Ответы к странице 186
760. При каком значении a разложение на линейные множители трехчлена:
1) $2x^2 — 7x + a$ содержит множитель (x − 4);
2) $4x^2 — ax + 6$ содержит множитель (2x + 1).
Решение:
1) $2x^2 — 7x + a = 2(x — 4)(x — x_2)$
$x_1 = 4$
$x_1 + x_2 = -frac{b}{a} = -frac{-7}{2} = 3,5$
$4 + x_2 = 3,5$
$x_2 = 3,5 — 4$
$x_2 = -0,5$
$x_1x_2 = frac{c}{a} = frac{a}{2}$
$frac{a}{2} = 4 * (-0,5)$
$frac{a}{2} = -2$
a = −4
Ответ: при a = −42) $4x^2 — ax + 6 = 4(x — x_1)(x — x_2) = 2 * 2(x — x_1)(x — x_2) = 2 * (2x — 2x_1) * (x — x_2)$
$2x — 2x_1 = 2x + 1$
$-2x_1 = 1$
$x_1 = -0,5$
$x_1x_2 = frac{c}{a} = frac{6}{4} = frac{3}{2} = 1,5$
$-0,5 * x_2 = 1,5$
$x_2 = -frac{1,5}{0,5}$
$x_2 = -frac{15}{5}$
$x_2 = -3$
$x_1 + x_2 = -frac{b}{a} = -frac{-a}{4} = frac{a}{4}$
$frac{a}{4} = -0,5 + (-3)$
$frac{a}{4} = -3,5$
a = −3,5 * 4
a = −14
Ответ: при a = −14
761. Упростите выражение:
1) $frac{9a^2 — 4}{2a^2 — 5a + 2} * frac{a — 2}{3a + 2} + frac{a — 1}{1 — 2a}$;
2) $frac{b — 4}{b^3 — b} : (frac{b — 1}{2b^2 + 3b + 1} — frac{1}{b^2 — 1})$;
3) $(frac{c + 2}{c^2 — c — 6} — frac{2c}{c^2 — 6c + 9}) : frac{с^2 + 3c}{(2c — 6)^2}$;
4) $(frac{3}{m — 4} + frac{2m}{m + 1} + frac{4m — 6}{m^2 — 3m — 4}) * frac{4m — 16}{2m — 3}$.
Решение:
1) $frac{9a^2 — 4}{2a^2 — 5a + 2} * frac{a — 2}{3a + 2} + frac{a — 1}{1 — 2a}$
$2a^2 — 5a + 2 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-5)^2 — 4 * 2 * 2 = 25 — 16 = 9 > 0$
$a_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{5 + sqrt{9}}{2 * 2} = frac{5 + 3}{4} = frac{8}{4} = 2$
$a_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{5 — sqrt{9}}{2 * 2} = frac{5 — 3}{4} = frac{2}{4} = 0,5$
$2a^2 — 5a + 2 = 2(a — 2)(a — 0,5) = (a — 2)(2a — 1)$
тогда:
$frac{9a^2 — 4}{(a — 2)(2a — 1)} * frac{a — 2}{3a + 2} + frac{a — 1}{1 — 2a} = frac{(3a — 2)(3a + 2)}{2a — 1} * frac{1}{3a + 2} + frac{a — 1}{1 — 2a} = frac{3a — 2}{2a — 1} + frac{a — 1}{1 — 2a} = frac{3a — 2}{2a — 1} — frac{a — 1}{2a — 1} = frac{3a — 2 — (a — 1)}{2a — 1} = frac{3a — 2 — a + 1}{2a — 1} = frac{2a — 1}{2a — 1} = 1$2) $frac{b — 4}{b^3 — b} : (frac{b — 1}{2b^2 + 3b + 1} — frac{1}{b^2 — 1})$
$2b^2 + 3b + 1 = 0$
$D = b^2 — 4ac = 3^2 — 4 * 2 * 1 = 9 — 8 = 1 > 0$
$b_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{-3 + sqrt{1}}{2 * 2} = frac{-3 + 1}{4} = frac{-2}{4} = -0,5$
$b_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{-3 — sqrt{1}}{2 * 2} = frac{-3 — 1}{4} = frac{-4}{4} = -1$
$2b^2 + 3b + 1 = 2(b — (-0,5))(b — (-1)) = 2(b + 0,5)(b + 1) = (2b + 1)(b + 1)$
тогда:
