Ответы к странице 216
845. Сократите дробь (n − натуральное число):
1) $frac{100^n}{2^{2n + 3} * 5^{2n + 1}}$;
2) $frac{2^{2n + 1} * 7^{n + 1}}{6 * 28^n}$;
3) $frac{5^{n + 1} — 5^n}{2 * 5^n}$;
4) $frac{18^n}{3^{2n + 2} * 2^{n + 3}}$;
5) $frac{41 * 9^n}{9^{n + 2} + 9^n}$.
Решение:
1) $frac{100^n}{2^{2n + 3} * 5^{2n + 1}} = frac{(4 * 25)^n}{2^{2n + 3} * 5^{2n + 1}} = frac{4^n * 25^n}{2^{2n + 3} * 5^{2n + 1}} = frac{(2^2)^n * (5^2)^n}{2^{2n + 3} * 5^{2n + 1}} = frac{2^{2n} * 5^{2n}}{2^{2n + 3} * 5^{2n + 1}} = 2^{2n — (2n + 3)} * 5^{2n — (2n + 1)} = 2^{2n — 2n — 3} * 5^{2n — 2n — 1} = 2^{-3} * 5^{-1} = frac{1}{2^3 * 5} = frac{1}{8 * 5} = frac{1}{40}$
2) $frac{2^{2n + 1} * 7^{n + 1}}{6 * 28^n} = frac{2^{2n + 1} * 7^{n + 1}}{2 * 3 * (4 * 7)^n} = frac{2^{2n + 1} * 7^{n + 1}}{2 * 3 * 4^n * 7^n} = frac{2^{2n + 1} * 7^{n + 1}}{2 * 3 * (2^2)^n * 7^n} = frac{2^{2n + 1} * 7^{n + 1}}{2 * 3 * 2^{2n} * 7^n} = frac{2^{2n + 1} * 7^{n + 1}}{3 * 2^{2n + 1} * 7^n} = frac{7^{n + 1}}{3 * 7^n} = frac{7^{n + 1 — n}}{3} = frac{7}{3} = 2frac{1}{3}$
3) $frac{5^{n + 1} — 5^n}{2 * 5^n} = frac{5^n(5 — 1)}{2 * 5^n} = frac{4}{2} = 2$
4) $frac{18^n}{3^{2n + 2} * 2^{n + 3}} = frac{(9 * 2)^n}{3^{2n + 2} * 2^{n + 3}} = frac{9^n * 2^n}{3^{2n + 2} * 2^{n + 3}} = frac{(3^2)^n * 2^n}{3^{2n + 2} * 2^{n + 3}} = frac{3^{2n} * 2^n}{3^{2n + 2} * 2^{n + 3}} = 3^{2n — (2n + 2)} * 2^{n — (n + 3)} = 3^{2n — 2n — 2} * 2^{n — n — 3} = 3^{-2} * 2^{-3} = frac{1}{3^2 * 2^3} = frac{1}{9 * 8} = frac{1}{72}$
5) $frac{41 * 9^n}{9^{n + 2} + 9^n} = frac{41 * 9^n}{9^{n}(9^2 + 1)} = frac{41}{81 + 1} = frac{41}{82} = frac{1}{2}$
846. Для каждого значения a решите уравнение:
1) (a + 2)x = 7;
2) (a + 6)x = a + 6;
3) $(a + 3)x = a^2 + 6a + 9$;
4) $(a^2 — 4)x = a — 2$.
Решение:
1) (a + 2)x = 7
если a ≠ −2:
$x = frac{7}{a + 2}$
если a = −2:
(−2 + 2)x = 7
0x = 7
0 ≠ 7
нет корней
Ответ:
если a ≠ −2: $x = frac{7}{a + 2}$;
если a = −2: нет корней.2) (a + 6)x = a + 6
если a ≠ −6:
$x = frac{a + 6}{a + 6}$
x = 1
если a = −6:
(−6 + 6)x = −6 + 6
0x = 0
0 = 0
x − любое число
Ответ:
если a ≠ −6: x = 1;
если a = −6: x − любое число.3) $(a + 3)x = a^2 + 6a + 9$
$(a + 3)x = (a + 3)^2$
если a ≠ −3:
$x = frac{(a + 3)^2}{a + 3}$
x = a + 3
если a = −3:
$(-3 + 3)x = (-3 + 3)^2$
0x = 0
0 = 0
x − любое число
Ответ:
если a ≠ −3: x = a + 3;
если a = −3: x − любое число.4) $(a^2 — 4)x = a — 2$
$(a — 2)(a + 2)x = a — 2$
если a ≠ −2 и a ≠ 2:
$x = frac{a — 2}{(a — 2)(a + 2)}$
$x = frac{1}{a + 2}$
если a = −2:
$(-2 — 2)(-2 + 2)x = -2 — 2$
−4 * 0x = −4
0 ≠ −4
нет корней
если a = 2:
$(2 — 2)(2 + 2)x = 2 — 2$
0 * 4x = 0
0 = 0
x − любое число
Ответ:
если a ≠ −2 и a ≠ 2: $x = frac{1}{a + 2}$;
если a = −2: нет корней;
если a = 2: x − любое число.
