Ответы к странице 148
586. Сравните числа:
1) $sqrt{frac{1}{3}}$ и $sqrt{frac{1}{5}}$;
2) 9 и $sqrt{82}$;
3) $sqrt{33}$ и 6;
4) $3sqrt{5}$ и $sqrt{42}$;
5) $sqrt{30}$ и $2sqrt{7}$;
6) $7sqrt{frac{1}{7}}$ и $frac{1}{2}sqrt{20}$.
Решение:
1) $frac{1}{3} > frac{1}{5}$, значит:
$sqrt{frac{1}{3}} > sqrt{frac{1}{5}}$2) $9 = sqrt{81}$
$sqrt{81} < sqrt{82}$, значит:
$9 < sqrt{82}$ 3) $6 = sqrt{36}$
$sqrt{33} < sqrt{36}$, значит:
$sqrt{33} < 6$ 4) $3sqrt{5} = sqrt{9 * 5} = sqrt{45}$
$sqrt{45} > sqrt{42}$, значит:
$3sqrt{5} > sqrt{42}$5) $2sqrt{7} = sqrt{4 * 7} = sqrt{28}$
$sqrt{30} > sqrt{28}$, значит:
$sqrt{30} > 2sqrt{7}$6) $7sqrt{frac{1}{7}} = sqrt{49 * frac{1}{7}} = sqrt{7}$
$sqrt{frac{1}{4} * 20} = sqrt{5}$
$sqrt{7} > sqrt{5}$, значит:
$7sqrt{frac{1}{7}} > frac{1}{2}sqrt{20}$
587. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графика функции $y = sqrt{x}$ и прямой:
1) y = 1;
2) y = 0,8;
3) y = −6;
4) y = 500.
Решение:
1) $y = sqrt{x}$
y = 1
$1 = sqrt{x}$
$(sqrt{x})^2 = 1^2$
x = 1
Ответ: точка пересечения графика функции $y = sqrt{x}$ и прямой имеет координаты (1; 1)2) $y = sqrt{x}$
y = 0,8
$0,8 = sqrt{x}$
$(sqrt{x})^2 = 0,8^2$
x = 0,64
Ответ: точка пересечения графика функции $y = sqrt{x}$ и прямой имеет координаты (0,64; 0,8)3) $y = sqrt{x}$
y = −6
$-6 = sqrt{x}$
нет решений
Ответ: график функции $y = sqrt{x}$ и прямая не имеет точек пересечения4) $y = sqrt{x}$
y = 500
$500 = sqrt{x}$
$(sqrt{x})^2 = 500^2$
x = 250000
Ответ: точка пересечения графика функции $y = sqrt{x}$ и прямой имеет координаты (250000; 500)
588. Запишите в порядке убывания числа:
$8; sqrt{62}; 7,9; sqrt{65}; 8,2$.
Решение:
$8 = sqrt{64}$
$7,9 = sqrt{62,41}$
$8,2 = sqrt{67,24}$
67,24 > 65 > 64 > 62,41 > 62, значит:
$8,2 > sqrt{65} > 8 > 7,9 > sqrt{62}$
589. Запишите в порядке возрастания числа:
$sqrt{38}; 6,1; 6; sqrt{35}; 5,9$.
Решение:
$6,1 = sqrt{6,1^2} = sqrt{37,21}$
$6 = sqrt{6^2} = sqrt{36}$
$5,9 = sqrt{5,9^2} = sqrt{34,81}$
34,81 < 35 < 36 < 37,21 < 38, значит:
$5,9 < sqrt{35} < 6 < 6,1 < sqrt{38}$
590. Между какими двумя последовательными целыми числами находится на координатной прямой число:
1) $sqrt{2}$;
2) $sqrt{3}$;
3) $sqrt{5}$;
4) $sqrt{7}$;
5) $sqrt{13}$;
6) $sqrt{0,98}$;
7) $sqrt{59}$;
8) $-sqrt{115}$;
9) $-sqrt{76,19}$?
