Ответы к странице 169
661. При каких значениях переменной:
1) значения многочленов $6x^2 — 2$ и 5 − x равны;
2) значение двучлена y − 6 равно значению трехчлена $y^2 — 9y + 3$;
3) трехчлены $4m^2 + 4m + 2$ и $2m^2 + 10m + 8$ принимают равные значения?
Решение:
1) $6x^2 — 2 = 5 — x$
$6x^2 — 2 — 5 + x = 0$
$6x^2 + x — 7 = 0$
$D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 * 6 * (-7) = 1 + 168 = 169 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{-1 + sqrt{169}}{2 * 6} = frac{-1 + 13}{12} = frac{12}{12} = 1$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{-1 — sqrt{169}}{2 * 6} = frac{-1 — 13}{12} = frac{-14}{12} = -frac{7}{6} = -1frac{1}{6}$
Ответ: при $x = -1frac{1}{6}$ и x = 12) $y — 6 = y^2 — 9y + 3$
$y — 6 — y^2 + 9y — 3 = 0$
$-y^2 + 10y — 9 = 0$
$D = b^2 — 4ac = 10^2 — 4 * (-1) * (-9) = 100 — 36 = 64 > 0$
$y_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{-10 + sqrt{64}}{2 * (-1)} = frac{-10 + 8}{-2} = frac{-2}{-2} = 1$
$y_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{-10 — sqrt{64}}{2 * (-1)} = frac{-10 — 8}{-2} = frac{-18}{-2} = 9$
Ответ: при y = 1 и y = 93) $4m^2 + 4m + 2 = 2m^2 + 10m + 8$
$4m^2 + 4m + 2 — 2m^2 — 10m — 8 = 0$
$2m^2 — 6m — 6 = 0$ |: 2
$m^2 — 3m — 3 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-3)^2 — 4 * 1 * (-3) = 9 + 12 = 21 > 0$
$m_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{3 + sqrt{21}}{2 * 1} = frac{3 + sqrt{21}}{2}$
$m_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{3 — sqrt{21}}{2} = frac{3 — sqrt{21}}{2}$
Ответ: при $m = frac{3 — sqrt{21}}{2}$ и $m = frac{3 + sqrt{21}}{2}$
662. При каких значениях переменной:
1) значение двучлена 4x + 4 равно значению трехчлена $3x^2 + 5x — 10$;
2) значения трехчленов $10p^2 + 10p + 8$ и $3p^2 — 10p + 11$ равны?
Решение:
1) $4x + 4 = 3x^2 + 5x — 10$
$4x + 4 — 3x^2 — 5x + 10 = 0$
$-3x^2 — x + 14 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-1)^2 — 4 * (-3) * 14 = 1 + 168 = 169 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{1 + sqrt{169}}{2 * (-3)} = frac{1 + 13}{-6} = frac{14}{-6} = -frac{7}{3} = -2frac{1}{3}$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{1 — sqrt{169}}{2 * (-3)} = frac{1 — 13}{-6} = frac{-12}{-6} = 2$
Ответ: при $x = -2frac{1}{3}$ и x = 22) $10p^2 + 10p + 8 = 3p^2 — 10p + 11$
$10p^2 + 10p + 8 — 3p^2 + 10p — 11 = 0$
$7p^2 + 20p — 3 = 0$
$D = b^2 — 4ac = 20^2 — 4 * 7 * (-3) = 400 + 84 = 484 > 0$
$p_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{-20 + sqrt{484}}{2 * 7} = frac{-20 + 22}{14} = frac{2}{14} = frac{1}{7}$
$p_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{-20 — sqrt{484}}{2 * 7} = frac{-20 — 22}{14} = frac{-42}{14} = -3$
Ответ: при p = −3 и $p = frac{1}{7}$
663. Найдите корни уравнения:
1) (2x − 5)(x + 2) = 18;
2) $(4x — 3)^2 + (3x — 1)(3x + 1) = 9$;
3) $(x + 3)^2 — (2x — 1)^2 = 16$;
4) $(x — 6)^2 — 2x(x + 3) = 30 — 12x$;
5) (x + 7)(x − 8) − (4x + 1)(x − 2) = −21x;
6) (2x − 1)(2x + 1) − x(1 − x) = 2x(x + 1).