847. Представьте в виде дроби выражение:
1) $frac{7a}{22} + frac{4a}{22}$;
2) $frac{8x}{3y} — frac{5x}{3y}$;
3) $frac{7x — 2y}{15p} + frac{3x + 7y}{15p}$;
4) $frac{x + y}{9p} — frac{x}{9p}$;
5) $frac{a}{8} — frac{a — b}{8}$;
6) $frac{7p — 17}{5k} + frac{7 — 2p}{5k}$;
7) $frac{6a^2 — 4a}{15a} — frac{a^2 + a}{15a}$;
8) $frac{x — y}{8} + frac{x + y}{8}$;
9) $frac{10x — 6}{x} — frac{4x + 11}{x}$.
Решение:
1) $frac{7a}{22} + frac{4a}{22} = frac{7a + 4a}{22} = frac{11a}{22} = frac{a}{2}$
2) $frac{8x}{3y} — frac{5x}{3y} = frac{8x — 5x}{3y} = frac{3x}{3y} = frac{x}{y}$
3) $frac{7x — 2y}{15p} + frac{3x + 7y}{15p} = frac{7x — 2y + 3x + 7y}{15p} = frac{10x + 5y}{15p} = frac{5(2x + y)}{15p} = frac{2x + y}{3p}$
4) $frac{x + y}{9p} — frac{x}{9p} = frac{x + y — x}{9p} = frac{y}{9p}$
5) $frac{a}{8} — frac{a — b}{8} = frac{a — (a — b)}{8} = frac{a — a + b}{8} = frac{b}{8}$
6) $frac{7p — 17}{5k} + frac{7 — 2p}{5k} = frac{7p — 17 + 7 — 2p}{5k} = frac{5p — 10}{5k} = frac{5(p — 2)}{5k} = frac{p — 2}{k}$
7) $frac{6a^2 — 4a}{15a} — frac{a^2 + a}{15a} = frac{6a^2 — 4a — (a^2 + a)}{15a} = frac{6a^2 — 4a — a^2 — a}{15a} = frac{5a^2 — 5a}{15a} = frac{5a(a — 1)}{15a} = frac{a — 1}{3}$
8) $frac{x — y}{8} + frac{x + y}{8} = frac{x — y + x + y}{8} = frac{2x}{8} = frac{x}{4}$
9) $frac{10x — 6}{x} — frac{4x + 11}{x} = frac{10x — 6 — (4x + 11)}{x} = frac{10x — 6 — 4x — 11}{x} = frac{6x — 17}{x}$
848. Упростите выражение:
1) $frac{7y}{y^2 — 4} — frac{14}{y^2 — 4}$;
2) $frac{y^2 — 3y}{25 — y^2} — frac{7y — 25}{25 — y^2}$;
3) $frac{9p + 5}{3p + 6} — frac{10p — 12}{3p + 6} + frac{9p — 1}{3p + 6}$;
4) $frac{7x + 5}{3 — x} + frac{5x + 11}{x — 3}$;
5) $frac{(3a — 1)^2}{4a — 4} + frac{(a — 3)^2}{4 — 4a}$;
6) $frac{x^2 — 3x}{(2 — x)^2} — frac{x — 4}{(x — 2)^2}$;
7) $frac{7}{a — 2} — frac{b}{2 — a}$;
8) $frac{6a}{5 — a} — frac{4a}{a — 5}$.
