Ответы к странице 27
102. Выполните действия:
1) $frac{2}{x} + frac{3x — 2}{x + 1}$;
2) $frac{m}{n} — frac{m}{m + n}$;
3) $frac{a}{a — 3} — frac{3}{a + 3}$;
4) $frac{c}{3c — 1} — frac{c}{3c + 1}$;
5) $frac{x}{2y + 1} — frac{x}{3y — 2}$;
6) $frac{a — b}{b} — frac{a — b}{a + b}$.
Решение:
1) $frac{2}{x} + frac{3x — 2}{x + 1} = frac{2(x + 1) + x(3x — 2)}{x(x + 1)} = frac{2x + 2 + 3x^2 — 2x}{x(x + 1)} = frac{3x^2 + 2}{x(x + 1)}$
2) $frac{m}{n} — frac{m}{m + n} = frac{m(m + n) — mn}{n(m + n)} = frac{m^2 + mn — mn}{n(m + n)} = frac{m^2}{n(m + n)}$
3) $frac{a}{a — 3} — frac{3}{a + 3} = frac{a(a + 3) — 3(a — 3)}{(a — 3)(a + 3)} = frac{a^2 + 3a — 3a + 9}{(a — 3)(a + 3)} = frac{a^2 + 9}{a^2 — 9}$
4) $frac{c}{3c — 1} — frac{c}{3c + 1} = frac{c(3c + 1) — c(3c — 1)}{(3c — 1)(3c + 1)} = frac{3c^2 + c — 3c^2 + c}{(3c — 1)(3c + 1)} = frac{2c}{9c^2 — 1}$
5) $frac{x}{2y + 1} — frac{x}{3y — 2} = frac{x(3y — 2) — x(2y + 1)}{(2y + 1)(3y — 2)} = frac{3xy — 2x — 2xy — x}{(2y + 1)(3y — 2)} = frac{xy — 3x}{(2y + 1)(3y — 2)}$
6) $frac{a — b}{b} — frac{a — b}{a + b} = frac{(a — b)(a + b) — b(a — b)}{b(a + b)} = frac{a^2 — b^2 — ab + b^2}{b(a + b)} = frac{a^2 — ab}{b(a + b)}$
103. Представьте в виде дроби выражение:
1) $frac{a}{a — b} + frac{a}{b}$;
2) $frac{4}{x} — frac{5x + 4}{x + 2}$;
3) $frac{b}{b — 2} — frac{2}{b + 2}$.
Решение:
1) $frac{a}{a — b} + frac{a}{b} = frac{ab + a(a — b)}{b(a — b)} = frac{ab + a^2 — ab}{b(a — b)} = frac{a^2}{b(a — b)}$
2) $frac{4}{x} — frac{5x + 4}{x + 2} = frac{4(x + 2) — x(5x + 4)}{x(x + 2)} = frac{4x + 8 — 5x^2 — 4x}{x(x + 2)} = frac{8 — 5x^2}{x(x + 2)}$
3) $frac{b}{b — 2} — frac{2}{b + 2} = frac{b(b + 2) — 2(b — 2)}{(b — 2)(b + 2)} = frac{b^2 + 2b — 2b + 4}{(b — 2)(b + 2)} = frac{b^2 + 4}{b^2 — 4}$
104. Упростите выражение:
1) $frac{1}{b(a — b)} — frac{1}{a(a — b)}$;
2) $frac{5}{a} + frac{30}{a(a — 6)}$;
3) $frac{3}{x — 2} — frac{2x + 2}{x(x — 2)}$;
4) $frac{y}{2(y + 3)} — frac{y}{5(y + 3)}$;
5) $frac{5m + 3}{2(m + 1)} — frac{7m + 4}{3(m + 1)}$;
6) $frac{c — a}{a(a + b)} + frac{c + b}{b(a + b)}$.
