Ответы к странице 29
113. Упростите выражение:
1) $frac{m + n}{m — n} — frac{m^2 + n^2}{m^2 — n^2}$;
2) $frac{x — y}{x + y} + frac{y^2}{2xy + x^2 + y^2}$;
3) $frac{2a}{4a^2 — 1} — frac{a + 4}{2a^2 + a}$;
4) $frac{b — 2}{b^2 + 6b + 9} — frac{b}{b^2 — 9}$;
5) $frac{x — 6}{x^2 + 3x} + frac{x}{x + 3} — frac{x — 3}{x}$;
6) $frac{y + 2}{y — 2} — frac{y — 2}{y + 2} — frac{16}{y^2 — 4}$.
Решение:
1) $frac{m + n}{m — n} — frac{m^2 + n^2}{m^2 — n^2} = frac{m + n}{m — n} — frac{m^2 + n^2}{(m — n)(m + n)} = frac{(m + n)(m + n) — (m^2 + n^2)}{(m — n)(m + n)} = frac{(m + n)^2 — (m^2 + n^2)}{(m — n)(m + n)} = frac{m^2 + 2mn + n^2 — m^2 — n^2}{(m — n)(m + n)} = frac{2mn}{m^2 — n^2}$
2) $frac{x — y}{x + y} + frac{y^2}{2xy + x^2 + y^2} = frac{x — y}{x + y} + frac{y^2}{(x + y)^2} = frac{(x — y)(x + y) + y^2}{(x + y)^2} = frac{x^2 — y^2 + y^2}{(x + y)^2} = frac{x^2}{(x + y)^2}$
3) $frac{2a}{4a^2 — 1} — frac{a + 4}{2a^2 + a} = frac{2a}{(2a — 1)(2a + 1)} — frac{a + 4}{a(2a + 1)} = frac{2a * a — (2a — 1)(a + 4)}{a(2a — 1)(2a + 1)} = frac{2a^2 — (2a^2 — a + 8a — 4)}{a(2a — 1)(2a + 1)} = frac{2a^2 — 2a^2 + a — 8a + 4}{a(2a — 1)(2a + 1)} = frac{4 — 7a}{a(4a^2 — 1)}$
4) $frac{b — 2}{b^2 + 6b + 9} — frac{b}{b^2 — 9} = frac{b — 2}{(b + 3)^2} — frac{b}{(b — 3)(b + 3)} = frac{(b — 2)(b — 3) — b(b + 3)}{(b + 3)^2(b — 3)} = frac{b^2 — 2b — 3b + 6 — b^2 — 3b}{(b + 3)^2(b — 3)} = frac{6 — 8b}{(b + 3)^2(b — 3)}$
5) $frac{x — 6}{x^2 + 3x} + frac{x}{x + 3} — frac{x — 3}{x} = frac{x — 6}{x(x + 3)} + frac{x}{x + 3} — frac{x — 3}{x} = frac{x — 6 + x * x — (x — 3)(x + 3)}{x(x + 3)} = frac{x — 6 + x^2 — (x^2 — 9)}{x(x + 3)} = frac{x — 6 + x^2 — x^2 + 9}{x(x + 3)} = frac{x + 3}{x(x + 3)} = frac{1}{x}$
6) $frac{y + 2}{y — 2} — frac{y — 2}{y + 2} — frac{16}{y^2 — 4} = frac{y + 2}{y — 2} — frac{y — 2}{y + 2} — frac{16}{(y — 2)(y + 2)} = frac{(y + 2)(y + 2) — (y — 2)(y — 2) — 16}{(y — 2)(y + 2)} = frac{(y + 2)^2 — (y — 2)^2 — 16}{(y — 2)(y + 2)} = frac{y^2 + 4y + 4 — (y^2 — 4y + 4) — 16}{(y — 2)(y + 2)} = frac{y^2 + 4y + 4 — y^2 + 4y — 4 — 16}{(y — 2)(y + 2)} = frac{8y — 16}{(y — 2)(y + 2)} = frac{8(y — 2)}{(y — 2)(y + 2)} = frac{8}{y + 2}$
114. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения не зависит от значения переменной:
1) $frac{2x + 1}{2x — 4} + frac{2x — 1}{6 — 3x} — frac{x + 7}{6x — 12}$;
2) $frac{24 — 2a}{a^2 — 16} — frac{a}{2a — 8} + frac{4}{a + 4}$.
