Ответы к странице 196
Когда сделаны уроки
1. Решите уравнение:
1) $frac{3x^2 — 9x}{2} — frac{12}{x^2 — 3x} = 3$;
2) $frac{6}{(x + 1)(x + 2)} + frac{8}{(x — 1)(x + 4)} = 1$;
3) x(x + 3)(x + 5)(x + 8) = 100;
4) $(x + 2)(x + 3)(x + 8)(x + 12) = 4x^2$;
5) $7(x + frac{1}{x}) — 2(x^2 + frac{1}{x^2}) = 9$;
6) $2(x^2 + x + 1)^2 — 7(x — 1)^2 = 13(x^3 — 1)$;
7) $(x — 6)^4 + (x — 4)^4 = 82$.
Решение:
1) $frac{3x^2 — 9x}{2} — frac{12}{x^2 — 3x} = 3$
$frac{3(x^2 — 3x)}{2} — frac{12}{x^2 — 3x} = 3$
$x^2 — 3x ≠ 0$
x(x − 3) ≠ 0
x ≠ 0
или
x − 3 ≠ 0
x ≠ 3
$y = x^2 — 3x$
$frac{3y}{2} — frac{12}{y} = 3$ | * 2y
$3y^2 — 24 = 6y$
$3y^2 — 6y — 24 = 0$ | : 3
$y^2 — 2y — 8 = 0$
$D = b^2 — 4ac =(-2)^2 — 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36 > 0$
$y_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{2 + sqrt{36}}{2 * 1} = frac{2 + 6}{2} = frac{8}{2} = 4$
$y_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{2 — sqrt{36}}{2 * 1} = frac{2 — 6}{2} = frac{-4}{2} = -2$
$x^2 — 3x = 4$
$x^2 — 3x — 4 = 0$
$D = b^2 — 4ac =(-3)^2 — 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{3 + sqrt{25}}{2 * 1} = frac{3 + 5}{2} = frac{8}{2} = 4$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{3 — sqrt{25}}{2 * 1} = frac{3 — 5}{2} = frac{-2}{2} = -1$
или
$x^2 — 3x = -2$
$x^2 — 3x + 2 = 0$
$D = b^2 — 4ac =(-3)^2 — 4 * 1 * 2 = 9 — 8 = 1 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{3 + sqrt{1}}{2 * 1} = frac{3 + 1}{2} = frac{4}{2} = 2$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{3 — sqrt{1}}{2 * 1} = frac{3 — 1}{2} = frac{2}{2} = 1$
Ответ: −1, 1, 2, 4.2) $frac{6}{(x + 1)(x + 2)} + frac{8}{(x — 1)(x + 4)} = 1$
x + 1 ≠ 0
x ≠ −1
и
x + 2 ≠ 0
x ≠ −2
и
x − 1 ≠ 0
x ≠ 1
и
x + 4 ≠ 0
x ≠ −4
$frac{6}{x^2 + x + 2x + 2} + frac{8}{x^2 — x + 4x — 4} = 1$
$frac{6}{x^2 + 3x + 2} + frac{8}{x^2 + 3x — 4} = 1$
$y = x^2 + 3x$
$frac{6}{y + 2} + frac{8}{y — 4} = 1$
y + 2 ≠ 0
y ≠ −2
и
y − 4 ≠ 0
y ≠ 4
$frac{6}{y + 2} + frac{8}{y — 4} — 1 = 0$ | * (y + 2)(y − 4)
6(y − 4) + 8(y + 2) − (y + 2)(y − 4) = 0
$6y — 24 + 8y + 16 — (y^2 + 2y — 4y — 8) = 0$
$14y — 8 — y^2 + 2y + 8 = 0$
$-y^2 + 16y = 0$ | * (−1)
$y^2 — 16y = 0$
$y(y — 16) = 0$
y = 0
или
y − 16 = 0
y = 16
$x^2 + 3x = 0$
x(x + 3) = 0
x = 0
или
x + 3 = 0
x = −3
или
$x^2 + 3x = 16$
$x^2 + 3x — 16 = 0$
$D = b^2 — 4ac =(-3)^2 — 4 * 1 * (-16) = 9 + 64 = 73 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{-3 + sqrt{73}}{2 * 1} = frac{-3 + sqrt{73}}{2}$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{-3 — sqrt{73}}{2 * 1} = frac{-3 — sqrt{73}}{2}$
Ответ: $-3, 0, frac{-3 + sqrt{73}}{2}, frac{-3 — sqrt{73}}{2}$.3) x(x + 3)(x + 5)(x + 8) = 100
((x + 8))((x + 3)(x + 5)) = 100
$(x^2 + 8x)(x^2 + 3x + 5x + 15) = 100$
$(x^2 + 8x)(x^2 + 8x + 15) = 100$
$y = x^2 + 8x$
y(y + 15) = 100
$y^2 + 15y — 100 = 0$
$D = b^2 — 4ac =15^2 — 4 * 1 * (-100) = 225 + 400 = 625 > 0$
$y_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{-15 + sqrt{625}}{2 * 1} = frac{-15 + 25}{2} = frac{10}{2} = 5$
$y_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{-15 — sqrt{625}}{2 * 1} = frac{-15 — 25}{2} = frac{-40}{2} = -20$
