Ответы к странице 211-212
Задание №6 «Проверьте себя» в тестовой форме
1. Найдите корни квадратного трехчлена $5x^2 — x — 6$.
А) 2; −0,6
Б) −2; 0,6
В) 1; −1,2
Г) −1; 1,2
Решение:
$5x^2 — x — 6 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-1)^2 — 4 * 5 * (-6) = 1 + 120 = 121 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{1 + sqrt{121}}{2 * 5} = frac{1 + 11}{10} = frac{12}{10} = 1,2$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{1 — sqrt{121}}{2 * 5} = frac{1 — 11}{10} = frac{-10}{10} = -1$
Ответ: Г) −1; 1,2
2. Разложите на множители квадратный трехчлен $-x^2 — 4x + 5$.
А) (x − 1)(x + 5)
Б) (x + 1)(x − 5)
В) −(x − 1)(x + 5)
Г) −(x + 1)(x − 5)
Решение:
$-x^2 — 4x + 5 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-4)^2 — 4 * (-1) * 5 = 16 + 20 = 36 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{4 + sqrt{36}}{2 * (-1)} = frac{4 + 6}{-2} = frac{10}{-2} = -5$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{4 — sqrt{36}}{2 * (-1)} = frac{4 — 6}{-2} = frac{-2}{-2} = 1$
$-x^2 — 4x + 5 = a(x — x_1)(x — x_2) = -(x — (-5))(x — 1) = -(x + 5)(x — 1)$
Ответ: В) −(x − 1)(x + 5)
3. Сократите дробь $frac{x^2 + 7x + 12}{x^2 + x — 6}$.
А) $frac{x + 4}{x — 2}$
Б) $frac{x — 4}{x — 2}$
В) $frac{x + 4}{x + 2}$
Г) $frac{x — 4}{x + 2}$
Решение:
$frac{x^2 + 7x + 12}{x^2 + x — 6}$
$x^2 + 7x + 12 = 0$
$D = b^2 — 4ac = 7^2 — 4 * 1 * 12 = 49 — 48 = 1 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{-7 + sqrt{1}}{2 * 1} = frac{-7 + 1}{2} = frac{-6}{2} = -3$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{-7 — sqrt{1}}{2 * 1} = frac{-7 — 1}{2} = frac{-8}{2} = -4$
$x^2 + 7x + 12 = (x — (-3))(x — (-4)) = (x + 3)(x + 4)$
$x^2 + x — 6 = 0$
$D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{-1 + sqrt{25}}{2 * 1} = frac{-1 + 5}{2} = frac{4}{2} = 2$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{-1 — sqrt{25}}{2 * 1} = frac{-1 — 5}{2} = frac{-6}{2} = -3$
$x^2 + x — 6 = (x — 2)(x — (-3)) = (x — 2)(x + 3)$
тогда:
$frac{x^2 + 7x + 12}{x^2 + x — 6} = frac{(x + 3)(x + 4)}{(x — 2)(x + 3)} = frac{x + 4}{x — 2}$
Ответ: А) $frac{x + 4}{x — 2}$
4. Решите уравнение $x^4 + 7x^2 — 18 = 0$.
А) −3; 3
Б) $-sqrt{2}; sqrt{2}$
В) $-3; -sqrt{2}; sqrt{2}; 3$
Г) $sqrt{2}; 3$
Решение:
$x^4 + 7x^2 — 18 = 0$
$y = x^2$, y ≥ 0
$y^2 + 7y — 18 = 0$
$D = b^2 — 4ac = 7^2 — 4 * 1 * (-18) = 49 + 72 = 121 > 0$
$y_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{-7 + sqrt{121}}{2 * 1} = frac{-7 + 11}{2} = frac{4}{2} = 2$
$y_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{-7 — sqrt{121}}{2 * 1} = frac{-7 — 11}{2} = frac{-18}{2} = -9$ − не является решением, так как y ≥ 0.
$x^2 = 2$
$x = ±sqrt{2}$
Ответ:
Б) $-sqrt{2}; sqrt{2}$.
5. Найдите корни уравнения $(x^2 — 4x)^2 — 2(x^2 — 4x) — 15 = 0$.