Решение:
1) $frac{2x + 1}{2x — 4} + frac{2x — 1}{6 — 3x} — frac{x + 7}{6x — 12} = frac{2x + 1}{2x — 4} — frac{2x — 1}{3x — 6} — frac{x + 7}{6x — 12} = frac{2x + 1}{2(x — 2)} — frac{2x — 1}{3(x — 2)} — frac{x + 7}{6(x — 2)} = frac{3(2x + 1) — 2(2x — 1) — (x + 7)}{6(x — 2)} = frac{6x + 3 — 4x + 2 — x — 7}{6(x — 2)} = frac{x — 2}{6(x — 2)} = frac{1}{6}$
2) $frac{24 — 2a}{a^2 — 16} — frac{a}{2a — 8} + frac{4}{a + 4} = frac{24 — 2a}{(a — 4)(a + 4)} — frac{a}{2(a — 4)} + frac{4}{a + 4} = frac{2(24 — 2a) — a(a + 4) + 4 * 2(a — 4)}{2(a — 4)(a + 4)} = frac{48 — 4a — a^2 — 4a + 8a — 32}{2(a — 4)(a + 4)} = frac{16 — a^2}{2(a — 4)(a + 4)} = -frac{a^2 — 16}{2(a — 4)(a + 4)} = -frac{(a^2 — 16)}{2(a^2 — 16)} = -frac{1}{2}$
115. Представьте в виде дроби выражение:
1) $1 — a + frac{a^2 — 2}{a + 2}$;
2) $frac{a^2 — b^2}{3a + b} + 3a — b$;
3) $frac{c^2 + 9}{c — 3} — c — 3$;
4) $frac{8m^2}{4m — 3} — 2m — 1$.
Решение:
1) $1 — a + frac{a^2 — 2}{a + 2} = frac{a + 2 — a(a + 2) + a^2 — 2}{a + 2} = frac{a + 2 — a^2 — 2a + a^2 — 2}{a + 2} = frac{-a}{a + 2} = -frac{a}{a + 2}$
2) $frac{a^2 — b^2}{3a + b} + 3a — b = frac{a^2 — b^2 + 3a(3a + b) — b(3a + b)}{3a + b} = frac{a^2 — b^2 + 9a^2 + 3ab — 3ab — b^2}{3a + b} = frac{10a^2 — 2b^2}{3a + b}$
3) $frac{c^2 + 9}{c — 3} — c — 3 = frac{c^2 + 9 — c(c — 3) — 3(c — 3)}{c — 3} = frac{c^2 + 9 — c^2 + 3c — 3c + 9}{c — 3} = frac{18}{c — 3}$
4) $frac{8m^2}{4m — 3} — 2m — 1 = frac{8m^2 — 2m(4m — 3) — (4m — 3)}{4m — 3} = frac{8m^2 — 8m^2 + 6m — 4m + 3}{4m — 3} = frac{2m + 3}{4m — 3}$
116. Упростите выражение:
1) $b + 7 — frac{14b}{b + 7}$;
2) $5c — frac{10 — 29c + 10c^2}{2c — 5} + 2$.
Решение:
1) $b + 7 — frac{14b}{b + 7} = frac{b(b + 7) + 7(b + 7) — 14b}{b + 7} = frac{b^2 + 7b + 7b + 49 — 14b}{b + 7} = frac{b^2 + 49}{b + 7}$
2) $5c — frac{10 — 29c + 10c^2}{2c — 5} + 2 = frac{5c(2c — 5) — (10 — 29c + 10c^2) + 2(2c — 5)}{2c — 5} = frac{10c^2 — 25c — 10 + 29c — 10c^2 + 4c — 10}{2c — 5} = frac{8c — 20}{2c — 5} = frac{4(2c — 5)}{2c — 5} = 4$
117. Упростите выражение и найдите его значение:
1) $frac{7}{2a — 4} — frac{12}{a^2 — 4} — frac{3}{a + 2}$, если a = 5;
2) $frac{2c + 3}{2c^2 — 3c} + frac{2c — 3}{2c^2 + 3c} — frac{16c}{4c^2 — 9}$, если c = −0,8;
3) $frac{m^2 + 16n^2}{m^2 — 16n^2} — frac{m + 4n}{2m — 8n}$, если m = 3, n = 0,5.