$frac{b — 4}{b^3 — b} : (frac{b — 1}{(2b + 1)(b + 1)} — frac{1}{b^2 — 1}) = frac{b — 4}{b(b^2 — 1)} : (frac{b — 1}{(2b + 1)(b + 1)} — frac{1}{(b — 1)(b + 1)}) = frac{b — 4}{b(b^2 — 1)} : frac{(b — 1)^2 — (2b + 1)}{(2b + 1)(b — 1)(b + 1)} = frac{b — 4}{b(b^2 — 1)} : frac{b^2 — 2b + 1 — 2b — 1}{(2b + 1)(b^2 — 1)} = frac{b — 4}{b(b^2 — 1)} : frac{b^2 — 4b}{(2b + 1)(b^2 — 1)} = frac{b — 4}{b(b^2 — 1)} : frac{b(b — 4)}{(2b + 1)(b^2 — 1)} = frac{b — 4}{b(b^2 — 1)} * frac{(2b + 1)(b^2 — 1)}{b(b — 4)} = frac{1}{b} * frac{2b + 1}{b} = frac{2b + 1}{b^2}$3) $(frac{c + 2}{c^2 — c — 6} — frac{2c}{c^2 — 6c + 9}) : frac{с^2 + 3c}{(2c — 6)^2}$
$c^2 — c — 6 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-1)^2 — 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25 > 0$
$c_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{1 + sqrt{25}}{2 * 1} = frac{1 + 5}{2} = frac{6}{2} = 3$
$c_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{1 — sqrt{25}}{2 * 1} = frac{1 — 5}{2} = frac{-4}{2} = -2$
$c^2 — c — 6 = (c — 3)(c — (-2)) = (c — 3)(c + 2)$
тогда:
$(frac{c + 2}{(c — 3)(c + 2)} — frac{2c}{c^2 — 6c + 9}) : frac{с^2 + 3c}{(2c — 6)^2} = (frac{1}{c — 3} — frac{2c}{(c — 3)^2}) : frac{с^2 + 3c}{(2c — 6)^2} = frac{c — 3 — 2c}{(c — 3)^2} : frac{c(c + 3)}{(2(c — 3))^2} = frac{-c — 3}{(c — 3)^2} * frac{4(c — 3)^2}{c(c + 3)} = frac{-(c + 3)}{1} * frac{4}{c(c + 3)} = -frac{4}{c}$4) $(frac{3}{m — 4} + frac{2m}{m + 1} + frac{4m — 6}{m^2 — 3m — 4}) * frac{4m — 16}{2m — 3}$
$m^2 — 3m — 4 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-3)^2 — 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25 > 0$
$m_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{3 + sqrt{25}}{2 * 1} = frac{3 + 5}{2} = frac{8}{2} = 4$
$m_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{3 — sqrt{25}}{2 * 1} = frac{3 — 5}{2} = frac{-2}{2} = -1$
$m^2 — 3m — 4 = (m — 4)(m — (-1)) = (m — 4)(m + 1)$
тогда:
$(frac{3}{m — 4} + frac{2m}{m + 1} + frac{4m — 6}{(m — 4)(m + 1)}) * frac{4m — 16}{2m — 3} = frac{3(m + 1) + 2m(m — 4) + 4m — 6}{(m — 4)(m + 1)} * frac{4(m — 4)}{2m — 3} = frac{3m + 3 + 2m^2 — 8m + 4m — 6}{m + 1} * frac{4}{2m — 3} = frac{2m^2 — m — 3}{m + 1} * frac{4}{2m — 3}$
$2m^2 — m — 3 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-1)^2 — 4 * 2 * (-3) = 1 + 24 = 25 > 0$
$m_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{1 + sqrt{25}}{2 * 2} = frac{1 + 5}{4} = frac{6}{4} = 1,5$
$m_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{1 — sqrt{25}}{2 * 2} = frac{1 — 5}{4} = frac{-4}{4} = -1$
$2m^2 — m — 3 = 2(m — 1,5)(m — (-1)) = (2m — 3)(m + 1)$
тогда:
