Ответы к странице 17
45. Сократите дробь:
1) $frac{2m^2 — 72n^2}{(4m + 24n)^2}$;
2) $frac{a^3 — 8}{ab — a — 2b + 2}$;
3) $frac{a^3 + 2a^2b + ab^2}{a^3 — ab^2}$.
Решение:
1) $frac{2m^2 — 72n^2}{(4m + 24n)^2} = frac{2(m^2 — 36n^2)}{16(m + 6n)^2} = frac{2(m — 6n)(m + 6n)}{16(m + 6n)^2} = frac{m — 6n}{8(m + 6n)}$
2) $frac{a^3 — 8}{ab — a — 2b + 2} = frac{(a — 2)(a^2 + 2a + 4)}{(ab — a) — (2b — 2)} = frac{(a — 2)(a^2 + 2a + 4)}{a(b — 1) — 2(b — 1)} = frac{(a — 2)(a^2 + 2a + 4)}{(b — 1)(a — 2)} = frac{a^2 + 2a + 4}{b — 1}$
3) $frac{a^3 + 2a^2b + ab^2}{a^3 — ab^2} = frac{a(a^2 + 2ab + b^2)}{a(a^2 — b^2)} = frac{a(a + b)^2}{a(a — b)(a + b)} = frac{a + b}{a — b}$
46. Найдите значение дроби, предварительно сократив ее:
1) $frac{15a^2 + 10ab}{3ab + 2b^2}$, если a = −2, b = 0,4;
2) $frac{9b^2 — 4c^2}{12b^2c — 8bc^2}$, если $b = frac{1}{3}$, c = −6;
3) $frac{36x^2 — 12xy + y^2}{y^2 — 36x^2}$, если x = 1,2, y = −3;
4) $frac{a^8 — a^6}{a^9 + a^8}$, если a = −0,1.
Решение:
1) $frac{15a^2 + 10ab}{3ab + 2b^2} = frac{5a(3a + 2b)}{b(3a + 2b)} = frac{5a}{b}$
при a = −2, b = 0,4:
$frac{5 * (-2)}{0,4} = frac{-10}{frac{4}{10}} = -10 * frac{10}{4} = -5 * 5 = -25$2) $frac{9b^2 — 4c^2}{12b^2c — 8bc^2} = frac{(3b — 2c)(3b + 2c)}{4bc(3b — 2c)} = frac{3b + 2c}{4bc}$
при $b = frac{1}{3}$, c = −6:
$frac{3 * frac{1}{3} + 2 * (-6)}{4 * frac{1}{3} * (-6)} = frac{1 — 12}{4 * (-2)} = frac{-11}{-8} = frac{11}{8} = 1frac{3}{8}$3) $frac{36x^2 — 12xy + y^2}{y^2 — 36x^2} = frac{(6x — y)^2}{(y — 6x)(y + 6x)} = frac{(y — 6x)^2}{(y — 6x)(y + 6x)} = frac{y — 6x}{y + 6x}$
при x = 1,2, y = −3:
$frac{-3 — 6 * 1,2}{-3 + 6 * 1,2} = frac{-3 — 7,2}{-3 + 7,2} = frac{-10,2}{4,2} = -frac{102}{42} = -frac{17}{7} = -2frac{3}{7}$4) $frac{a^8 — a^6}{a^9 + a^8} = frac{a^6(a^2 — 1)}{a^8(a + 1)} = frac{a^6(a — 1)(a + 1)}{a^8(a + 1)} = frac{a — 1}{a^2}$
при a = −0,1:
$frac{-0,1 — 1}{(-0,1)^2} = frac{-1,1}{0,01} = -110$
47. Найдите значение выражения:
1) $frac{16x^2 — 4y^2}{6x — 3y}$ при x = 2,5, y = −2;
2) $frac{49c^2 — 9}{49c^2 + 42c + 9}$ при c = −4.