Решение:
1) $frac{7}{2a — 4} — frac{12}{a^2 — 4} — frac{3}{a + 2} = frac{7}{2(a — 2)} — frac{12}{(a — 2)(a + 2)} — frac{3}{a + 2} = frac{7(a + 2) — 2 * 12 — 2 * 3(a — 2)}{2(a — 2)(a + 2)} = frac{7a + 14 — 24 — 6a + 12}{2(a — 2)(a + 2)} = frac{a + 2}{2(a — 2)(a + 2)} = frac{1}{2(a — 2)}$
при a = 5:
$frac{1}{2(a — 2)} = frac{1}{2(5 — 2)} = frac{1}{2 * 3} = frac{1}{6}$2) $frac{2c + 3}{2c^2 — 3c} + frac{2c — 3}{2c^2 + 3c} — frac{16c}{4c^2 — 9} = frac{2c + 3}{с(2с — 3)} + frac{2c — 3}{с(2с + 3)} — frac{16c}{(2с — 3)(2с + 3)} = frac{(2c + 3)(2c + 3) + (2c — 3)(2c — 3) — 16c * c}{c(2с — 3)(2с + 3)} = frac{(2c + 3)^2 + (2c — 3)^2 — 16c^2}{c(2с — 3)(2с + 3)} = frac{4c^2 + 12c + 9 + 4c^2 — 12c + 9 — 16c^2}{c(2с — 3)(2с + 3)} = frac{-8c^2 + 18}{c(2с — 3)(2с + 3)} = frac{-(8c^2 — 18)}{c(2с — 3)(2с + 3)} = frac{-(8c^2 — 18)}{c(2с — 3)(2с + 3)} = frac{-2(4c^2 — 9)}{c(4c^2 — 9)} = frac{-2}{c}$
при c = −0,8:
$frac{-2}{c} = frac{-2}{-0,8} = frac{2}{frac{8}{10}} = 2 * frac{5}{4} = frac{5}{2} = 2,5$3) $frac{m^2 + 16n^2}{m^2 — 16n^2} — frac{m + 4n}{2m — 8n} = frac{m^2 + 16n^2}{(m — 4n)(m + 4n)} — frac{m + 4n}{2(m — 4n)} = frac{2(m^2 + 16n^2) — (m + 4n)(m + 4n)}{2(m — 4n)(m + 4n)} = frac{2m^2 + 32n^2 — (m + 4n)^2}{2(m — 4n)(m + 4n)} = frac{2m^2 + 32n^2 — (m^2 + 8n + 16n^2)}{2(m — 4n)(m + 4n)} = frac{2m^2 + 32n^2 — m^2 — 8n — 16n^2}{2(m — 4n)(m + 4n)} = frac{m^2 — 8n + 16n^2}{2(m — 4n)(m + 4n)} = frac{(m — 4n)^2}{2(m — 4n)(m + 4n)} = frac{m — 4n}{2(m + 4n)}$
при m = 3, n = 0,5:
$frac{m — 4n}{2(m + 4n)} = frac{3 — 4 * 0,5}{2(3 + 4 * 0,5)} = frac{3 — 2}{2(3 + 2)} = frac{1}{2 * 5} = frac{1}{10} = 0,1$
118. Найдите значение выражения:
1) $frac{6}{5x — 20} — frac{x — 5}{x^2 — 8x + 16}$, если x = 5;
2) $frac{2y — 1}{2y} — frac{2y}{2y — 1} — frac{1}{2y — 4y^2}$, если $y = -2frac{3}{7}$.
