Ответы к странице 21
§3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями
Вопросы
1. Как сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями?
Ответ:
Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.
2. Как вычесть рациональные дроби с одинаковыми знаменателями?
Ответ:
Чтобы вычесть рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тот же.
Упражнения
68. Выполните действия:
1) $frac{x}{6} + frac{y}{6}$;
2) $frac{a}{3} — frac{b}{3}$;
3) $frac{m}{n} + frac{4m}{n}$;
4) $frac{6c}{d} — frac{2c}{d}$;
5) $frac{m + n}{6} — frac{m — 2n}{6}$;
6) $frac{2a — 3b}{6ab} + frac{9b — 2a}{6ab}$;
7) $-frac{5c + 4d}{cd} + frac{4d + 9c}{cd}$;
8) $frac{8m + 3}{10m^2} — frac{2m + 3}{10m^2}$.
Решение:
1) $frac{x}{6} + frac{y}{6} = frac{x + y}{6}$
2) $frac{a}{3} — frac{b}{3} = frac{a — b}{3}$
3) $frac{m}{n} + frac{4m}{n} = frac{m + 4m}{n} = frac{5m}{n}$
4) $frac{6c}{d} — frac{2c}{d} = frac{6c — 2c}{d} = frac{4c}{d}$
5) $frac{m + n}{6} — frac{m — 2n}{6} = frac{m + n — (m — 2n)}{6} = frac{m + n — m + 2n}{6} = frac{3n}{6} = frac{n}{2}$
6) $frac{2a — 3b}{6ab} + frac{9b — 2a}{6ab} = frac{2a — 3b + 9b — 2a}{6ab} = frac{6b}{6ab} = frac{1}{a}$
7) $-frac{5c + 4d}{cd} + frac{4d + 9c}{cd} = frac{-(5c + 4d) + 4d + 9c}{cd} = frac{-5c — 4d + 4d + 9c}{cd} = frac{4c}{cd} = frac{4}{d}$
8) $frac{8m + 3}{10m^2} — frac{2m + 3}{10m^2} = frac{8m + 3 — (2m + 3)}{10m^2} = frac{8m + 3 — 2m — 3}{10m^2} = frac{6m}{10m^2} = frac{3}{5m}$
69. Представьте в виде дроби выражение:
1) $frac{7k}{18p} — frac{4k}{18p}$;
2) $frac{a — b}{2b} — frac{a}{2b}$;
3) $-frac{a — 12b}{27a} + frac{a + 15b}{27a}$;
4) $frac{x — 7y}{xy} — frac{x — 4y}{xy}$;
5) $frac{10a + 6b}{11a^3} — frac{6b — a}{11a^3}$;
6) $frac{x^2 — xy}{x^2y} + frac{2xy — 3x^2}{x^2y}$.
Решение:
1) $frac{7k}{18p} — frac{4k}{18p} = frac{7k — 4k}{18p} = frac{3k}{18p} = frac{k}{6p}$
2) $frac{a — b}{2b} — frac{a}{2b} = frac{a — b — a}{2b} = frac{-b}{2b} = -frac{1}{2}$
3) $-frac{a — 12b}{27a} + frac{a + 15b}{27a} = frac{-(a — 12b) + a + 15b}{27a} = frac{-a + 12b + a + 15b}{27a} = frac{27b}{27a} = frac{b}{a}$
4) $frac{x — 7y}{xy} — frac{x — 4y}{xy} = frac{x — 7y — (x — 4y)}{xy} = frac{x — 7y — x + 4y}{xy} = frac{-3y}{xy} = -frac{3}{x}$
5) $frac{10a + 6b}{11a^3} — frac{6b — a}{11a^3} = frac{10a + 6b — (6b — a)}{11a^3} = frac{10a + 6b — 6b + a}{11a^3} = frac{11a}{11a^3} = frac{1}{a^2}$
6) $frac{x^2 — xy}{x^2y} + frac{2xy — 3x^2}{x^2y} = frac{x^2 — xy + 2xy — 3x^2}{x^2y} = frac{xy — 2x^2}{x^2y} = frac{x(y — 2x)}{x^2y} = frac{y — 2x}{xy}$
70. Упростите выражение:
1) $frac{a^2}{a + 3} — frac{9}{a + 3}$;
2) $frac{t}{t^2 — 16} — frac{4}{t^2 — 16}$;
3) $frac{m^2}{(m — 5)^2} — frac{25}{(m — 5)^2}$;
4) $frac{5x + 9}{x^2 — 1} — frac{4x + 8}{x^2 — 1}$;
5) $frac{b^2}{b + 10} + frac{20b + 100}{b + 10}$;
6) $frac{c^2}{c — 7} — frac{14c — 49}{c — 7}$.