Решение:
1) (2x − 5)(x + 2) = 18
$2x^2 — 5x + 4x — 10 — 18 = 0$
$2x^2 — x — 28 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-1)^2 — 4 * 2 * (-28) = 1 + 224 = 225 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{1 + sqrt{225}}{2 * 2} = frac{1 + 15}{4} = frac{16}{4} = 4$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{1 — sqrt{225}}{2 * 2} = frac{1 — 15}{4} = frac{-14}{4} = frac{-7}{2} = -3,5$
Ответ: при x = −3,5 и x = 42) $(4x — 3)^2 + (3x — 1)(3x + 1) = 9$
$16x^2 — 24x + 9 + 9x^2 — 1 — 9 = 0$
$25x^2 — 24x — 1 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-24)^2 — 4 * 25 * (-1) = 576 + 100 = 676 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{24 + sqrt{676}}{2 * 25} = frac{24 + 26}{50} = frac{50}{50} = 1$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{24 — sqrt{676}}{2 * 25} = frac{24 — 26}{50} = frac{-2}{50} = -frac{1}{25}$
Ответ: при $x = -frac{1}{25}$ и x = 13) $(x + 3)^2 — (2x — 1)^2 = 16$
$x^2 + 6x + 9 — (4x^2 — 4x + 1) = 16$
$x^2 + 6x + 9 — 4x^2 + 4x — 1 — 16 = 0$
$-3x^2 + 10x — 8 = 0$
$D = b^2 — 4ac = 10^2 — 4 * (-3) * (-8) = 100 — 96 = 4 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{-10 + sqrt{4}}{2 * (-3)} = frac{-10 + 2}{-6} = frac{-8}{-6} = frac{4}{3} = 1frac{1}{3}$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{-10 — sqrt{4}}{2 * (-3)} = frac{-10 — 2}{-6} = frac{-12}{-6} = 2$
Ответ: при $x = 1frac{1}{3}$ и x = 24) $(x — 6)^2 — 2x(x + 3) = 30 — 12x$
$x^2 — 12x + 36 — 2x^2 — 6x — 30 + 12x = 0$
$-x^2 — 6x + 6 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-6)^2 — 4 * (-1) * 6 = 36 + 24 = 60 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{6 + sqrt{60}}{2 * (-1)} = frac{6 + sqrt{4 * 15}}{-2} = frac{6 + 2sqrt{15}}{-2} = -frac{2(3 + sqrt{15})}{2} = -3 — sqrt{15}$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{6 — sqrt{60}}{2 * (-1)} = frac{6 — sqrt{4 * 15}}{-2} = frac{6 — 2sqrt{15}}{-2} = -frac{2(3 — sqrt{15})}{2} = -3 + sqrt{15}$
Ответ: при $x = -3 — sqrt{15}$ и $x = -3 + sqrt{15}$5) (x + 7)(x − 8) − (4x + 1)(x − 2) = −21x
$x^2 + 7x — 8x — 56 — (4x^2 + x — 8x — 2) + 21x = 0$
$x^2 — x — 56 — 4x^2 — x + 8x + 2 + 21x = 0$
$-3x^2 + 27x — 54 = 0$ |: (−3)
$x^2 — 9x + 18 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-9)^2 — 4 * 1 * 18 = 81 — 72 = 9 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{9 + sqrt{9}}{2 * 1} = frac{9 + 3}{2} = frac{12}{2} = 6$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{9 — sqrt{9}}{2 * 1} = frac{9 — 3}{2} = frac{6}{2} = 3$
Ответ: при x = 3 и x = 66) (2x − 1)(2x + 1) − x(1 − x) = 2x(x + 1)
$4x^2 — 1 — x + x^2 = 2x^2 + 2x$
$5x^2 — x — 1 — 2x^2 — 2x = 0$
$3x^2 — 3x — 1 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-3)^2 — 4 * 3 * (-1) = 9 + 12 = 21 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{3 + sqrt{21}}{2 * 3} = frac{3 + sqrt{21}}{6}$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{3 — sqrt{21}}{2 * 3} = frac{3 — sqrt{21}}{6}$
Ответ: при $x = frac{3 — sqrt{21}}{6}$ и $x = frac{3 + sqrt{21}}{6}$
664. Решите уравнение:
1) $(x — 4)^2 = 4x — 11$;
2) $(x + 5)^2 + (x — 7)(x + 7) = 6x — 19$;
3) (3x − 1)(x + 4) = (2x + 3)(x + 3) − 17.