$x^2 + 8x = 5$
$x^2 + 8x — 5 = 0$
$D = b^2 — 4ac = 8^2 — 4 * 1 * (-5) = 64 + 20 = 84 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{-8 + sqrt{84}}{2 * 1} = frac{-8 + sqrt{4 * 21}}{2} = frac{-8 + 2sqrt{21}}{2} = frac{2(-4 + sqrt{21})}{2} = -4 + sqrt{21}$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{-8 — sqrt{84}}{2 * 1} = frac{-8 — sqrt{4 * 21}}{2} = frac{-8 — 2sqrt{21}}{2} = frac{2(-4 — sqrt{21})}{2} = -4 — sqrt{21}$
или
$x^2 + 8x = -20$
$x^2 + 8x + 20 = 0$
$D = b^2 — 4ac = 8^2 — 4 * 1 *20 = 64 — 80 = -16 < 0$ − нет корней
Ответ: $-4 + sqrt{21}$ и $-4 — sqrt{21}$4) $(x + 2)(x + 3)(x + 8)(x + 12) = 4x^2$
$((x + 2)(x + 12))((x + 3)(x + 8)) = 4x^2$
$(x^2 + 2x + 12x + 24)(x^2 + 3x + 8x + 24) = 4x^2$
$(x^2 + 14x + 24)(x^2 + 11x + 24) = 4x^2$
x = 0 не является корнем уравнения, обе части уравнения разделим на $x^2$.
$frac{(x^2 + 14x + 24)(x^2 + 11x + 24)}{x^2} = frac{4x^2}{x^2}$
$frac{x^2 + 14x + 24}{x} * frac{x^2 + 11x + 24}{x} = 4$
$(x + 14 + frac{24}{x})(x + 11 + frac{24}{x}) = 4$
$(x + frac{24}{x} + 14)(x + frac{24}{x} + 11) = 4$
$y = x + frac{24}{x}$
(y + 14)(y + 11) = 4
$y^2 + 14y + 11y + 154 — 4 = 0$
$y^2 + 25y + 150 = 0$
$D = b^2 — 4ac =25^2 — 4 * 1 * 150 = 625 — 600 = 25 > 0$
$y_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{-25 + sqrt{25}}{2 * 1} = frac{-25 + 5}{2} = frac{-20}{2} = -10$
$y_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{-25 — sqrt{25}}{2 * 1} = frac{-25 — 5}{2} = frac{-30}{2} = -15$
$x + frac{24}{x} = -10$ | * x
$x^2 + 24 = -10x$
$x^2 + 10x + 24 = 0$
$D = b^2 — 4ac =10^2 — 4 * 1 * 24 = 100 — 96 = 4 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{-10 + sqrt{4}}{2 * 1} = frac{-10 + 2}{2} = frac{-8}{2} = -4$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{-10 — sqrt{4}}{2 * 1} = frac{-10 — 2}{2} = frac{-12}{2} = -6$
или
$x + frac{24}{x} = -15$ | * x
$x^2 + 24 = -15x$
$x^2 + 15x + 24 = 0$
$D = b^2 — 4ac =15^2 — 4 * 1 * 24 = 225 — 96 = 129 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{-10 + sqrt{129}}{2 * 1} = frac{-10 + sqrt{129}}{2}$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{-10 — sqrt{129}}{2 * 1} = frac{-10 — sqrt{129}}{2}$
Ответ: $-6, -4, frac{-10 + sqrt{129}}{2}, frac{-10 — sqrt{129}}{2}$.5) $7(x + frac{1}{x}) — 2(x^2 + frac{1}{x^2}) = 9$
x ≠ 0
$y = x + frac{1}{x}$
$y^2 = (x + frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 * x * frac{1}{x} + (frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + frac{1}{x^2}$
тогда:
$x^2 + frac{1}{x^2} = y^2 — 2$
$7y — 2(y^2 — 2) = 9$
$7y — 2y^2 + 4 — 9 = 0$
$-2y^2 + 7y — 5 = 0$ | * (−1)
$2y^2 — 7y + 5 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-7)^2 — 4 * 2 * 5 = 49 — 40 = 9 > 0$
$y_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{7 + sqrt{9}}{2 * 2} = frac{7 + 3}{4} = frac{10}{4} = frac{5}{2} = 2,5$
$y_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{7 — sqrt{9}}{2 * 2} = frac{7 — 3}{4} = frac{4}{4} = 1$
1)
y = 2,5
$x + frac{1}{x} = 2,5$ | * 2x
$2x^2 + 2 = 5x$
$2x^2 — 5x + 2 = 0$