Решение:
1) $frac{16x^2 — 4y^2}{6x — 3y} = frac{(4x — 2y)(4x + 2y)}{3(2x — y)} = frac{2 * 2(2x — y)(2x + y)}{3(2x — y)} = frac{4(2x + y)}{3}$
при x = 2,5, y = −2:
$frac{4(2 * 2,5 — 2)}{3} = frac{4(5 — 2)}{3} = frac{4 * 3}{3} = 4$2) $frac{49c^2 — 9}{49c^2 + 42c + 9} = frac{(7c — 3)(7c + 3)}{(7c + 3)^2} = frac{7c — 3}{7c + 3}$
при c = −4:
$frac{7 * (-4) — 3}{7 * (-4) + 3} = frac{-28 — 3}{-28 + 3} = frac{-31}{-25} = 1frac{6}{25}$
48. Приведите к общему знаменателю дроби:
1) $frac{2p}{5p — 15}$ и $frac{1}{p^3 — 27}$;
2) $frac{3a + 1}{9a^2 — 6a + 1}$ и $frac{a — 2}{9a^2 — 1}$;
3) $frac{a}{a^2 — 7a}$ и $frac{a + 3}{a^2 — 14a + 49}$;
4) $frac{2x}{x^2 — 1}, frac{3x}{x^2 — 2x + 1}$ и $frac{4}{x^2 + 2x + 1}$;
5) $frac{a^2}{a^2 — ab — ac + bc}, frac{b}{2a — 2b}$ и $frac{ab}{4a — 4c}$.
Решение:
1) $frac{2p}{5p — 15} = frac{2p}{5(p — 3)} = frac{2p(p^2 + 3p + 9)}{5(p — 3)(p^2 + 3p + 9)} = frac{2p(p^2 + 3p + 9)}{5(p^3 — 27)}$
$frac{1}{p^3 — 27} = frac{1}{(p — 3)(p^2 + 3p + 9)} = frac{5}{5(p — 3)(p^2 + 3p + 9)} = frac{5}{5(p^3 — 27)}$2) $frac{3a + 1}{9a^2 — 6a + 1} = frac{3a + 1}{(3a — 1)^2} = frac{(3a + 1)(3a + 1)}{(3a — 1)^2(3a + 1)} = frac{(3a + 1)^2}{(3a — 1)^2(3a + 1)}$
$frac{a — 2}{9a^2 — 1} = frac{a — 2}{(3a — 1)(3a + 1)} = frac{(a — 2)(3a — 1)}{(3a — 1)(3a + 1)(3a — 1)} = frac{(a — 2)(3a — 1)}{(3a — 1)^2(3a + 1)}$3) $frac{a}{a^2 — 7a} = frac{a}{a(a — 7)} = frac{a — 7}{(a — 7)(a — 7)} = frac{a — 7}{(a — 7)^2}$
$frac{a + 3}{a^2 — 14a + 49} = frac{a + 3}{(a — 7)^2} = frac{a(a + 3)}{a(a — 7)^2} = frac{a + 3}{(a — 7)^2}$4) $frac{2x}{x^2 — 1} = frac{2x}{(x — 1)(x + 1)} = frac{2x(x — 1)(x + 1)}{(x — 1)(x + 1)(x — 1)(x + 1)} = frac{2x(x^2 — 1)}{(x — 1)^2(x + 1)^2}$
$frac{3x}{x^2 — 2x + 1} = frac{3x}{(x — 1)^2} = frac{3x(x + 1)^2}{(x — 1)^2(x + 1)^2}$
$frac{4}{x^2 + 2x + 1} = frac{4}{(x + 1)^2} = frac{4(x — 1)^2}{(x — 1)^2(x + 1)^2}$5) $frac{a^2}{a^2 — ab — ac + bc} = frac{a^2}{(a^2 — ab) — (ac — bc)} = frac{a^2}{a(a — b) — c(a — b)} = frac{a^2}{(a — b)(a — c)} = frac{4a^2}{4(a — b)(a — c)}$
$frac{b}{2a — 2b} = frac{b}{2(a — b)} = frac{2 * b(a — c)}{2 * 2(a — b)(a — c)} = frac{2b(a — c)}{4(a — b)(a — c)}$
$frac{ab}{4a — 4c} = frac{ab}{4(a — c)} = frac{ab(a — b)}{4(a — b)(a — c)}$
49. Запишите в виде дробей с одинаковыми знаменателями:
1) $frac{3a}{3a — 2}, frac{a}{9a + 6}$ и $frac{a^2}{9a^2b — 4b}$;
2) $frac{1}{a — 5b}, frac{1}{a^2 + 7ac}$ и $frac{1}{a^2 + 7ac — 5ab — 35bc}$.