$frac{(2m — 3)(m + 1)}{m + 1} * frac{4}{2m — 3} = 4$
762. Докажите, что при всех допустимых значениях a значение выражения не зависит от значения переменной:
1) $frac{25a^2 — 36}{10a^2 — 9a + 2} : frac{5a + 6}{5a — 2} + frac{9a — 8}{1 — 2a}$;
2) $(frac{2a}{a + 3} + frac{1}{a — 1} — frac{4}{a^2 + 2a — 3}) : frac{2a + 1}{a + 3}$.
Решение:
1) $frac{25a^2 — 36}{10a^2 — 9a + 2} : frac{5a + 6}{5a — 2} + frac{9a — 8}{1 — 2a}$
$10a^2 — 9a + 2 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-9)^2 — 4 * 10 * 2 = 81 — 80 = 1 > 0$
$a_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{9 + sqrt{1}}{2 * 10} = frac{9 + 1}{20} = frac{10}{20} = 0,5$
$a_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{9 — sqrt{1}}{2 * 10} = frac{9 — 1}{20} = frac{8}{20} = 0,4$
$10a^2 — 9a + 2 = 10(a — 0,5)(a — 0,4) = 2(a — 0,5) * 5(a — 0,4) = (2a — 1)(5a — 2)$
тогда:
$frac{25a^2 — 36}{(2a — 1)(5a — 2)} : frac{5a + 6}{5a — 2} + frac{9a — 8}{1 — 2a} = frac{(5a — 6)(5a + 6)}{(2a — 1)(5a — 2)} * frac{5a — 2}{5a + 6} + frac{9a — 8}{1 — 2a} = frac{5a — 6}{2a — 1} + frac{9a — 8}{1 — 2a} = frac{5a — 6}{2a — 1} — frac{9a — 8}{2a — 1} = frac{5a — 6 — (9a — 8)}{2a — 1} = frac{5a — 6 — 9a + 8}{2a — 1} = frac{-4a + 2}{2a — 1} = frac{-2(2a — 1)}{2a — 1} = -2$2) $(frac{2a}{a + 3} + frac{1}{a — 1} — frac{4}{a^2 + 2a — 3}) : frac{2a + 1}{a + 3}$
$a^2 + 2a — 3 = 0$
$D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16 > 0$
$a_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{-2 + sqrt{16}}{2 * 1} = frac{-2 + 4}{2} = frac{2}{2} = 1$
$a_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{-2 — sqrt{16}}{2 * 1} = frac{-2 — 4}{2} = frac{-6}{2} = -3$
$a^2 + 2a — 3 = (a — 1)(a — (-3)) = (a — 1)(a + 3)$
тогда:
$(frac{2a}{a + 3} + frac{1}{a — 1} — frac{4}{(a — 1)(a + 3)}) : frac{2a + 1}{a + 3} = frac{2a(a — 1) + a + 3 — 4}{(a — 1)(a + 3)} * frac{a + 3}{2a + 1} = frac{2a^2 — 2a + a — 1}{a — 1} * frac{1}{2a + 1} = frac{2a^2 — a — 1}{a — 1} * frac{1}{2a + 1}$
$2a^2 — a — 1 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-1)^2 — 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9 > 0$
$a_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{1 + sqrt{9}}{2 * 2} = frac{1 + 3}{4} = frac{4}{4} = 1$
$a_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{1 — sqrt{9}}{2 * 2} = frac{1 — 3}{4} = frac{-2}{4} = -0,5$
$2a^2 — a — 1 = 2(a — 1)(a — (-0,5)) = 2(a — 1)(a + 0,5) = (a — 1)(2a + 1)$
тогда:
$frac{(a — 1)(2a + 1)}{a — 1} * frac{1}{2a + 1} = 1$
763. Постройте график функции:
1) $frac{x^2 — 6x + 5}{x — 1}$;
2) $frac{3x^2 — 10x + 3}{x — 3} — frac{x^2 — 4}{x + 2}$.