А) −1; 1; 3; 5
Б) −1; 5
В) 1; 3
Г) 1; 3; 5
Решение:
$(x^2 — 4x)^2 — 2(x^2 — 4x) — 15 = 0$
$y = x^2 — 4x$
$y^2 — 2y — 15 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-2)^2 — 4 * 1 * (-15) = 4 + 60 = 64 > 0$
$y_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{2 + sqrt{64}}{2 * 1} = frac{2 + 8}{2} = frac{10}{2} = 5$
$y_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{2 — sqrt{64}}{2 * 1} = frac{2 — 8}{2} = frac{-6}{2} = -3$
$x^2 — 4x = 5$
$x^2 — 4x — 5 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-4)^2 — 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{4 + sqrt{36}}{2 * 1} = frac{4 + 6}{2} = frac{10}{2} = 5$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{4 — sqrt{36}}{2 * 1} = frac{4 — 6}{2} = frac{-2}{2} = -1$
или
$x^2 — 4x = -3$
$x^2 — 4x + 3 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-4)^2 — 4 * 1 * 3 = 16 — 12 = 4 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{4 + sqrt{4}}{2 * 1} = frac{4 + 2}{2} = frac{6}{2} = 3$
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{4 — sqrt{4}}{2 * 1} = frac{4 — 2}{2} = frac{2}{2} = 1$
Ответ:
А) −1; 1; 3; 5
6. Решите уравнение:
$x — sqrt{x} — 12 = 0$.
А) −3; 4
Б) −2; 2
В) 16
Г) 9; 16
Решение:
$x — sqrt{x} — 12 = 0$
$(sqrt{x})^2 — sqrt{x} — 12 = 0$
$y = sqrt{x}$, y ≥ 0
$y^2 — y — 12 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-1)^2 — 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49 > 0$
$y_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{1 + sqrt{49}}{2 * 1} = frac{1 + 7}{2} = frac{8}{2} = 4$
$y_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{1 — sqrt{49}}{2 * 1} = frac{1 — 7}{2} = frac{-6}{2} = -3$ − не является решением, так как y ≥ 0.
$sqrt{x} = 4$
$(sqrt{x})^2 = 4^2$
x = 16
Ответ: В) 16
7. Решите уравнение $frac{x^2 — 6}{x — 3} = frac{x}{x — 3}$.
А) −2
Б) 3
В) −2; 3
Г) −3; 2
Решение:
$frac{x^2 — 6}{x — 3} = frac{x}{x — 3}$
x − 3 ≠ 0
x ≠ 3
$frac{x^2 — 6}{x — 3} — frac{x}{x — 3} = 0$ | * (x − 3)
$x^2 — 6 — x = 0$
$x^2 — x — 6 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-1)^2 — 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{1 + sqrt{25}}{2 * 1} = frac{1 + 5}{2} = frac{6}{2} = 3$ − не является решением, так как x ≠ 3.
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{1 — sqrt{25}}{2 * 1} = frac{1 — 5}{2} = frac{-4}{2} = -2$
Ответ: А) −2
8. Решите уравнение $frac{3x — 1}{x} — frac{4}{x — 2} = frac{10 — 9x}{x^2 — 2x}$
А) $-frac{4}{3}; 2$
Б) $frac{4}{3}; -2$
В) $-frac{4}{3}$
Г) 2
Решение:
$frac{3x — 1}{x} — frac{4}{x — 2} = frac{10 — 9x}{x^2 — 2x}$
$frac{3x — 1}{x} — frac{4}{x — 2} — frac{10 — 9x}{x(x — 2)} = 0$
x ≠ 0
и
x − 2 ≠ 0
x ≠ 2
$frac{3x — 1}{x} — frac{4}{x — 2} — frac{10 — 9x}{x(x — 2)} = 0$ | * x(x − 2)
(3x − 1)(x − 2) − 4x − (10 − 9x) = 0
$3x^2 — x — 6x + 2 — 4x — 10 + 9x = 0$
$3x^2 — 2x — 8 = 0$
$D = b^2 — 4ac = (-2)^2 — 4 * 3 * (-8) = 4 + 96 = 100 > 0$
$x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} = frac{2 + sqrt{100}}{2 * 3} = frac{2 + 10}{6} = frac{12}{6} = 2$ − не является решением, так как x ≠ 2.
$x_2 = frac{-b — sqrt{D}}{2a} = frac{2 — sqrt{100}}{2 * 3} = frac{2 — 10}{6} = frac{-8}{6} = -frac{4}{3}$
Ответ: В) $-frac{4}{3}$
9. Из одного города в другой, расстояние между которыми равно 350 км, выехали одновременно грузовой и легковой автомобили. Скорость грузовика на 20 км/ч меньше скорости легкового автомобиля, в результате чего грузовик прибыл в пункт назначения на 2 ч позже легкового автомобиля.