Решение:
1) $frac{3a}{3a — 2} = frac{3a * 3b(3a + 2)}{3b(3a — 2)(3a + 2)} = frac{9ab(3a + 2)}{3b(9a^2 — 4)}$
$frac{a}{9a + 6} = frac{a}{3(3a + 2)} = frac{a * b(3a — 2)}{3b(3a — 2)(3a + 2)} = frac{ab(3a — 2)}{3b(9a^2 — 4)}$
$frac{a^2}{9a^2b — 4b} = frac{a^2}{b(9a^2 — 4)} = frac{a^2}{b(3a — 2)(3a + 2)} = frac{3a^2}{3b(9a^2b — 4b)}$2) $frac{1}{a — 5b} = frac{a(a + 7c)}{a(a — 5b)(a + 7c)}$
$frac{1}{a^2 + 7ac} = frac{1}{a(a + 7c)} = frac{a — 5b}{a(a — 5b)(a + 7c)}$
$frac{1}{a^2 + 7ac — 5ab — 35bc} = frac{1}{(a^2 + 7ac) — (5ab + 35bc)} = frac{1}{a(a + 7c) — 5b(a + 7c)} = frac{a}{a(a + 7c)(a — 5b)}$
50. Найдите значение выражения
$frac{2xy — y^2}{3xy + x^2}$, если $frac{x}{y} = 2$.
Решение:
$frac{2xy — y^2}{3xy + x^2} = frac{y(2x — y)}{x(3y + x)} = frac{y}{x} * frac{2x — y}{3y + x}$
при $frac{x}{y} = 2$
$frac{y}{x} = frac{1}{2}$
x = 2y:
$frac{y}{x} * frac{2x — y}{3y + x} = frac{1}{2} * frac{2 * 2y — y}{3y + 2y} = frac{1}{2} * frac{4y — y}{5y} = frac{3y}{10y} = 0,3$
51. Найдите значение выражения
$frac{4a^2 — ab}{ab + 14b^2}$, если $frac{a}{b} = 5$.
Решение:
$frac{4a^2 — ab}{ab + 14b^2} = frac{a(4a — b)}{b(a + 14b)} = frac{a}{b} * frac{4a — b}{a + 14b}$
при $frac{a}{b} = 5$
a = 5b
$5 * frac{4 * 5b — b}{5b + 14b} = 5 * frac{20b — b}{19b} = 5 * frac{19b}{19b} = 5 * 1 = 5$
52. Известно, что 2a − 6b = 1. Найдите значение выражения:
1) $frac{8}{a — 3b}$;
2) $frac{a^2 — 9b^2}{0,5a + 1,5b}$.
Решение:
1) 2a − 6b = 1
2(a − 3b) = 1
$a — 3b = frac{1}{2}$, тогда:
$frac{8}{a — 3b} = frac{8}{frac{1}{2}} = 8 * 2 = 16$2) $frac{a^2 — 9b^2}{0,5a + 1,5b} = frac{(a — 3b)(a + 3b)}{0,5(a + 3b)} = frac{a — 3b}{frac{1}{2}} = 2(a — 3b) = 2a — 6b = 1$