Ответы к странице 224
899. Вынесите множитель из-под знака корня:
1) $sqrt{10a^2}$, если a ≥ 0;
2) $sqrt{15b^2}$, если b ≤ 0;
3) $sqrt{x^{11}y^{12}}$, если y ≠ 0;
4) $sqrt{36m^2n}$, если m < 0;
5) $sqrt{4x^6y^5}$, если x > 0;
6) $sqrt{700a^5b^22}$, если b < 0.
Решение:
1) $sqrt{10a^2} = sqrt{10} * sqrt{a^2} = sqrt{10} * |a| = asqrt{10}$, если a ≥ 0
2) $sqrt{15b^2} = sqrt{15 * b^2} = sqrt{15} * |b| = -bsqrt{15}$, если b ≤ 0
3) $sqrt{x^{11}y^{12}} = sqrt{x * x^{10} * (y^6)^2} = sqrt{x} * sqrt{(x^{5})^2} * sqrt{(y^6)^2} = sqrt{x} * |x^5| * |y^6| = x^5y^6sqrt{x}$, если y ≠ 0
4) $sqrt{36m^2n} = sqrt{36} * sqrt{m^2} * sqrt{n} = 6|m| * sqrt{n} = -6msqrt{n}$, если m < 05) $sqrt{4x^6y^5} = sqrt{4} * sqrt{x^{6}} * sqrt{y^{5}} = 2 * sqrt{(x^{3})^2} * sqrt{y^4 * y} = 2 * |x^3| * sqrt{(y^2)^2 * y} = 2x^3y^2sqrt{y}$, если x > 0
6) $sqrt{700a^5b^22} = sqrt{700} * sqrt{a^5} * sqrt{b^22} = sqrt{100 * 7} * sqrt{a^4a} * sqrt{(b^{11})^2} = 10sqrt{7} * sqrt{(a^2)^2 * a} * |b^{11}| = -10sqrt{7} * a^2sqrt{a}b^{11} = -10a^2b^{11}sqrt{7a}$, если b < 0
900. Внесите множитель под знак корня:
1) $3sqrt{10}$;
2) $2sqrt{13}$;
3) $0,3sqrt{3}$;
4) $frac{1}{5}sqrt{175}$;
5) $frac{2}{7}sqrt{98}$;
6) $-5sqrt{7}$;
7) $-0,5sqrt{30}$;
8) $4sqrt{a}$.
Решение:
1) $3sqrt{10} = sqrt{3^2 * 10} = sqrt{9 * 10} = sqrt{90}$
2) $2sqrt{13} = sqrt{2^2 * 13} = sqrt{4 * 13} = sqrt{52}$
3) $0,3sqrt{3} = sqrt{0,3^2 * 3} = sqrt{0,09 * 3} = sqrt{0,27}$
4) $frac{1}{5}sqrt{175} = sqrt{(frac{1}{5})^2 * 175} = sqrt{frac{1}{25} * 175} = sqrt{7}$
5) $frac{2}{7}sqrt{98} = sqrt{(frac{2}{7})^2 * 98} = sqrt{frac{4}{49} * 98} = sqrt{4 * 2} = sqrt{8}$
6) $-5sqrt{7} = -sqrt{5^2 * 7} = -sqrt{25 * 7} = -sqrt{175}$
7) $-0,5sqrt{30} = -sqrt{0,5^2 * 30} = -sqrt{0,25 * 30} = -sqrt{7,5}$
8) $4sqrt{a} = sqrt{4^2 * a} = sqrt{16a}$
901. Внесите множитель под знак корня:
1) $asqrt{5}$;
2) $bsqrt{-b}$;
3) $xsqrt{x^7}$;
4) $nsqrt{m}$,если n ≤ 0.
