Ответы к странице 199
§24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций
Упражнения
802. Первые 150 км дороги из города A в город B автомобиль проехал с некоторой скоростью, а остальные 240 км − со скоростью на 5 км/ч большей. Найдите первоначальную скорость автомобиля, если на весь путь из города A в город B он потратил 5 ч.
Решение:
Пусть x (км/ч) − первоначальная скорость автомобиля, тогда:
x + 5 (км/ч) − скорость автомобиля на остальном пути;
$frac{150}{x}$ (ч) − ехал автомобиль первые 150 км;
$frac{240}{x + 5}$ (ч) − ехал автомобиль оставшиеся 240 км.
Так как, на весь путь из города A в город B автомобиль потратил 5 ч, можно составить уравнение:
$frac{150}{x} + frac{240}{x + 5} = 5$
x ≠ 0
и
x + 5 ≠ 0
x ≠ −5
$frac{150}{x} + frac{240}{x + 5} — 5 = 0$ | * x(x + 5)
150(x + 5) + 240x − 5x(x + 5) = 0
$150x + 750 + 240x — 5x^2 — 25x = 0$
$-5x^2 + 365x + 750$ | : (−5)
$x^2 — 73 — 150 = 0$
$D = b^2 — 4ac =(-73)^2 — 4 * 1 * (-150) = 5329 + 600 = 5929 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{73 + sqrt{5929}}{2 * 1} = frac{73 + 77}{2} = frac{150}{2} = 75$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{73 — sqrt{5929}}{2 * 1} = frac{73 — 77}{2} = frac{-4}{2} = -2$ − не может быть решением, так как скорость не может быть отрицательной, тогда:
x = 75 (км/ч) − первоначальная скорость автомобиля.
Ответ: 75 км/ч
803. Первый мотоциклист проезжает 90 км на 18 мин быстрее второго, поскольку его скорость на 10 км/ч больше скорости второго мотоциклиста. Найдите скорость каждого мотоциклиста.
Решение:
Пусть x (км/ч) − скорость первого мотоциклиста, тогда:
x − 10 (км/ч) − скорость второго мотоциклиста;
$frac{90}{x}$ (ч) − время, за которое 90 км проезжает первый мотоциклист;
$frac{90}{x — 10}$ (ч) − время, за которое 90 км проезжает второй мотоциклист;
18 мин = $frac{18}{60}$ ч = $frac{3}{10}$ ч.
Так как, первый мотоциклист проезжает 90 км на 18 мин быстрее второго, можно составить уравнение:
$frac{90}{x} — frac{90}{x — 10} = frac{3}{10}$
x ≠ 0
и
x − 10 ≠ 0
x ≠ 10
$frac{90}{x — 10} — frac{90}{x} — frac{3}{10} = 0$ | * 10x(x − 10)
$900x — 900(x — 10) — 3x(x — 10) = 0$
$900x — 900x + 9000 — 3x^2 + 30x = 0$
$-3x^2 + 30x + 9000 = 0$ | : (−3)
$x^2 — 10x — 3000 = 0$
$D = b^2 — 4ac =(-10)^2 — 4 * 1 * (-3000) = 100 + 12000 = 12100 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{10 + sqrt{12100}}{2 * 1} = frac{10 + 110}{2} = frac{120}{2} = 60$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{10 — sqrt{12100}}{2 * 1} = frac{10 — 110}{2} = frac{-100}{2} = -50$ − не может быть решением, так как скорость не может быть отрицательной, тогда:
x = 60 (км/ч) − скорость первого мотоциклиста, тогда:
x − 10 = 60 − 10 = 50 (км/ч) − скорость второго мотоциклиста.
Ответ: 60 км/ч и 50 км/ч