Решение:
1) $frac{1}{b(a — b)} — frac{1}{a(a — b)} = frac{a — b}{ab(a — b)} = frac{1}{ab}$
2) $frac{5}{a} + frac{30}{a(a — 6)} = frac{5(a — 6) + 30}{a(a — 6)} = frac{5a — 30 + 30}{a(a — 6)} = frac{5a}{a(a — 6)} = frac{5}{a — 6}$
3) $frac{3}{x — 2} — frac{2x + 2}{x(x — 2)} = frac{3x — (2x + 2)}{x(x — 2)} = frac{3x — 2x — 2}{x(x — 2)} = frac{x — 2}{x(x — 2)} = frac{1}{x}$
4) $frac{y}{2(y + 3)} — frac{y}{5(y + 3)} = frac{5y — 2y}{10(y + 3)} = frac{3y}{10(y + 3)}$
5) $frac{5m + 3}{2(m + 1)} — frac{7m + 4}{3(m + 1)} = frac{3(5m + 3) — 2(7m + 4)}{6(m + 1)} = frac{15m + 9 — 14m — 8}{6(m + 1)} = frac{m + 1}{6(m + 1)} = frac{1}{6}$
6) $frac{c — a}{a(a + b)} + frac{c + b}{b(a + b)} = frac{b(c — a) + a(c + b)}{ab(a + b)} = frac{bc — ab + ac + ab}{ab(a + b)} = frac{bc + ac}{ab(a + b)} = frac{c(a + b)}{ab(a + b)} = frac{c}{ab}$
105. Выполните действия:
1) $frac{1}{a(a + b)} + frac{1}{b(a + b)}$;
2) $frac{4}{b} — frac{8}{b(b + 2)}$;
3) $frac{x}{5(x + 7)} — frac{x}{6(x + 7)}$;
4) $frac{4n + 2}{3(n — 1)} — frac{5n + 3}{4(n — 1)}$.
Решение:
1) $frac{1}{a(a + b)} + frac{1}{b(a + b)} = frac{b + a}{ab(a + b)} = frac{1}{ab}$
2) $frac{4}{b} — frac{8}{b(b + 2)} = frac{4(b + 2) — 8}{b(b + 2)} = frac{4b + 8 — 8}{b(b + 2)} = frac{4b}{b(b + 2)} = frac{4}{b + 2}$
3) $frac{x}{5(x + 7)} — frac{x}{6(x + 7)} = frac{6x — 5x}{30(x + 7)} = frac{x}{30(x + 7)}$
4) $frac{4n + 2}{3(n — 1)} — frac{5n + 3}{4(n — 1)} = frac{4(4n + 2) — 3(5n + 3)}{12(n — 1)} = frac{16n + 8 — 15n — 9}{12(n — 1)} = frac{n — 1}{12(n — 1)} = frac{1}{12}$
106. Выполните сложение или вычитание дробей:
1) $frac{a}{a — 2} — frac{3a + 1}{3a — 6}$;
2) $frac{18}{b^2 + 3b} — frac{6}{b}$;
3) $frac{2}{c + 1} — frac{c — 1}{c^2 + c}$;
4) $frac{d — 1}{2d — 8} + frac{d}{d — 4}$;
5) $frac{m + 1}{3m — 15} — frac{m — 1}{2m — 10}$;
6) $frac{m — 2n}{6m + 6n} — frac{m — 3n}{4m + 4n}$;
7) $frac{a^2 + 2}{a^2 + 2a} — frac{a + 4}{2a + 4}$;
8) $frac{3x — 4y}{x^2 — 2xy} — frac{3y — x}{xy — 2y^2}$.
Решение:
1) $frac{a}{a — 2} — frac{3a + 1}{3a — 6} = frac{a}{a — 2} — frac{3a + 1}{3(a — 2)} = frac{3a — (3a + 1)}{3(a — 2)} = frac{3a — 3a — 1}{3(a — 2)} = frac{-1}{3(a — 2)} = -frac{1}{3(a — 2)}$
2) $frac{18}{b^2 + 3b} — frac{6}{b} = frac{18}{b(b + 3)} — frac{6}{b} = frac{18 — 6(b + 3)}{b(b + 3)} = frac{18 — 6b — 18}{b(b + 3)} = frac{-6b}{b(b + 3)} = -frac{6}{b + 3}$
3) $frac{2}{c + 1} — frac{c — 1}{c^2 + c} = frac{2}{c + 1} — frac{c — 1}{c(c + 1)} = frac{2c — (c — 1)}{c(c + 1)} = frac{2c — (c — 1)}{c(c + 1)} = frac{2c — c + 1}{c(c + 1)} = frac{c + 1}{c(c + 1)} = frac{1}{c}$