Решение:
1) $asqrt{5} = sqrt{a^2} * sqrt{5} = sqrt{a^2 * 5} = sqrt{5a^2}$
2) $bsqrt{-b} = -sqrt{b^2} * sqrt{-b} = -sqrt{b^2 * (-b)} = -sqrt{-b^3}$
3) $xsqrt{x^7} = sqrt{x^2} * sqrt{x^7} = sqrt{x^2 * x^7} = sqrt{x^9}$
4) $nsqrt{m} = -sqrt{n^2} * sqrt{m} = -sqrt{n^2 * m} = -sqrt{mn^2}$,если n ≤ 0
902. Сравните числа:
1) $5sqrt{6}$ и $6sqrt{5}$;
2) $sqrt{55}$ и $3sqrt{6}$;
3) $0,3sqrt{3frac{1}{2}}$ и $sqrt{0,3}$;
4) $frac{3}{7}sqrt{16frac{1}{3}}$ и $frac{3}{4}sqrt{5frac{1}{3}}$.
Решение:
1) $5sqrt{6} = sqrt{5^2} * sqrt{6} = sqrt{25 * 6} = sqrt{150}$
$6sqrt{5} = sqrt{6^2} * sqrt{5} = sqrt{36 * 5} = sqrt{180}$
$sqrt{150} < sqrt{180}$
$5sqrt{6} < 6sqrt{5}$2) $3sqrt{6} = sqrt{3^2} * sqrt{6} = sqrt{9 * 6} = sqrt{54}$
$sqrt{55} > sqrt{54}$
$sqrt{55} > 3sqrt{6}$3) $0,3sqrt{3frac{1}{2}} = sqrt{0,3^2} * sqrt{frac{7}{2}} = sqrt{0,09 * frac{7}{2}} = sqrt{frac{0,63}{2}} = sqrt{0,315}$
$sqrt{0,315} > sqrt{0,3}$
$0,3sqrt{3frac{1}{2}} > sqrt{0,3}$4) $frac{3}{7}sqrt{16frac{1}{3}} = sqrt{(frac{3}{7})^2} * sqrt{frac{49}{3}} = sqrt{frac{9}{49} * frac{49}{3}} = sqrt{frac{3}{1} * frac{1}{1}} = sqrt{3}$
$frac{3}{4}sqrt{5frac{1}{3}} = sqrt{(frac{3}{4})^2} * sqrt{frac{16}{3}} = sqrt{frac{9}{16} * frac{16}{3}} = sqrt{frac{3}{1} * frac{1}{1}} = sqrt{3}$
$sqrt{3} = sqrt{3}$
$frac{3}{7}sqrt{16frac{1}{3}} = frac{3}{4}sqrt{5frac{1}{3}}$
903. Упростите выражение:
1) $sqrt{64a} + sqrt{4a} — sqrt{121a}$;
2) $sqrt{45} + sqrt{20} — sqrt{320}$;
3) $6sqrt{125a} — 2sqrt{80a} + 3sqrt{180a}$.
Решение:
1) $sqrt{64a} + sqrt{4a} — sqrt{121a} = sqrt{64} * sqrt{a} + sqrt{4} * sqrt{a} — sqrt{121} * sqrt{a} = sqrt{a}(8 + 2 — 11) = -sqrt{a}$
2) $sqrt{45} + sqrt{20} — sqrt{320} = sqrt{5 * 9} + sqrt{5 * 4} — sqrt{5 * 64} = sqrt{5} * sqrt{9} + sqrt{5} * sqrt{4} — sqrt{5} * sqrt{64} = sqrt{5}(3 + 2 — 8) = -3sqrt{5}$
3) $6sqrt{125a} — 2sqrt{80a} + 3sqrt{180a} = 6sqrt{5a * 25} — 2sqrt{5a * 16} + 3sqrt{5a * 36} = 6 * sqrt{5a} * sqrt{25} — 2 * sqrt{5a} * sqrt{16} + 3 * sqrt{5a} * sqrt{36} = sqrt{5a}(6 * 5 — 2 * 4 + 3 * 6) = sqrt{5a}(30 — 8 + 18) = 40sqrt{5a}$
904. Выполните умножение:
1) $(sqrt{80} — sqrt{45})sqrt{5}$;
2) $(2sqrt{6} + sqrt{54} — sqrt{96})sqrt{6}$;
3) $(12 — sqrt{10})(3 + sqrt{10})$;
4) $(2sqrt{5} + sqrt{7})(2sqrt{7} — sqrt{5})$;
5) $(sqrt{19} — sqrt{13})(sqrt{19} + sqrt{13})$;
6) $(4sqrt{m} + 9sqrt{n})(4sqrt{m} — 9sqrt{n})$;
7) $(sqrt{5x} + sqrt{11y})^2$;
8) $(3sqrt{11} — 2sqrt{10})^2$.