Решение:
1) $(x — 4)^2 = 4x — 11$
$x^2 — 8x + 16 — 4x + 11 = 0$
$x^2 — 12x + 27 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-12)^2 — 4 * 1 * 27 = 144 — 108 = 36 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{12 + sqrt{36}}{2 * 1} = frac{12 + 6}{2} = frac{18}{2} = 9$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{12 — sqrt{36}}{2 * 1} = frac{12 — 6}{2} = frac{6}{2} = 3$
Ответ: при x = 3 и x = 92) $(x + 5)^2 + (x — 7)(x + 7) = 6x — 19$
$x^2 + 10x + 25 + x^2 — 49 — 6x + 19 = 0$
$2x^2 + 4x — 5 = 0$
$D = b^2 — 4ac = 4^2 — 4 * 2 * (-5) = 16 + 40 = 56 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{-4 + sqrt{56}}{2 * 2} = frac{-4 + sqrt{4 * 14}}{4} = frac{-4 + 2sqrt{14}}{4} = frac{2(-2 + sqrt{14})}{4} = frac{-2 + sqrt{14}}{2}$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{-4 — sqrt{56}}{2 * 2} = frac{-4 — sqrt{4 * 14}}{4} = frac{-4 — 2sqrt{14}}{4} = frac{2(-2 — sqrt{14})}{4} = frac{-2 — sqrt{14}}{2}$
Ответ: при $x = frac{-2 — sqrt{14}}{2}$ и $x = frac{-2 + sqrt{14}}{2}$3) (3x − 1)(x + 4) = (2x + 3)(x + 3) − 17
$3x^2 — x + 12x — 4 = 2x^2 + 3x + 6x + 9 — 17$
$3x^2 + 11x — 4 = 2x^2 + 9x — 8$
$3x^2 + 11x — 4 — 2x^2 — 9x + 8 = 0$
$x^2 + 2x + 4 = 0$
$D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4 * 1 * 4 = 4 — 16 = -12 < 0$
Ответ: нет корней
665. Найдите натуральное число, квадрат которого на 42 больше данного числа.
Решение:
Пусть n − искомое натуральное число, тогда:
$n^2$ − квадрат искомого числа.
Так как, квадрат числа на 42 больше самого числа, можно составить уравнение:
$n^2 — n = 42$
$n^2 — n — 42 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-1)^2 — 4 * 1 * (-42) = 1 + 168 = 169 > 0$
$n_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{1 + sqrt{169}}{2 * 1} = frac{1 + 13}{2} = frac{14}{2} = 7$
$n_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{1 — sqrt{169}}{2 * 1} = frac{1 — 13}{2} = frac{-12}{2} = -6$ − не подходит, так как не является натуральным числом.
Ответ: 7 − искомое натуральное число
666. Найдите периметр прямоугольника, площадь которого равна 70 $см^2$, а одна из сторон на 9 см больше другой.
Решение:
Пусть x (см) − ширина прямоугольника, тогда:
x + 9 (см) − длина прямоугольника.
Так как, площадь прямоугольника равна 70 $см^2$, можно составить уравнение:
x(x + 9) = 70
$x^2 + 9x — 70 = 0$
$D = b^2 — 4ac = 9^2 — 4 * 1 * (-70) = 81 + 280 = 361 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{-9 + sqrt{361}}{2 * 1} = frac{-9 + 19}{2} = frac{10}{2} = 5$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{-9 — sqrt{361}}{2 * 1} = frac{-9 — 19}{2} = frac{-28}{2} = -14$ − не подходит, так как ширина прямоугольника не может быть отрицательной.
Тогда:
x = 5 (см) − ширина прямоугольника;
x + 9 = 5 + 9 = 14 (см) − длина прямоугольника;
P = 2(5 + 14) = 2 * 19 = 38 (см) − периметр прямоугольника.
Ответ: 38 см
667. Произведение двух чисел равно 84. Найдите эти числа, если одно из них на 8 меньше другого.
Решение:
Пусть x − меньшее число, тогда:
x + 8 − большее число.
Так как, произведение данных чисел равно 84, можно составить уравнение:
x(x + 8) = 84
$x^2 + 8x — 84 = 0$
$D = b^2 — 4ac = 8^2 — 4 * 1 * (-84) = 64 + 336 = 400 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{-8 + sqrt{400}}{2 * 1} = frac{-8 + 20}{2} = frac{12}{2} = 6$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{-8 — sqrt{400}}{2 * 1} = frac{-8 — 20}{2} = frac{-28}{2} = -14$
Если x = 6 − меньшее число, то:
x + 8 = 6 + 8 = 14 − большее число.
Если x = −14 − меньшее число, то:
x + 8 = −14 + 8 = −6 − большее число.
Ответ: 6 и 14; −14 и −6.