Решение:
1) $frac{6}{5x — 20} — frac{x — 5}{x^2 — 8x + 16} = frac{6}{5(x — 4)} — frac{x — 5}{(x — 4)^2} = frac{6(x — 4) — 5(x — 5)}{5(x — 4)^2} = frac{6x — 24 — 5x + 25}{5(x — 4)^2} = frac{x + 1}{5(x — 4)^2}$
при x = 5:
$frac{x + 1}{5(x — 4)^2} = frac{5 + 1}{5(5 — 4)^2} = frac{6}{5 * 1^2} = frac{6}{5} = 1frac{1}{5}$2) $frac{2y — 1}{2y} — frac{2y}{2y — 1} — frac{1}{2y — 4y^2} = frac{2y — 1}{2y} — frac{2y}{2y — 1} + frac{1}{4y^2 — 2y} = frac{2y — 1}{2y} — frac{2y}{2y — 1} + frac{1}{2y(2y — 1)} = frac{(2y — 1)^2 — 2y * 2y + 1}{2y(2y — 1)} = frac{4y^2 — 4y + 1 — 4y^2 + 1}{2y(2y — 1)} = frac{-4y + 2}{2y(2y — 1)} = frac{-2(2y — 1)}{2y(2y — 1)} = -frac{1}{y}$
при $y = -2frac{3}{7}$:
$frac{1}{y} = -frac{1}{-2frac{3}{7}} = -frac{1}{-frac{17}{7}} = frac{7}{17}$
119. Докажите тождество:
1) $frac{a + b}{a} — frac{a}{a — b} + frac{b^2}{a^2 — ab} = 0$;
2) $frac{a + 3}{a + 1} — frac{a + 1}{a — 1} + frac{6}{a^2 — 1} = frac{2}{a^2 — 1}$;
3) $frac{2a^2 + 4}{a^2 — 1} — frac{a — 2}{a + 1} — frac{a + 1}{a — 1} = frac{1}{a — 1}$.
Решение:
1) $frac{a + b}{a} — frac{a}{a — b} + frac{b^2}{a^2 — ab} = 0$
$frac{a + b}{a} — frac{a}{a — b} + frac{b^2}{a(a — b)} = 0$
$frac{(a + b)(a — b) — a * a + b^2}{a(a — b)} = 0$
$frac{a^2 — b^2 — a^2 + b^2}{a(a — b)} = 0$
$frac{0}{a(a — b)} = 0$
0 = 02) $frac{a + 3}{a + 1} — frac{a + 1}{a — 1} + frac{6}{a^2 — 1} = frac{2}{a^2 — 1}$
$frac{a + 3}{a + 1} — frac{a + 1}{a — 1} + frac{6}{(a — 1)(a + 1)} = frac{2}{a^2 — 1}$
$frac{(a + 3)(a — 1) — (a + 1)(a + 1) + 6}{(a — 1)(a + 1)} = frac{2}{a^2 — 1}$
$frac{a^2 + 3a — a — 3 — (a^2 + 2a + 1) + 6}{(a — 1)(a + 1)} = frac{2}{a^2 — 1}$
$frac{a^2 + 2a — 3 — a^2 — 2a — 1 + 6}{(a — 1)(a + 1)} = frac{2}{a^2 — 1}$
$frac{2}{a^2 — 1} = frac{2}{a^2 — 1}$3) $frac{2a^2 + 4}{a^2 — 1} — frac{a — 2}{a + 1} — frac{a + 1}{a — 1} = frac{1}{a — 1}$
$frac{2a^2 + 4}{(a — 1)(a + 1)} — frac{a — 2}{a + 1} — frac{a + 1}{a — 1} = frac{1}{a — 1}$
$frac{2a^2 + 4 — (a — 2)(a — 1) — (a + 1)(a + 1)}{(a — 1)(a + 1)} = frac{1}{a — 1}$
$frac{2a^2 + 4 — (a^2 — 2a — a + 2) — (a^2 + a + a + 1)}{(a — 1)(a + 1)} = frac{1}{a — 1}$
$frac{2a^2 + 4 — a^2 + 2a + a — 2 — a^2 — a — a — 1}{(a — 1)(a + 1)} = frac{1}{a — 1}$
$frac{a + 1}{(a — 1)(a + 1)} = frac{1}{a — 1}$
$frac{1}{a — 1} = frac{1}{a — 1}$