Решение:
1) $sqrt{1} < sqrt{2} < sqrt{4}$
$1 < sqrt{2} < 2$
Ответ: между числами 1 и 22) $sqrt{1} < sqrt{3} < sqrt{4}$
$1 < sqrt{3} < 2$
Ответ: между числами 1 и 23) $sqrt{4} < sqrt{5} < sqrt{9}$
$2 < sqrt{3} < 3$
Ответ: между числами 2 и 34) $sqrt{4} < sqrt{7} < sqrt{9}$
$2 < sqrt{7} < 3$
Ответ: между числами 2 и 35) $sqrt{9} < sqrt{13} < sqrt{16}$
$3 < sqrt{13} < 4$
Ответ: между числами 3 и 46) $sqrt{0} < sqrt{0,98} < sqrt{1}$
$0 < sqrt{0,98} < 1$
Ответ: между числами 0 и 17) $sqrt{49} < sqrt{59} < sqrt{64}$
$7 < sqrt{59} < 8$
Ответ: между числами 7 и 88) $-sqrt{121} < -sqrt{115} < -sqrt{100}$
$-11 < -sqrt{115} < -10$
Ответ: между числами −11 и −109) $-sqrt{81} < -sqrt{76,19} < -sqrt{64}$
$-9 < -sqrt{76,19} < -8$
Ответ: между числами −9 и −8
591. Между какими двумя последовательными целыми числами находится на координатной прямой число:
1) $sqrt{6}$;
2) $sqrt{19}$;
3) $sqrt{29}$;
4) $sqrt{160}$;
5) $-sqrt{86}$;
6) $-sqrt{30,5}$?
Решение:
1) $sqrt{4} < sqrt{6} < sqrt{9}$
$2 < sqrt{2} < 3$
Ответ: между числами 2 и 32) $sqrt{16} < sqrt{19} < sqrt{25}$
$4 < sqrt{19} < 5$
Ответ: между числами 4 и 53) $sqrt{25} < sqrt{29} < sqrt{36}$
$5 < sqrt{29} < 6$
Ответ: между числами 5 и 64) $sqrt{160}$
$sqrt{144} < sqrt{160} < sqrt{169}$
$12 < sqrt{160} < 13$
Ответ: между числами 12 и 135) $-sqrt{100} < -sqrt{86} < -sqrt{81}$
$-10 < -sqrt{86} < -9$
Ответ: между числами −10 и −96) $-sqrt{30,5}$
$-sqrt{36} < -sqrt{30,5} < -sqrt{25}$
$-6 < -sqrt{30,5} < -5$
Ответ: между числами −6 и −5
592. Укажите все целые числа, расположенные на координатной прямой между числами:
1) 3 и $sqrt{68}$;
2) $sqrt{7}$ и $sqrt{77}$;
3) $-sqrt{31}$ и −2,3;
4) $-sqrt{42}$ и 2,8.
Решение:
1) $sqrt{68} < sqrt{81}$
$sqrt{68} < 9$
3 < x < 9
Ответ: 4, 5, 6, 7, 8.2) $sqrt{4} < sqrt{7}$
$2 < sqrt{7}$
$sqrt{77} < sqrt{81}$
$sqrt{77} < 9$
2 < x < 9
Ответ: 3, 4, 5, 6, 7, 8.3) $-sqrt{31}$ и −2,3
$-sqrt{31} < -sqrt{36}$
$-sqrt{31} < -6$
−6 < x < −2,3
Ответ: −5, −4, −3.4) $-sqrt{42}$ и 2,8
$-sqrt{49} < -sqrt{42}$
$-7 < -sqrt{42}$
−7 < x < 2,8
Ответ: −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2.
593. Укажите все целые числа, расположенные на координатной прямой между числами:
1) $sqrt{3}$ и $sqrt{13}$;
2) $sqrt{10}$ и $sqrt{90}$;
3) $-sqrt{145}$ и $-sqrt{47}$.
Решение:
1) $sqrt{1} < sqrt{3}$
$1 < sqrt{3}$
$sqrt{13} < sqrt{16}$
$sqrt{13} < 4$
1 < x < 4
Ответ: 2, 3.2) $sqrt{9} < sqrt{10}$
$3 < sqrt{10}$
$sqrt{90} < sqrt{100}$
$sqrt{90} < 10$
3 < x < 10
Ответ: 4, 5, 6, 7, 8, 9.3) $-sqrt{169} < -sqrt{145}$
$-13 < -sqrt{145}$
$-sqrt{47} < -sqrt{36}$
$-sqrt{47} < -6$
−13 < x < −6
Ответ: −12, −11, −10, −9, −8, −7.