668. Произведение двух последовательных натуральных чисел на 89 больше их суммы. Найдите эти числа.
Решение:
Пусть n − меньшее натуральное число, тогда:
n + 1 − большее натуральное число.
Так как, произведение двух последовательных натуральных чисел на 89 больше их суммы, можно составить уравнение:
n(n + 1) − 89 = n + n + 1
$n^2 + n — 89 — 2n — 1 = 0$
$n^2 — n — 90 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-1)^2 — 4 * 1 * (-90) = 1 + 360 = 361 > 0$
$n_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{1 + sqrt{361}}{2 * 1} = frac{1 + 19}{2} = frac{20}{2} = 10$
$n_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{1 — sqrt{361}}{2 * 1} = frac{1 — 19}{2} = frac{-18}{2} = -9$ − не удовлетворяет условию задачи, так как не является натуральным числом.
Тогда:
n = 10 − меньшее натуральное число, тогда:
n + 1 = 10 + 1 = 11 − большее натуральное число.
Ответ: 10 и 11
669. Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел равна 365. Найдите эти числа.
Решение:
Пусть n − меньшее натуральное число, тогда:
n + 1 − большее натуральное число.
Так как, сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел равна 365, можно составить уравнение:
$n^2 + (n + 1)^2 = 365$
$n^2 + n^2 + 2n + 1 — 365 = 0$
$2n^2 + 2n — 364 = 0$ |: 2
$n^2 + n — 182 = 0$
$D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 * 1 * (-182) = 1 + 728 = 729 > 0$
$n_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{-1 + sqrt{729}}{2 * 1} = frac{-1 + 27}{2} = frac{26}{2} = 13$
$n_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{-1 — sqrt{729}}{2 * 1} = frac{-1 — 27}{2} = frac{-28}{2} = -14$ − не удовлетворяет условию задачи, так как не является натуральным числом.
Тогда:
n = 13 − меньшее натуральное число, тогда:
n + 1 = 13 + 1 = 14 − большее натуральное число.
Ответ: 13 и 14
670. Решите уравнение:
1) $2x^2 + xsqrt{5} — 15 = 0$;
2) $x^2 — x(sqrt{6} — 1) — sqrt{6} = 0$;
3) $frac{x^2 — 4}{8} — frac{2x + 3}{3} = -1$;
4) $frac{4x^2 + x}{3} — frac{x^2 + 17}{9} = frac{5x — 1}{6}$.
Решение:
1) $2x^2 + xsqrt{5} — 15 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (sqrt{5})^2 — 4 * 2 * (-15) = 5 + 120 = 125 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{-sqrt{5} + sqrt{125}}{2 * 2} = frac{-sqrt{5} + sqrt{25 * 5}}{4} = frac{-sqrt{5} + 5sqrt{5}}{4} = frac{4sqrt{5}}{4} = sqrt{5}$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{-sqrt{5} — sqrt{125}}{2 * 2} = frac{-sqrt{5} — sqrt{25 * 5}}{4} = frac{-sqrt{5} — 5sqrt{5}}{4} = frac{-6sqrt{5}}{4} = -frac{3sqrt{5}}{2}$
Ответ: $x = -frac{3sqrt{5}}{2}$ и $x = sqrt{5}$2) $x^2 — x(sqrt{6} — 1) — sqrt{6} = 0$
$D = b^2 — 4ac = (sqrt{6} — 1)^2 — 4 * 1 * (-sqrt{6}) = 6 — 2sqrt{6} + 1 + 4sqrt{6} = 6 + 2sqrt{6} + 1 = (sqrt{6} + 1)^2 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{sqrt{6} — 1 + sqrt{(sqrt{6} + 1)^2}}{2 * 1} = frac{sqrt{6} — 1 + sqrt{6} + 1}{2} = frac{2sqrt{6}}{2} = sqrt{6}$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{sqrt{6} — 1 — sqrt{(sqrt{6} + 1)^2}}{2 * 1} = frac{sqrt{6} — 1 — sqrt{6} — 1}{2} = frac{-2}{2} = -1$
Ответ: x = −1 и $x = sqrt{6}$3) $frac{x^2 — 4}{8} — frac{2x + 3}{3} = -1$ |* 24
$3(x^2 — 4) — 8(2x + 3) = -24$
$3x^2 — 12 — 16x — 24 + 24 = 0$