Решение:
1) $(sqrt{80} — sqrt{45})sqrt{5} = sqrt{80} * sqrt{5} — sqrt{45} * sqrt{5} = sqrt{400} — sqrt{225} = 20 — 15 = 5$
2) $(2sqrt{6} + sqrt{54} — sqrt{96})sqrt{6} = 2sqrt{6} * sqrt{6} + sqrt{54} * sqrt{6} — sqrt{96} * sqrt{6} = 2 * 6 + sqrt{324} — sqrt{576} = 12 + 18 — 24 = 6$
3) $(12 — sqrt{10})(3 + sqrt{10}) = 12 * 3 — sqrt{10} * 3 + 12 * sqrt{10} — sqrt{10} * sqrt{10} = 36 — 3sqrt{10} + 12sqrt{10} — 10 = 26 + 9sqrt{10}$
4) $(2sqrt{5} + sqrt{7})(2sqrt{7} — sqrt{5}) = 2sqrt{5} * 2sqrt{7} + sqrt{7} * 2sqrt{7} — 2sqrt{5} * sqrt{5} — sqrt{7} * sqrt{5} = 4sqrt{5 * 7} + 2 * 7 — 2 * 5 — sqrt{35} = 4sqrt{35} + 14 — 10 — sqrt{35} = 3sqrt{35} + 4$
5) $(sqrt{19} — sqrt{13})(sqrt{19} + sqrt{13}) = (sqrt{19})^2 — (sqrt{13})^2 = 19 — 13 = 6$
6) $(4sqrt{m} + 9sqrt{n})(4sqrt{m} — 9sqrt{n}) = (4sqrt{m})^2 — (9sqrt{n})^2 = 16m — 81n$
7) $(sqrt{5x} + sqrt{11y})^2 = (sqrt{5x})^2 + 2 * sqrt{5x} * sqrt{11y} + (sqrt{11y})^2 = 5x + 2sqrt{55xy} + 11y$
8) $(3sqrt{11} — 2sqrt{10})^2 = (3sqrt{11})^2 — 2 * 3sqrt{11} * 2sqrt{10} + (2sqrt{10})^2 = 9 * 11 — 12sqrt{110} + 4 * 10 = 99 — 12sqrt{110} + 40 = 139 — 12sqrt{110}$
905. Сократите дробь:
1) $frac{x^2 — 19}{x + sqrt{19}}$;
2) $frac{sqrt{x} — 6}{x — 36}$;
3) $frac{m + 8sqrt{m}}{m — 64}$;
4) $frac{29 — sqrt{29}}{sqrt{29}}$;
5) $frac{a — 6sqrt{ab} + 9b}{a — 9b}$, если a > 0, b > 0;
6) $frac{11 — sqrt{33}}{sqrt{33} — 3}$.