594. При каких значениях x выполняется неравенство:
1) $sqrt{x} ≥ 2$;
2) $sqrt{x} < 4$;
3) $6 ≤ sqrt{x} < 9$?
Решение:
1) $sqrt{x} ≥ 2$
$begin{equation*} begin{cases} x ≥ 0 &\ x ≥ 2^2 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x ≥ 0 &\ x ≥ 4 & end{cases} end{equation*}$
Ответ: неравенство выполняется при x ≥ 42) $sqrt{x} < 4$
$begin{equation*} begin{cases} x ≥ 0 &\ x < 4^2 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x ≥ 0 &\ x < 16 & end{cases} end{equation*}$
Ответ: неравенство выполняется при 0 ≤ x < 16 3) $6 ≤ sqrt{x} < 9$
$begin{equation*} begin{cases} x ≥ 6^2 &\ x < 9^2 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x ≥ 36 &\ x < 81 & end{cases} end{equation*}$
Ответ: неравенство выполняется при 36 ≤ x < 81
595. При каких значениях x выполняется неравенство:
1) $sqrt{x} ≤ 8$;
2) $sqrt{x} > 7$;
3) $10 ≤ sqrt{x} ≤ 20$?
Решение:
1) $sqrt{x} ≤ 8$
$begin{equation*} begin{cases} x ≥ 0 &\ x ≤ 8^2 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x ≥ 0 &\ x ≤ 64 & end{cases} end{equation*}$
Ответ: неравенство выполняется при 0 ≤ x ≤ 642) $sqrt{x} > 7$
$begin{equation*} begin{cases} x ≥ 0 &\ x > 7^2 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x ≥ 0 &\ x > 49 & end{cases} end{equation*}$
Ответ: неравенство выполняется при x > 493) $10 ≤ sqrt{x} ≤ 20$
$begin{equation*} begin{cases} x ≥ 10^2 &\ x ≤ 20^2& end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x ≥ 100 &\ x ≤ 400 & end{cases} end{equation*}$
Ответ: неравенство выполняется при 100 ≤ x ≤ 400
596. Решите графически уравнение:
1) $sqrt{x} = x$;
2) $sqrt{x} = x^2$;
3) $sqrt{x} = x + 2$;
4) $sqrt{x} = 0,5x + 0,5$;
5) $sqrt{x} = frac{8}{x}$;
6) $sqrt{x} = 1,5 — 0,5x$.
Решение:
1) $sqrt{x} = x$
$y = sqrt{x}$
y = x
Ответ: x = 0 и x = 12) $sqrt{x} = x^2$
$y = sqrt{x}$
$y = x^2$
Ответ: x = 0 и x = 13) $sqrt{x} = x + 2$
$sqrt{x} = x$
$y = x + 2$
Ответ: нет корней4) $sqrt{x} = 0,5x + 0,5$
$sqrt{x} = x$
y = 0,5x + 0,5
Ответ: x = 15) $sqrt{x} = frac{8}{x}$
$sqrt{x} = x$
$y = frac{8}{x}$
Ответ: x = 46) $sqrt{x} = 1,5 — 0,5x$
$sqrt{x} = x$
y = 1,5 − 0,5x
Ответ: x = 1
597. Решите графически уравнение:
1) $sqrt{x} = -x — 1$;
2) $sqrt{x} = 2 — x$;
3) $sqrt{x} = frac{1}{x}$.
Решение:
1) $sqrt{x} = -x — 1$
$y = sqrt{x}$
y = −x − 1
Ответ: нет корней2) $sqrt{x} = 2 — x$
$y = sqrt{x}$
y = 2 − x
Ответ: x = 13) $sqrt{x} = frac{1}{x}$
$y = sqrt{x}$
$y = frac{1}{x}$
Ответ: x = 1