Решение:
1) $frac{x^2 — 6x + 5}{x — 1}$
x − 1 ≠ 0
x ≠ 1
$x^2 — 6x + 5 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-6)^2 — 4 * 1 * 5 = 36 + 20 = 16 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{6 + sqrt{16}}{2 * 1} = frac{6 + 4}{2} = frac{10}{2} = 5$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{6 — sqrt{16}}{2 * 1} = frac{6 — 4}{2} = frac{2}{2} = 1$
$x^2 — 6x + 5 = (x — 5)(x — 1)$
тогда:
$frac{(x — 5)(x — 1)}{x — 1} = x — 5$
y = x − 5 при x ≠ 1
х 0 2
у -5 -32) $frac{3x^2 — 10x + 3}{x — 3} — frac{x^2 — 4}{x + 2}$
x − 3 ≠ 0
x ≠ 3
и
x + 2 ≠ 0
x ≠ −2
$3x^2 — 10x + 3 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-10)^2 — 4 * 3 * 3 = 100 — 36 = 64 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{10 + sqrt{64}}{2 * 3} = frac{10 + 8}{6} = frac{18}{6} = 3$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{10 — sqrt{64}}{2 * 3} = frac{10 — 8}{6} = frac{2}{6} = frac{1}{3}$
$3x^2 — 10x + 3 = 3(x — 3)(x — frac{1}{3}) = (x — 3)(3x — 1)$
тогда:
$frac{(x — 3)(3x — 1)}{x — 3} — frac{x^2 — 4}{x + 2} = 3x — 1 — frac{(x — 2)(x + 2)}{x + 2} = 3x — 1 — (x — 2) = 3x — 1 — x + 2 = 2x + 1$
y = 2x + 1 при x ≠ −2 и x ≠ 3
х 0 1
у 1 3
764. Постройте график функции:
1) $frac{x^2 — 2x — 8}{x — 4}$;
2) $frac{x^2 — x — 2}{x + 1} — frac{x^2 — x — 30}{x + 5}$.