Решение:
1) $frac{x^2 — 19}{x + sqrt{19}} = frac{x^2 — (sqrt{19})^2}{x + sqrt{19}} = frac{(x — sqrt{19})(x + sqrt{19})}{x + sqrt{19}} = x — sqrt{19}$
2) $frac{sqrt{x} — 6}{x — 36} = frac{sqrt{x} — 6}{(sqrt{x})^2 — 6^2} = frac{sqrt{x} — 6}{(sqrt{x} — 6)(sqrt{x} + 6)} = frac{1}{sqrt{x} + 6}$
3) $frac{m + 8sqrt{m}}{m — 64} = frac{(sqrt{m})^2 + 8sqrt{m}}{(sqrt{m})^2 — 8^2} = frac{sqrt{m}(sqrt{m} + 8)}{(sqrt{m} — 8)(sqrt{m} + 8)} = frac{sqrt{m}}{sqrt{m} — 8}$
4) $frac{29 — sqrt{29}}{sqrt{29}} = frac{(sqrt{29})^2 — sqrt{29}}{sqrt{29}} = frac{sqrt{29}(sqrt{29} — 1)}{sqrt{29}} = sqrt{29} — 1$
5) $frac{a — 6sqrt{ab} + 9b}{a — 9b} = frac{(sqrt{a})^2 — 2 * 3sqrt{ab} + (3sqrt{b})^2}{(sqrt{a})^2 — (3sqrt{b})^2} = frac{(sqrt{a} — 3sqrt{b})^2}{(sqrt{a} — 3sqrt{b})(sqrt{a} + 3sqrt{b})} = frac{sqrt{a} — 3sqrt{b}}{sqrt{a} + 3sqrt{b}}$, если a > 0, b > 0
6) $frac{11 — sqrt{33}}{sqrt{33} — 3} = frac{(sqrt{11})^2 — sqrt{11} * sqrt{3}}{sqrt{11} * sqrt{3} — (sqrt{3})^2} = frac{sqrt{11}(sqrt{11} — sqrt{3})}{sqrt{3}(sqrt{11} — sqrt{3})} = frac{sqrt{11}}{sqrt{3}} = sqrt{frac{11}{3}} = sqrt{3frac{2}{3}}$
906. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
1) $frac{a^3}{sqrt{b}}$;
2) $frac{7}{asqrt{a}}$;
3) $frac{2}{sqrt{13}}$;
4) $frac{6}{sqrt{3}}$;
5) $frac{n + 9}{sqrt{n + 9}}$;
6) $frac{3}{sqrt{13} — 2}$;
7) $frac{6}{sqrt{21} + sqrt{15}}$;
8) $frac{18}{sqrt{47} — sqrt{29}}$.
Решение:
1) $frac{a^3}{sqrt{b}} = frac{a^3 * sqrt{b}}{sqrt{b} * sqrt{b}} = frac{a^3sqrt{b}}{b}$
2) $frac{7}{asqrt{a}} = frac{7 * sqrt{a}}{asqrt{a} * sqrt{a}} = frac{7sqrt{a}}{a * a} = frac{7sqrt{a}}{a^2}$
3) $frac{2}{sqrt{13}} = frac{2 * sqrt{13}}{sqrt{13} * sqrt{13}} = frac{2sqrt{13}}{13}$
4) $frac{6}{sqrt{3}} = frac{6 * sqrt{3}}{sqrt{3} * sqrt{3}} = frac{6sqrt{3}}{3} = 2sqrt{3}$
5) $frac{n + 9}{sqrt{n + 9}} = frac{(n + 9) * sqrt{n + 9}}{sqrt{n + 9} * sqrt{n + 9}} = frac{(n + 9) * sqrt{n + 9}}{n + 9} = sqrt{n + 9}$
6) $frac{3}{sqrt{13} — 2} = frac{3(sqrt{13} + 2)}{(sqrt{13} — 2)(sqrt{13} + 2)} = frac{3(sqrt{13} + 2)}{13 — 4} = frac{3(sqrt{13} + 2)}{9} = frac{sqrt{13} + 2}{3}$
7) $frac{6(sqrt{21} — sqrt{15})}{(sqrt{21} + sqrt{15})(sqrt{21} — sqrt{15})} = frac{6(sqrt{21} — sqrt{15})}{21 — 15} = frac{6(sqrt{21} — sqrt{15})}{6} = sqrt{21} — sqrt{15}$
8) $frac{18}{sqrt{47} — sqrt{29}} = frac{18(sqrt{47} + sqrt{29})}{(sqrt{47} — sqrt{29})(sqrt{47} + sqrt{29})} = frac{18(sqrt{47} + sqrt{29})}{47 — 29} = frac{18(sqrt{47} + sqrt{29})}{18} = sqrt{47} + sqrt{29}$