * a^2}{6 * 4} = frac{6a^2}{24} ≠ frac{6a^2}{24a}$
2) $frac{a}{4} = frac{6a * a}{6a * 4} = frac{6a^2}{24a}$
3) $frac{12a^3}{48a} = frac{6a^2 * 2a}{24 * 2a} = frac{6a^2}{24} ≠ frac{6a^2}{24a}$
4) $frac{3a^4}{12a^2} = frac{3a^2 * a^2}{3a^2 * 4} = frac{a^2}{4} = frac{6 * a^2}{6 * 4} = frac{6a^2}{24} ≠ frac{6a^2}{24a}$
Ответ: дробь $frac{6a^2}{24a}$ тождественно равна выражению 2) $frac{a}{4}$
28. Является ли тождеством равенство:
1 $frac{3m^2}{7m} = frac{3m}{7}$;
2) $frac{4x^8}{16x^4} = frac{x^2}{4}$;
3) $frac{2b}{5c^3} = frac{8b}{20c^5}$;
4) $frac{8m^2}{9n} = frac{8m^5}{9nm^3}$?
Решение:
1) $frac{3m^2}{7m} = frac{3m}{7}$
$frac{3m^2}{7m} = frac{3m * m}{7 * m} = frac{3m}{7}$
Равенство является тождеством.2) $frac{4x^8}{16x^4} = frac{x^2}{4}$
$frac{4x^8}{16x^4} = frac{4x^4 * x^4}{4x^4 * 4} = frac{x^4}{4} ≠ frac{x^2}{4}$
Равенство не является тождеством.3) $frac{2b}{5c^3} = frac{8b}{20c^5}$
$frac{2b}{5c^3} = frac{4 * 2b}{4 * 5c^3} = frac{8b}{20c^3} ≠ frac{8b}{20c^5}$
Равенство не является тождеством.4) $frac{8m^2}{9n} = frac{8m^5}{9nm^3}$
$frac{8m^2}{9n} = frac{8m^2 * m^3}{9n * m^3} = frac{8m^5}{9nm^3}$
Равенство является тождеством.
29. Сократите дробь:
1) $frac{14a^3}{21a}$;
2) $frac{8b^3c^2}{12bc^3}$;
3) $frac{5x}{20x}$;
4) $frac{24x^2y^2}{32xy}$;
5) $frac{4abc}{16ab^4}$;
6) $frac{56m^5n^7}{42m^5n^{10}}$;
7) $frac{-10n^{10}}{5n^4}$;
8) $frac{3p^4q^6}{-9p^8q^7}$.
Решение:
1) $frac{14a^3}{21a} = frac{7a * 2a^2}{7a * 3} = frac{2a^2}{3}$
2) $frac{8b^3c^2}{12bc^3} = frac{4bc^2 * 2b^2}{4bc^2 * 3c} = frac{2b^2}{3c}$
3) $frac{5x}{20x} = frac{5x * 1}{5x * 4} = frac{1}{4}$
4) $frac{24x^2y^2}{32xy} = frac{8xy * 3xy}{8xy * 4} = frac{3xy}{4}$
5) $frac{4abc}{16ab^4} = frac{4ab * c}{4ab * 4b^3} = frac{c}{4b^3}$
6) $frac{56m^5n^7}{42m^5n^{10}} = frac{2m^5n^7 * 28}{2m^5n^7 * 21n^{3}} = frac{28}{21n^{3}}$
7) $frac{-10n^{10}}{5n^4} = -frac{5n^4 * 2n^{6}}{5n^4 * 1} = -2n^6$
8) $frac{3p^4q^6}{-9p^8q^7} = -frac{3p^4q^6 * 1}{3p^4q^6 * 3p^4q} = -frac{1}{3p^4q}$
30. Представьте частное в виде дроби и сократите полученную дробь:
1) $6a : (18a^5)$;
2) $16b^7 : (48b^4)$;
3) $35a^8b^6 : (-49a^6b^8)$.
Решение:
1) $6a : (18a^5) = frac{6a}{18a^5} = frac{6a * 1}{6a * 3a^4} = frac{1}{3a^4}$
2) $16b^7 : (48b^4) = frac{16b^4 * b^3}{16b^4 * 3} = frac{b^3}{3}$
3) $35a^8b^6 : (-49a^6b^8) = -frac{7a^6b^6 * 5a^2}{7a^6b^6 * 7b^2} = -frac{5a^2}{7b^2}$
31. Сократите дробь:
1) $frac{3x}{21y}$;
2) $frac{5x^2}{6x}$;
3) $frac{5c^4}{10c^5}$;
4) $frac{2m^4}{m^3}$;
5) $frac{16ab^4}{40ab^2}$;
6) $frac{63x^5y^4}{42x^4y^5}$;
7) $frac{12a^8}{-42a^2}$;
8) $frac{-13a^5b^5}{26a^4b^3}$.
Решение:
1) $frac{3x}{21y} = frac{3 * x}{3 * 7y} = frac{x}{7y}$
2) $frac{5x^2}{6x} = frac{x * 5x}{x * 6} = frac{5x}{6}$
3) $frac{5c^4}{10c^5} = frac{5c^4 * 1}{5c^4 * 2c} = frac{1}{2c}$
4) $frac{2m^4}{m^3} = frac{m^3 * 2m}{m^3 * 1} = 2m$
5) $frac{16ab^4}{40ab^2} = frac{8ab^2 * 2b^2}{8ab^2 * 5} = frac{2b^2}{5}$
6) $frac{63x^5y^4}{42x^4y^5} = frac{21x^4y^4 * 3x}{21x^4y^4 * 2y} = frac{3x}{2y}$
7) $frac{12a^8}{-42a^2} = -frac{6a^2 * 2a^6}{6a^2 * 7} = -frac{2a^6}{7}$
8) $frac{-13a^5b^5}{26a^4b^3} = -frac{13a^4b^3 * ab^2}{13a^4b^3 * 2} = -frac{ab^2}{2}$