Решение:
1) $frac{7y}{y^2 — 4} — frac{14}{y^2 — 4} = frac{7y — 14}{y^2 — 4} = frac{7(y — 2)}{(y — 2)(y + 2)} = frac{7}{y + 2}$
2) $frac{y^2 — 3y}{25 — y^2} — frac{7y — 25}{25 — y^2} = frac{y^2 — 3y — (7y — 25)}{25 — y^2} = frac{y^2 — 3y — 7y + 25}{25 — y^2} = frac{y^2 — 10y + 25}{25 — y^2} = frac{(y — 5)^2}{(5 — y)(5 + y)} = frac{(5 — y)^2}{(5 — y)(5 + y)} = frac{5 — y}{5 + y}$
3) $frac{9p + 5}{3p + 6} — frac{10p — 12}{3p + 6} + frac{9p — 1}{3p + 6} = frac{9p + 5 — (10p — 12) + 9p — 1}{3p + 6} = frac{9p + 5 — 10p + 12 + 9p — 1}{3p + 6} = frac{8p + 16}{3p + 6} = frac{8(p + 2)}{3(p + 2)} = frac{8}{3} = 2frac{2}{3}$
4) $frac{7x + 5}{3 — x} + frac{5x + 11}{x — 3} = frac{7x + 5}{3 — x} — frac{5x + 11}{3 — x} = frac{7x + 5 — (5x + 11)}{3 — x} = frac{7x + 5 — 5x — 11}{3 — x} = frac{2x — 6}{3 — x} = frac{2(x — 3)}{3 — x} = -frac{2(x — 3)}{x — 3} = -2$
5) $frac{(3a — 1)^2}{4a — 4} + frac{(a — 3)^2}{4 — 4a} = frac{(3a — 1)^2}{4a — 4} — frac{(a — 3)^2}{4a — 4} = frac{(3a — 1)^2 — (a — 3)^2}{4a — 4} = frac{9a^2 — 6a + 1 — (a^2 — 6a + 9)}{4a — 4} = frac{9a^2 — 6a + 1 — a^2 + 6a — 9}{4a — 4} = frac{8a^2 — 8}{4a — 4} = frac{8(a^2 — 1)}{4(a — 1)} = frac{8(a — 1)(a + 1)}{4(a — 1)} = 2(a + 1)$
6) $frac{x^2 — 3x}{(2 — x)^2} — frac{x — 4}{(x — 2)^2} = frac{x^2 — 3x}{(x — 2)^2} — frac{x — 4}{(x — 2)^2} = frac{x^2 — 3x — (x — 4)}{(x — 2)^2} = frac{x^2 — 3x — x + 4}{(x — 2)^2} = frac{x^2 — 4x + 4}{(x — 2)^2} = frac{(x — 2)^2}{(x — 2)^2} = 1$
7) $frac{7}{a — 2} — frac{b}{2 — a} = frac{7}{a — 2} + frac{b}{a — 2} = frac{7 + b}{a — 2}$
8) $frac{6a}{5 — a} — frac{4a}{a — 5} = frac{6a}{5 — a} + frac{4a}{5 — a} = frac{6a + 4a}{5 — a} = frac{10a}{5 — a}$
849. Выполните действия:
1) $frac{8}{x} — frac{5}{y}$;
2) $frac{7}{ab} + frac{5}{b}$;
3) $frac{5}{24xy} — frac{7}{18xy}$;
4) $frac{5b^2 — 8b + 1}{a^2b^2} — frac{2b — 1}{a^2b}$.
Решение:
1) $frac{8}{x} — frac{5}{y} = frac{8y — 5x}{xy}$
2) $frac{7}{ab} + frac{5}{b} = frac{7 + 5a}{ab}$
3) $frac{5}{24xy} — frac{7}{18xy} = frac{5 * 3 — 7 * 4}{72xy} = frac{15 — 28}{72xy} = frac{-13}{72xy} = -frac{13}{72xy}$
4) $frac{5b^2 — 8b + 1}{a^2b^2} — frac{2b — 1}{a^2b} = frac{5b^2 — 8b + 1 — b(2b — 1)}{a^2b^2} = frac{5b^2 — 8b + 1 — 2b^2 + b}{a^2b^2} = frac{3b^2 — 7b + 1}{a^2b^2}$
850. Выполните действия:
1) $frac{2a — 1}{a — 4} — frac{3a + 2}{2(a — 4)}$;
2) $frac{x + 2}{3x + 9} — frac{4 — x}{5x + 15}$;
3) $frac{m + 1}{m — 3} — frac{m + 2}{m + 3}$;
4) $frac{x}{x + y} — frac{2y^2}{y^2 — x^2} — frac{y}{x — y}$;
5) $frac{m}{3m — 2n} — frac{3m^2 — 3mn}{9m^2 — 12m + 4n^2}$;
6) $frac{a + 3}{a^2 — 2a} — frac{a — 2}{5a — 10} + frac{a + 2}{5a}$;
7) $frac{3}{3a — 3} — frac{a — 1}{2a^2 — 4a + 2}$;
8) $2 — frac{14}{m — 2} — m$;
9) $frac{2x + 1}{x^2 — 6x + 9} — frac{8}{x^2 — 9} — frac{2x — 1}{x^2 + 6x + 9}$.