$D = b^2 — 4ac =(-5)^2 — 4 * 2 * 2 = 25 — 16 = 9 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{5 + sqrt{9}}{2 * 2} = frac{5 + 3}{4} = frac{8}{4} = 2$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{5 — sqrt{9}}{2 * 2} = frac{5 — 3}{4} = frac{2}{4} = frac{1}{2} = 0,5$
2)
y = 1
$x + frac{1}{x} = 1$ | * x
$x^2 + 1 = x$
$x^2 — x + 1 = 0$
$D = b^2 — 4ac =(-1)^2 — 4 * 1 * 1 = 1 — 4 = -3 < 0$ − нет корней
Ответ: 0,5 и 26) $2(x^2 + x + 1)^2 — 7(x — 1)^2 = 13(x^3 — 1)$
$2(x^2 + x + 1)^2 — 7(x — 1)^2 = 13(x — 1)(x^2 + x + 1)$
$x^3 — 1 ≠ 0$
x ≠ 1
$2(x^2 + x + 1)^2 — 7(x — 1)^2 = 13(x — 1)(x^2 + x + 1)$ | : $(x — 1)(x^2 + x + 1)$
$frac{2(x^2 + x + 1)^2}{(x — 1)(x^2 + x + 1)} — frac{7(x — 1)^2}{(x — 1)(x^2 + x + 1)} = frac{13(x — 1)(x^2 + x + 1)}{(x — 1)(x^2 + x + 1)}$
$frac{2(x^2 + x + 1)}{x — 1} — frac{7(x — 1)}{x^2 + x + 1} = 13$
$y = frac{x^2 + x + 1}{x — 1}$
$2y — frac{7}{y} = 13$ | * y
$2y^2 — 7 = 13y$
$2y^2 — 13y — 7 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-13)^2 — 4 * 2 * (-7) = 169 + 56 = 225 > 0$
$y_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{13 + sqrt{225}}{2 * 2} = frac{13 + 15}{4} = frac{28}{4} = 7$
$y_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{13 — sqrt{225}}{2 * 2} = frac{13 — 15}{4} = frac{-2}{4} = -0,5$
1)
y = 7:
$frac{x^2 + x + 1}{x — 1} = 7$ | * (x − 1)
$x^2 + x + 1 = 7(x — 1)$
$x^2 + x + 1 = 7x — 7$
$x^2 + x — 7x + 1 + 7 = 0$
$x^2 — 6x + 8 = 0$
$D = b^2 — 4ac =(-6)^2 — 4 * 1 * 8 = 36 — 32 = 4 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{6 + sqrt{4}}{2 * 1} = frac{6 + 2}{2} = frac{8}{2} = 4$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{6 — sqrt{4}}{2 * 1} = frac{6 — 2}{2} = frac{4}{2} = 2$
2)
y = −0,5:
$frac{x^2 + x + 1}{x — 1} = -0,5$ | * 2(x − 1)
$2(x^2 + x + 1) = -(x — 1)$
$2x^2 + 2x + 2 = -x + 1$
$2x^2 + 2x + 2 + x — 1 = 0$
$2x^2 + 3x + 1 = 0$
$D = b^2 — 4ac =3^2 — 4 * 2 * 1 = 9 — 8 = 1 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{-3 + sqrt{1}}{2 * 2} = frac{-3 + 1}{4} = frac{-2}{4} = -0,5$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{-3 — sqrt{1}}{2 * 2} = frac{-3 — 1}{4} = frac{-4}{4} = -1$
Ответ: −1, −0,5, 2, 4.7) $(x — 6)^4 + (x — 4)^4 = 82$
$((x — 6)^2)^2 + ((x — 4)^2)^2 = 82$
сумма квадратов двух неотрицательных чисел может быть равна 82, если эти числа равны 1 и 81, тогда:
1)
$(x — 6)^4 = 1$
$((x — 6)^2)^2 = 1$
$(x — 6)^2 = 1$
$x_1 = 7$
$x_2 = 5$ − не является решением, так как:
$(5 — 6)^4 + (5 — 4)^4 = 82$
$1^4 + 1^4 = 82$
1 + 1 = 82
2 ≠ 82
или
$(x — 6)^4 = -1$ − нет корней
$(x — 4)^4 = 81$
$(x — 4)^2 = 9$
$x_1 = 7$
$x_2 = 1$ − не является решением, так как:
$(1 — 6)^4 + (1 — 4)^4 = 82$
$(-5)^4 + (-3)^4 = 82$
625 + 81 = 82
706 ≠ 82
или
$(x — 4)^2 = -9$ − нет корней
2)
$(x — 6)^4 = 81$
$(x — 6)^2 = 9$
$x_1 = 3$
$x_2 = 9$ − не является решением, так как:
$(9 — 6)^4 + (9 — 4)^4 = 82$
$3^4 + 5^4 = 82$
81 + 625 = 82
706 ≠ 82
или
$(x — 6)^2 = -9$ − нет корней
$(x — 4)^4 = 1$
$((x — 4)^2)^2 = 1$
$(x — 4)^2 = 1$
$x_1 = 3$
$x_2 = 5$ − не является решением, так как:
$(5 — 6)^4 + (5 — 4)^4 = 82$
$1^4 + 1^4 = 82$
1 + 1 = 82
2 ≠ 82
или
$(x — 4)^4 = -1$ − нет корней
Ответ: 3 и 7.