Пусть скорость грузового автомобиля равна x км/ч. Какое из уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи?
А) $frac{350}{x} — frac{350}{x + 20} = 2$
Б) $frac{350}{x} + frac{350}{x + 20} = 2$
В) $frac{350}{x + 20} — frac{350}{x} = 2$
Г) $frac{350}{x} — frac{350}{x — 20} = 2$
Решение:
Пусть скорость грузового автомобиля равна x км/ч, тогда:
x + 20 (км/ч) − скорость легкового автомобиля;
$frac{350}{x}$ (ч) − был в пути грузовой автомобиль;
$frac{350}{x + 20}$ (ч) − был в пути легковой автомобиль.
Так как, грузовик прибыл в пункт назначения на 2 ч позже легкового автомобиля, можно составить уравнение:
$frac{350}{x} — frac{350}{x + 20} = 2$
Ответ:
А) $frac{350}{x} — frac{350}{x + 20} = 2$
10. Катер прошел 30 км по течению реки и вернулся обратно, затратив на весь путь 3 ч 10 мин. Скорость течения реки равна 1 км/ч. Пусть собственная скорость катера составляет x км/ч. Какое из уравнений соответствует условию задачи?
А) $frac{30}{x + 1} + frac{30}{x — 1} = 3,1$
Б) $frac{30}{x + 1} — frac{30}{x — 1} = 3,1$
В) $frac{30}{x + 1} + frac{30}{x} = 3frac{1}{6}$
Г) $frac{30}{x + 1} + frac{30}{x — 1} = 3frac{1}{6}$
Решение:
Пусть собственная скорость катера составляет x км/ч, тогда:
x + 1 (км/ч) − скорость катера по течению;
x − 1 (км/ч) − скорость катера против течения;
$frac{30}{x + 1}$ (ч) − шел катер по течению;
$frac{30}{x 1}$ (ч) − шел катер против течения;
3 ч 10 мин = $3frac{10}{60}$ (ч) = $3frac{1}{6}$ (ч).
Так как, на весь путь катер затратил 3 ч 10 мин, можно составить уравнение:
$frac{30}{x + 1} + frac{30}{x — 1} = 3frac{1}{6}$
Ответ:
Г) $frac{30}{x + 1} + frac{30}{x — 1} = 3frac{1}{6}$
11. Рабочий должен был за некоторое время изготовить 96 деталей. Ежедневно он изготавливал на 2 детали больше, чем планировал, и закончил работу на 3 дня раньше срока.
Пусть рабочий изготавливал ежедневно x деталей. Какое из уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи?
А) $frac{96}{x} — frac{96}{x — 2} = 3$
Б) $frac{96}{x — 2} — frac{96}{x} = 3$
В) $frac{96}{x} — frac{96}{x — 3} = 2$
Г) $frac{96}{x — 3} — frac{96}{x} = 2$
Решение:
Пусть рабочий изготавливал ежедневно x деталей, тогда:
x − 2 (деталей) − ежедневно должен был изготавливать рабочий;
$frac{96}{x}$ (дней) − работал рабочий;
$frac{96}{x — 2}$ (дней) − должен был работать рабочий по плану.
Так как, рабочий закончил работу на 3 дня раньше срока, можно составить уравнение:
$frac{96}{x} — frac{96}{x — 2} = 3$
Ответ:
А) $frac{96}{x} — frac{96}{x — 2} = 3$
12. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить некоторое производственное задание за 10 ч, причем первый из них может выполнить это задание самостоятельно на 15 ч быстрее второго.
Пусть первый рабочий может выполнить самостоятельно задание за x ч. Какое из уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи?
А) $frac{15}{x} — frac{15}{10 — x} = 1$
Б) $frac{15}{x} + frac{15}{x — 10} = 1$
В) $frac{10}{x} + frac{10}{x + 15} = 1$
Г) $frac{10}{x} + frac{10}{x — 15} = 1$
Решение:
Пусть первый рабочий может выполнить самостоятельно задание за x ч, тогда:
x + 15 (ч) − будет выполнять задание самостоятельно второй рабочий;
$frac{10}{x}$ (работы) − выполнит первый рабочий за 10 часов;
$frac{10}{x + 15}$ (работы) − выполнит второй рабочий за 10 часов.
Если принять всю работу за единицу и зная, что двое рабочих, работая вместе, могут выполнить некоторое производственное задание за 10 ч, можно составить уравнение:
$frac{10}{x} + frac{10}{x + 15} = 1$
Ответ:
В) $frac{10}{x} + frac{10}{x + 15} = 1$