Решение:
1) $frac{x^2 — 2x — 8}{x — 4}$
x − 4 ≠ 0
x ≠ 4
$x^2 — 2x — 8 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-2)^2 — 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{2 + sqrt{36}}{2 * 1} = frac{2 + 6}{2} = frac{8}{2} = 4$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{2 — sqrt{36}}{2 * 1} = frac{2 — 6}{2} = frac{-4}{2} = -2$
$x^2 — 2x — 8 = (x — 4)(x — (-2)) = (x — 4)(x + 2)$
тогда:
$frac{(x — 4)(x + 2)}{x — 4} = x + 2$
y = x + 2 при x ≠ 4
х 0 1
у 2 32) $frac{x^2 — x — 2}{x + 1} — frac{x^2 — x — 30}{x + 5}$
x + 1 ≠ 0
x ≠ −1
и
x + 5 ≠ 0
x ≠ −5
$x^2 — x — 2 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-1)^2 — 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{1 + sqrt{9}}{2 * 1} = frac{1 + 3}{2} = frac{4}{2} = 2$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{1 — sqrt{9}}{2 * 1} = frac{1 — 3}{2} = frac{-2}{2} = -1$
$x^2 — 2x — 8 = (x — 2)(x — (-1)) = (x — 2)(x + 1)$
$x^2 — x — 30 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-1)^2 — 4 * 1 * (-30) = 1 + 120 = 121 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{1 + sqrt{121}}{2 * 1} = frac{1 + 11}{2} = frac{12}{2} = 6$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{1 — sqrt{121}}{2 * 1} = frac{1 — 11}{2} = frac{-10}{2} = -5$
$x^2 — x — 30 = (x — 6)(x — (-5)) = (x — 6)(x + 5)$
тогда:
$frac{(x — 2)(x + 1)}{x + 1} — frac{(x — 6)(x + 5)}{x + 5} = x — 2 — (x — 6) = x — 2 — x + 6 = 4$
y = 4 при x ≠ −5 и x ≠ −1
765. Разложите на множители многочлен:
1) $x^2 — 6xy + 5y^2$;
2) $a^2 + 5ab — 36b^2$;
3) $3m^2 — 8mn — 3n^2$;
4) $4x^2 — 5xy + y^2$.
Решение:
1) $x^2 — 6xy + 5y^2 = x^2 — xy — 5xy + 5y^2 = (x^2 — xy) — (5xy — 5y^2) = x(x — y) — 5y(x — y) = (x — y)(x — 5y)$
2) $a^2 + 5ab — 36b^2 = a^2 + 9ab — 4ab — 36b^2 = (a^2 + 9ab) — (4ab + 36b^2) = a(a + 9b) — 4b(a + 9b) = (a + 9b)(a — 4b)$
3) $3m^2 — 8mn — 3n^2 = 3m^2 + mn — 9mn — 3n^2 = (3m^2 + mn) — (9mn + 3n^2) = m(3m + n) — 3n(3m + n) = (3m + n)(m — 3n)$
4) $4x^2 — 5xy + y^2 = 4x^2 — xy — 4xy + y^2 = (4x^2 — xy) — (4xy — y^2) = x(4x — y) — y(4x — y) = (4x — y)(x — y)$
766. Разложите на множители многочлен:
1) $a^2 — 14ab + 40b^2$;
2) $12b^2 + bc — 6c^2$.
Решение:
1) $a^2 — 14ab + 40b^2 = a^2 — 4ab — 10ab + 40b^2 = (a^2 — 4ab) — (10ab — 40b^2) = a(a — 4b) — 10b(a — 4b) = (a — 4b)(a — 10b)$
2) $12b^2 + bc — 6c^2 = 12b^2 — 8bc + 9bc — 6c^2 = (12b^2 — 8bc) + (9bc — 6c^2) = 4b(3b — 2c) + 3c(3b — 2c) = (3b — 2c)(4b + 3c)$
767. Для каждого значения a решите уравнение:
1) $(a^2 — a — 6)x = a^2 — 9$;
2) $(a^2 — 8a + 7)x = 2a^2 — 13a — 7$.
Решение:
1) $(a^2 — a — 6)x = a^2 — 9$
$a^2 — a — 6 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-1)^2 — 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25 > 0$
$a_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{1 + sqrt{25}}{2 * 1} = frac{1 + 5}{2} = frac{6}{2} = 3$
$a_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{1 — sqrt{25}}{2 * 1} = frac{1 — 5}{2} = frac{-4}{2} = -2$
$a^2 — a — 6 = (a — 3)(a — (-2)) = (a — 3)(a + 2)$
тогда:
$(a — 3)(a + 2)x = a^2 — 9$
при a = 3:
$(3 — 3)(3 + 2)x = 3^2 — 9$
0 * 5x = 9 − 9
0 = 0
x − любое число.