Решение:
1) $frac{a^2}{a + 3} — frac{9}{a + 3} = frac{a^2 — 9}{a + 3} = frac{(a — 3)(a + 3)}{a + 3} = a — 3$
2) $frac{t}{t^2 — 16} — frac{4}{t^2 — 16} = frac{t — 4}{t^2 — 16} = frac{t — 4}{(t — 4)(t + 4)} = frac{1}{t + 4}$
3) $frac{m^2}{(m — 5)^2} — frac{25}{(m — 5)^2} = frac{m^2 — 25}{(m — 5)^2} = frac{(m — 5)(m + 5)}{(m — 5)^2} = frac{m + 5}{m — 5}$
4) $frac{5x + 9}{x^2 — 1} — frac{4x + 8}{x^2 — 1} = frac{5x + 9 — (4x + 8)}{x^2 — 1} = frac{5x + 9 — 4x — 8}{(x — 1)(x + 1)} = frac{x + 1}{(x — 1)(x + 1)} = frac{1}{x — 1}$
5) $frac{b^2}{b + 10} + frac{20b + 100}{b + 10} = frac{b^2 + 20b + 100}{b + 10} = frac{(b + 10)^2}{b + 10} = b + 10$
6) $frac{c^2}{c — 7} — frac{14c — 49}{c — 7} = frac{c^2 — (14c — 49)}{c — 7} = frac{c^2 — 14c + 49}{c — 7} = frac{(c — 7)^2}{c — 7} = c — 7$
71. Упростите выражение:
1) $frac{c^2}{c — 9} — frac{81}{c — 9}$;
2) $frac{a^2}{(a — 6)^2} — frac{36}{(a — 6)^2}$;
3) $frac{3x + 5}{x^2 — 4} — frac{2x + 7}{x^2 — 4}$;
4) $frac{y^2}{y — 2} — frac{4y — 4}{y — 2}$.
Решение:
1) $frac{c^2}{c — 9} — frac{81}{c — 9} = frac{c^2 — 81}{c — 9} = frac{(c — 9)(c + 9)}{c — 9} = c + 9$
2) $frac{a^2}{(a — 6)^2} — frac{36}{(a — 6)^2} = frac{a^2 — 36}{(a — 6)^2} = frac{(a — 6)(a + 6)}{(a — 6)^2} = frac{a^2 — 36}{(a — 6)^2} = frac{a + 6}{a — 6}$
3) $frac{3x + 5}{x^2 — 4} — frac{2x + 7}{x^2 — 4} = frac{3x + 5 — (2x + 7)}{x^2 — 4} = frac{3x + 5 — 2x — 7}{x^2 — 4} = frac{x — 2}{(x — 2)(x + 2)} = frac{1}{x + 2}$
4) $frac{y^2}{y — 2} — frac{4y — 4}{y — 2} = frac{y^2 — (4y — 4)}{y — 2} = frac{y^2 — 4y + 4}{y — 2} = frac{(y — 2)^2}{y — 2} = y — 2$
72. Выполните действия:
1) $frac{a + b}{c — 7} + frac{a}{7 — c}$;
2) $frac{5m}{m — n} + frac{5n}{n — m}$;
3) $frac{2x — 4y}{x — 3y} — frac{4x — 14y}{3y — x}$;
4) $frac{81b^2}{9b — a} + frac{a^2}{a — 9b}$;
5) $frac{t^2}{3t — 6} + frac{4}{6 — 3t}$;
6) $frac{y^2}{y — 1} — frac{1 — 2y}{1 — y}$.
Решение:
1) $frac{a + b}{c — 7} + frac{a}{7 — c} = frac{a + b}{c — 7} — frac{a}{c — 7} = frac{a + b — a}{c — 7} = frac{b}{c — 7}$
2) $frac{5m}{m — n} + frac{5n}{n — m} = frac{5m}{m — n} — frac{5n}{m — n} = frac{5m — 5n}{m — n} = frac{5(m — n)}{m — n} = 5$
3) $frac{2x — 4y}{x — 3y} — frac{4x — 14y}{3y — x} = frac{2x — 4y}{x — 3y} + frac{4x — 14y}{x — 3y} = frac{2x — 4y + 4x — 14y}{x — 3y} = frac{6x — 18y}{x — 3y} = frac{6(x — 3y)}{x — 3y} = 6$
4) $frac{81b^2}{9b — a} + frac{a^2}{a — 9b} = frac{81b^2}{9b — a} — frac{a^2}{9b — a} = frac{81b^2 — a^2}{9b — a} = frac{(9b — a)(9b + a)}{9b — a} = 9b + a$
5) $frac{t^2}{3t — 6} + frac{4}{6 — 3t} = frac{t^2}{3t — 6} — frac{4}{3t — 6} = frac{t^2 — 4}{3t — 6} = frac{(t — 2)(t + 2)}{3(t — 2)} = frac{t + 2}{3}$
6) $frac{y^2}{y — 1} — frac{1 — 2y}{1 — y} = frac{y^2}{y — 1} + frac{1 — 2y}{y — 1} = frac{y^2 + 1 — 2y}{y — 1} = frac{y^2 — 2y + 1}{y — 1} = frac{(y — 1)^2}{y — 1} = y — 1$