Решение:
1) $frac{2a — 1}{a — 4} — frac{3a + 2}{2(a — 4)} = frac{2(2a — 1) — (3a + 2)}{2(a — 4)} = frac{4a — 2 — 3a — 2}{2(a — 4)} = frac{a — 4}{2(a — 4)} = frac{1}{2}$
2) $frac{x + 2}{3x + 9} — frac{4 — x}{5x + 15} = frac{x + 2}{3(x + 3)} — frac{4 — x}{5(x + 3)} = frac{5(x + 2) — 3(4 — x)}{15(x + 3)} = frac{5x + 10 — 12 + 3x}{15(x + 3)} = frac{8x — 2}{15(x + 3)}$
3) $frac{m + 1}{m — 3} — frac{m + 2}{m + 3} = frac{(m + 1)(m + 3) — (m + 2)(m — 3)}{(m — 3)(m + 3)} = frac{m^2 + m + 3m + 3 — (m^2 + 2m — 3m — 6)}{m^2 — 9} = frac{m^2 + 4m + 3 — m^2 — 2m + 3m + 6}{m^2 — 9} = frac{5m + 9}{m^2 — 9}$
4) $frac{x}{x + y} — frac{2y^2}{y^2 — x^2} — frac{y}{x — y} = frac{x}{x + y} — frac{2y^2}{(y — x)(y + x)} — frac{y}{x — y} = frac{x}{y + x} — frac{2y^2}{(y — x)(y + x)} + frac{y}{y — x} = frac{x(y — x) — 2y^2 + y(y + x)}{(y — x)(y + x)} = frac{xy — x^2 — 2y^2 + y^2 + xy}{(y — x)(y + x)} = frac{-x^2 + 2xy — y^2}{(y — x)(y + x)} = frac{-(y^2 — 2xy + x^2)}{(y — x)(y + x)} = frac{-(y — x)^2}{(y — x)(y + x)} = frac{-(y — x)}{y + x} = frac{x — y}{x + y}$
5) $frac{m}{3m — 2n} — frac{3m^2 — 3mn}{9m^2 — 12m + 4n^2} = frac{m}{3m — 2n} — frac{3m^2 — 3mn}{(3m — 2n)^2} = frac{m(3m — 2n) — (3m^2 — 3mn)}{(3m — 2n)^2} = frac{3m^2 — 2mn — 3m^2 + 3mn}{(3m — 2n)^2} = frac{mn}{(3m — 2n)^2}$
6) $frac{a + 3}{a^2 — 2a} — frac{a — 2}{5a — 10} + frac{a + 2}{5a} = frac{a + 3}{a(a — 2)} — frac{a — 2}{5(a — 2)} + frac{a + 2}{5a} = frac{5(a + 3) — a(a — 2) + (a — 2)(a + 2)}{5a(a — 2)} = frac{5a + 15 — a^2 + 2a + a^2 — 4}{5a(a — 2)} = frac{7a + 11}{5a(a — 2)}$
7) $frac{3}{3a — 3} — frac{a — 1}{2a^2 — 4a + 2} = frac{3}{3(a — 1)} — frac{a — 1}{2(a^2 — 2a + 1)} = frac{3}{3(a — 1)} — frac{a — 1}{2(a — 1)^2} = frac{3 * 2(a — 1) — 3(a — 1)}{6(a — 1)^2} = frac{(a — 1)(6 — 3)}{6(a — 1)^2} = frac{3}{6(a — 1)} = frac{1}{2(a — 1)}$
8) $2 — frac{14}{m — 2} — m = frac{2(m — 2) — 14 — m(m — 2)}{m — 2} = frac{2m — 4 — 14 — m^2 + 2m}{m — 2} = frac{-m^2 + 4m — 18}{m — 2}$
9) $frac{2x + 1}{x^2 — 6x + 9} — frac{8}{x^2 — 9} — frac{2x — 1}{x^2 + 6x + 9} = frac{2x + 1}{(x — 3)^2} — frac{8}{(x — 3)(x + 3)} — frac{2x — 1}{(x + 3)^2} = frac{(2x + 1)(x + 3)^2 — 8(x — 3)(x + 3) — (2x — 1)(x — 3)^2}{(x — 3)^2(x + 3)^2} = frac{(2x + 1)(x^2 + 6x + 9) — 8(x^2 — 9) — (2x — 1)(x^2 — 6x + 9)}{(x — 3)^2(x + 3)^2} = frac{2x^3 + 12x^2 + 18x + x^2 + 6x + 9 — 8x^2 + 72 — (2x^3 — 12x^2 + 18x — x^2 + 6x — 9)}{(x — 3)^2(x + 3)^2} = frac{18x^2 + 90}{(x — 3)^2(x + 3)^2}$