при a = −2:
$(-2 — 3)(-2 + 2)x = (-2)^2 — 9$
−5 * 0x = 4 − 9
0x = −5
0 ≠ −5 − нет решений
при a ≠ −2 и a ≠ 3:
$x = frac{(a — 3)(a + 3)}{(a — 3)(a + 2)} = frac{a + 3}{a + 2}$
Ответ:
при a = 3: x − любое число;
при a = −2: нет решений;
при a ≠ −2 и a ≠ 3: $x = frac{a + 3}{a + 2}$.2) $(a^2 — 8a + 7)x = 2a^2 — 13a — 7$
$a^2 — 8a + 7 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-8)^2 — 4 * 1 * 7 = 64 — 28 = 36 > 0$
$a_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{8 + sqrt{36}}{2 * 1} = frac{8 + 6}{2} = frac{14}{2} = 7$
$a_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{8 — sqrt{36}}{2 * 1} = frac{8 — 6}{2} = frac{2}{2} = 1$
$a^2 — 8a + 7 = (a — 7)(a — 1)$
$2a^2 — 13a — 7 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-13)^2 — 4 * 2 * (-7) = 169 + 56 = 225 > 0$
$a_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{13 + sqrt{225}}{2 * 2} = frac{13 + 15}{4} = frac{28}{4} = 7$
$a_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{13 — sqrt{225}}{2 * 2} = frac{13 — 15}{4} = frac{-2}{4} = -0,5$
$2a^2 — 13a — 7 = 2(a — 7)(a — (-0,5)) = 2(a — 7)(a + 0,5) = (a — 7)(2a + 1)$
$2a^2 — 13a — 7 = (a — 7)(2a + 1)$
тогда:
$(a — 7)(a — 1)x = (a — 7)(2a + 1)$
при a = 7:
$(7 — 7)(7 — 1)x = (7 — 7)(2 * 7 + 1)$
$0 * 6x = 0 * 15$
0 = 0
x − любое число
при a = 1:
$(1 — 7)(1 — 1)x = (1 — 7)(2 * 1 + 1)$
$-6 * 0x = -6 * 3$
0 ≠ −18 − нет решений
при a = a ≠ 1 и a ≠ 7:
$x = frac{(a — 7)(2a + 1)}{(a — 7)(a — 1)} = frac{2a + 1}{a — 1}$
Ответ:
при a = 7: x − любое число;
при a = 1: нет решений;
при a ≠ 1 и a ≠ 7: $x = frac{2a + 1}{a — 1}$.
768. Для каждого значения a решите уравнение $(a^2 + 7a — 8)x = a^2 + 16a + 64$.
Решение:
$(a^2 + 7a — 8)x = a^2 + 16a + 64$
$a^2 + 7a — 8 = 0$
$D = b^2 — 4ac = 7^2 — 4 * 1 * (-8) = 49 + 32 = 81 > 0$
$a_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{-7 + sqrt{81}}{2 * 1} = frac{-7 + 9}{2} = frac{2}{2} = 1$
$a_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{-7 — sqrt{81}}{2 * 1} = frac{-7 — 9}{2} = frac{-16}{2} = -8$
$a^2 + 7a — 8 = (a — 1)(a — (-8)) = (a — 1)(a + 8)$
тогда:
$(a — 1)(a + 8)x = (a + 8)^2$
при a = 1:
$(1 — 1)(1 + 8)x = (1 + 8)^2$
0 * 9x = 9^2
0 ≠ 81 − нет корней
при a = −8:
$(-8 — 1)(-8 + 8)x = (-8 + 8)^2$
−9 * 0x = 0
0 = 0
x − любое число
при a ≠ −8 и a ≠ 1:
$(a — 1)(a + 8)x = (a + 8)^2$
$x = frac{(a + 8)^2}{(a — 1)(a + 8)} = frac{a + 8}{a — 1}$
Ответ:
при a = 1: нет корней;
при a = −8: x − любое число;
при a ≠ −8 и a ≠ 1: $x = frac{a + 8}{a — 1}$.