4) $frac{d — 1}{2d — 8} + frac{d}{d — 4} = frac{d — 1}{2(d — 4)} + frac{d}{d — 4} = frac{d — 1 + 2d}{2(d — 4)} = frac{3d — 1}{2(d — 4)}$
5) $frac{m + 1}{3m — 15} — frac{m — 1}{2m — 10} = frac{m + 1}{3(m — 5)} — frac{m — 1}{2(m — 5)} = frac{2(m + 1) — 3(m — 1)}{6(m — 5)} = frac{2m + 2 — 3m + 3}{6(m — 5)} = frac{5 — m}{6(m — 5)} = -frac{m — 5}{6(m — 5)} = -frac{1}{6}$
6) $frac{m — 2n}{6m + 6n} — frac{m — 3n}{4m + 4n} = frac{m — 2n}{6(m + n)} — frac{m — 3n}{4(m + n)} = frac{2(m — 2n) — 3(m — 3n)}{12(m + n)} = frac{2m — 4n — 3m + 9n}{12(m + n)} = frac{5n — m}{12(m + n)}$
7) $frac{a^2 + 2}{a^2 + 2a} — frac{a + 4}{2a + 4} = frac{a^2 + 2}{a(a + 2)} — frac{a + 4}{2(a + 2)} = frac{2(a^2 + 2) — a(a + 4)}{2a(a + 2)} = frac{2a^2 + 4 — a^2 — 4a}{2a(a + 2)} = frac{a^2 — 4a + 4}{2a(a + 2)} = frac{(a — 2)^2}{2(a + 2)}$
8) $frac{3x — 4y}{x^2 — 2xy} — frac{3y — x}{xy — 2y^2} = frac{3x — 4y}{x(x — 2y)} — frac{3y — x}{y(x — 2y)} = frac{y(3x — 4y) — x(3y — x)}{xy(x — 2y)} = frac{3xy — 4y^2 — 3xy + x^2}{xy(x — 2y)} = frac{x^2 — 4y^2}{xy(x — 2y)} = frac{(x — 2y)(x + 2y)}{xy(x — 2y)} = frac{x + 2y}{xy}$
107. Упростите выражение:
1) $frac{b}{b — 5} — frac{4b — 1}{4b — 20}$;
2) $frac{2}{m} — frac{16}{m^2 + 8m}$;
3) $frac{a — 2}{2a — 6} — frac{a — 1}{3a — 9}$;
4) $frac{a^2 + b^2}{2a^2 + 2ab} + frac{b}{a + b}$;
5) $frac{b + 4}{ab — b^2} — frac{a + 4}{a^2 — ab}$;
6) $frac{c — 4}{4c + 24} + frac{4c + 9}{c^2 + 6c}$.
Решение:
1) $frac{b}{b — 5} — frac{4b — 1}{4b — 20} = frac{b}{b — 5} — frac{4b — 1}{4(b — 5)} = frac{4b — (4b — 1)}{4(b — 5)} = frac{4b — 4b + 1}{4(b — 5)} = frac{1}{4(b — 5)}$
2) $frac{2}{m} — frac{16}{m^2 + 8m} = frac{2}{m} — frac{16}{m(m + 8)} = frac{2(m + 8) — 16}{m(m + 8)} = frac{2m + 16 — 16}{m(m + 8)} = frac{2m}{m(m + 8)} = frac{2}{m + 8}$
3) $frac{a — 2}{2a — 6} — frac{a — 1}{3a — 9} = frac{a — 2}{2(a — 3)} — frac{a — 1}{3(a — 3)} = frac{3(a — 2) — 2(a — 1)}{6(a — 3)} = frac{3a — 6 — 2a + 2}{6(a — 3)} = frac{a — 4}{6(a — 3)}$
4) $frac{a^2 + b^2}{2a^2 + 2ab} + frac{b}{a + b} = frac{a^2 + b^2}{2a(a + b)} + frac{b}{a + b} = frac{a^2 + b^2 + 2ab}{2a(a + b)} = frac{(a + b)^2}{2a(a + b)} = frac{a + b}{2a}$
5) $frac{b + 4}{ab — b^2} — frac{a + 4}{a^2 — ab} = frac{b + 4}{b(a — b)} — frac{a + 4}{a(a — b)} = frac{a(b + 4) — b(a + 4)}{ab(a — b)} = frac{ab + 4a — ab — 4b)}{ab(a — b)} = frac{4a — 4b}{ab(a — b)} = frac{4(a — b)}{ab(a — b)} = frac{4}{ab}$
6) $frac{c — 4}{4c + 24} + frac{4c + 9}{c^2 + 6c} = frac{c — 4}{4(c + 6)} + frac{4c + 9}{c(c + 6)} = frac{c(c — 4) + 4(4c + 9)}{4c(c + 6)} = frac{c^2 — 4c + 16c + 36}{4c(c + 6)} = frac{c^2 + 12c + 36}{4c(c + 6)} = frac{(c + 6)^2}{4c(c + 6)} = frac{c + 6}{4c}$