$3x^2 — 16x — 12 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-16)^2 — 4 * 3 * (-12) = 256 + 144 = 400 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{16 + sqrt{400}}{2 * 3} = frac{16 + 20}{6} = frac{36}{6} = 6$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{16 — sqrt{400}}{2 * 3} = frac{16 — 20}{6} = frac{-4}{6} = -frac{2}{3}$
Ответ: $x = -frac{2}{3}$ и x = 64) $frac{4x^2 + x}{3} — frac{x^2 + 17}{9} = frac{5x — 1}{6}$ |* 18
$6(4x^2 + x) — 2(x^2 + 17) = 3(5x — 1)$
$24x^2 + 6x — 2x^2 — 34 = 15x — 3$
$22x^2 + 6x — 34 — 15x + 3 = 0$
$22x^2 — 9x — 31 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-9)^2 — 4 * 22 * (-31) = 81 + 2728 = 2809 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{9 + sqrt{2809}}{2 * 22} = frac{9 + 53}{44} = frac{62}{44} = frac{31}{22} = 1frac{9}{22}$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{9 — sqrt{2809}}{2 * 22} = frac{9 — 53}{44} = frac{-44}{44} = -1$
Ответ: x = −1 и $x = 1frac{9}{22}$
671. Решите уравнение:
1) $x^2 + 3xsqrt{2} + 4 = 0$;
2) $x^2 — x(sqrt{3} + 2) + 2sqrt{3} = 0$;
3) $frac{2x^2 + x}{3} — frac{x + 3}{4} = x — 1$.
Решение:
1) $x^2 + 3xsqrt{2} + 4 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (3sqrt{2})^2 — 4 * 1 * 4 = 9 * 2 — 16 = 18 — 16 = 2 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{-3sqrt{2} + sqrt{2}}{2 * 1} = frac{-2sqrt{2}}{2} = -sqrt{2}$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{-3sqrt{2} — sqrt{2}}{2 * 1} = frac{-4sqrt{2}}{2} = -2sqrt{2}$
Ответ: $x = -2sqrt{2}$ и $x = -sqrt{2}$2) $x^2 — x(sqrt{3} + 2) + 2sqrt{3} = 0$
$D = b^2 — 4ac = (sqrt{3} + 2)^2 — 4 * 1 * 2sqrt{3} = 3 + 4sqrt{3} + 4 — 8sqrt{3} = 3 — 4sqrt{3} + 4 = (sqrt{3} — 2)^2 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{sqrt{3} + 2 + sqrt{(sqrt{3} — 2)^2}}{2 * 1} = frac{sqrt{3} + 2 + sqrt{3} — 2}{2} = frac{2sqrt{3}}{2} = sqrt{3}$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{sqrt{3} + 2 — sqrt{(sqrt{3} — 2)^2}}{2 * 1} = frac{sqrt{3} + 2 — (sqrt{3} — 2)}{2} = frac{sqrt{3} + 2 — sqrt{3} + 2}{2} = frac{4}{2} = 2$
Ответ: $x = sqrt{3}$ и x = 23) $frac{2x^2 + x}{3} — frac{x + 3}{4} = x — 1$ |* 12
$4(2x^2 + x) — 3(x + 3) = 12(x — 1)$
$8x^2 + 4x — 3x — 9 = 12x — 12$
$8x^2 + x — 9 — 12x + 12 = 0$
$8x^2 — 11x + 3 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-11)^2 — 4 * 8 * 3 = 121 — 96 = 25 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{11 + sqrt{25}}{2 * 8} = frac{11 + 5}{16} = frac{16}{16} = 1$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{11 — sqrt{25}}{2 * 8} = frac{11 — 5}{16} = frac{6}{16} = frac{3}{8}$
Ответ: $x = frac{3}{8}$ и x = 1
672. При каких значениях a число $frac{1}{4}$ является корнем уравнения $a^2x^2 + 4ax — 5 = 0$?
Решение:
$a^2x^2 + 4ax — 5 = 0$
$x = frac{1}{4}$:
$a^2 * (frac{1}{4})^2 + 4a * frac{1}{4} — 5 = 0$
$frac{1}{16}a^2 + a — 5 = 0$
$D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 * frac{1}{16} * (-5) = 1 + frac{5}{4} = 1 + 1,25 = 2,25 > 0$
$a_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{-1 + sqrt{2,25}}{2 * frac{1}{16}} = frac{-1 + 1,5}{frac{1}{8}} = 0,5 * 8 = 4$
$a_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{-1 — sqrt{2,25}}{2 * frac{1}{16}} = frac{-1 — 1,5}{frac{1}{8}} = -2,5 * 8 = -20$
Ответ: при a = −20 и a = 4