769. Сократите дробь:
1) $frac{3 + sqrt{3}}{2sqrt{3}}$;
2) $frac{5 — sqrt{5}}{sqrt{10} — 5sqrt{2}}$;
3) $frac{2 — sqrt{6}}{sqrt{6} — 3}$;
4) $frac{4a — 2}{2sqrt{a} + sqrt{2}}$;
5) $frac{9a — b^2}{9a + 6bsqrt{a} + b^2}$;
6) $frac{asqrt{a} — 8}{a + 2sqrt{a} + 4}$.
Решение:
1) $frac{3 + sqrt{3}}{2sqrt{3}} = frac{(sqrt{3})^2 + sqrt{3}}{2sqrt{3}} = frac{sqrt{3}(sqrt{3} + 1)}{2sqrt{3}} = frac{sqrt{3} + 1}{2}$
2) $frac{5 — sqrt{5}}{sqrt{10} — 5sqrt{2}} = frac{(sqrt{5})^2 — sqrt{5}}{sqrt{5 * 2} — 5sqrt{2}} = frac{sqrt{5}(sqrt{5} — 1)}{sqrt{2} * sqrt{5} — 5sqrt{2}} = frac{sqrt{5}(sqrt{5} — 1)}{sqrt{2}(sqrt{5} — 5)} = frac{sqrt{5}(sqrt{5} — 1)}{sqrt{2}(sqrt{5} — (sqrt{5})^2)} = frac{sqrt{5}(sqrt{5} — 1)}{sqrt{2} * sqrt{5}(1 — sqrt{5})} = -frac{sqrt{5} — 1}{sqrt{2}(sqrt{5} — 1)} = -frac{1}{sqrt{2}} = -frac{1 * sqrt{2}}{sqrt{2} * sqrt{2}} = -frac{sqrt{2}}{2}$
3) $frac{2 — sqrt{6}}{sqrt{6} — 3} = frac{(sqrt{2})^2 — sqrt{2} * sqrt{3}}{sqrt{2} * sqrt{3} — (sqrt{3})^2} = frac{sqrt{2}(sqrt{2} — sqrt{3})}{sqrt{3}(sqrt{2} — sqrt{3})} = frac{sqrt{2}}{sqrt{3}} = frac{sqrt{2} * sqrt{3}}{sqrt{3} * sqrt{3}} = frac{sqrt{6}}{3}$
4) $frac{4a — 2}{2sqrt{a} + sqrt{2}} = frac{2(2a — 1)}{(sqrt{2})^2 * sqrt{a} + sqrt{2}} = frac{(sqrt{2})^2((sqrt{2a})^2 — 1^2)}{sqrt{2}(sqrt{2a} + 1)} = frac{sqrt{2}(sqrt{2a} — 1)(sqrt{2a} + 1)}{sqrt{2a} + 1} = sqrt{2}(sqrt{2a} — 1)$
5) $frac{9a — b^2}{9a + 6bsqrt{a} + b^2} = frac{(3sqrt{a})^2 — b^2}{(3sqrt{a})^2 + 2 * 3sqrt{a} * b + b^2} = frac{(3sqrt{a} — b)(3sqrt{a} + b)}{(3sqrt{a} + b)^2} = frac{3sqrt{a} — b}{3sqrt{a} + b}$
6) $frac{asqrt{a} — 8}{a + 2sqrt{a} + 4} = frac{(sqrt{a})^2 * sqrt{a} — 2^3}{a + 2sqrt{a} + 4} = frac{(sqrt{a})^3 — 2^3}{a + 2sqrt{a} + 4} = frac{(sqrt{a} — 2)((sqrt{a})^2 + 2sqrt{a} + 2^2)}{a + 2sqrt{a} + 4} = frac{(sqrt{a} — 2)(a + 2sqrt{a} + 4)}{a + 2sqrt{a} + 4} = sqrt{a} — 2$