Ответы к странице 39
156. Упростите выражение:
1) $frac{3a^4b^3}{10c^5} * frac{4b^4c^2}{27a^7} : frac{5b^7}{9a^3c^3}$;
2) $frac{3a^2}{2b^2c^2} : frac{7c^8}{6b^3} : frac{9ab}{14c^{12}}$;
3) $(frac{5a^3}{b^4})^4 * frac{b^{18}}{50a^{16}}$;
4) $(frac{3x^7}{y^{10}})^4 : (frac{3x^6}{y^8})^3$.
Решение:
1) $frac{3a^4b^3}{10c^5} * frac{4b^4c^2}{27a^7} : frac{5b^7}{9a^3c^3} = frac{3a^4b^3}{10c^5} * frac{4b^4c^2}{27a^7} * frac{9a^3c^3}{5b^7} = frac{1}{5} * frac{2}{1} * frac{1}{5} = frac{2}{25}$
2) $frac{3a^2}{2b^2c^2} : frac{7c^8}{6b^3} : frac{9ab}{14c^{12}} = frac{3a^2}{2b^2c^2} * frac{6b^3}{7c^8} * frac{14c^{12}}{9ab} = frac{a}{1} * frac{1}{1} * frac{2c^{2}}{1} = 2ac^2$
3) $(frac{5a^3}{b^4})^4 * frac{b^{18}}{50a^{16}} = frac{5^4a^{12}}{b^{16}} * frac{b^{18}}{2 * 5^2a^{16}} = frac{5^2}{1} * frac{b^{2}}{2a^{4}} = frac{25b^2}{2a^4}$
4) $(frac{3x^7}{y^{10}})^4 : (frac{3x^6}{y^8})^3 = frac{3^4x^{28}}{y^{40}} : frac{3^3x^{18}}{y^{24}} = frac{3^4x^{28}}{y^{40}} * frac{y^{24}}{3^3x^{18}} = frac{3x^{10}}{y^{16}} * frac{1}{1} = frac{3x^{10}}{y^{16}}$
157. Замените переменную x таким выражением, чтобы получилось тождество:
1) $(frac{4a^2}{b^3})^2 * x = frac{6a}{b^2}$;
2) $(frac{2b^4}{3c})^3 : x = frac{b^6}{12}$.
Решение:
1) $(frac{4a^2}{b^3})^2 * x = frac{6a}{b^2}$
$x = frac{6a}{b^2} : (frac{4a^2}{b^3})^2 = frac{6a}{b^2} : frac{16a^4}{b^6} = frac{6a}{b^2} * frac{b^6}{16a^4} = frac{3}{1} * frac{b^4}{8a^3} = frac{3b^4}{8a^3}$
Ответ: $(frac{4a^2}{b^3})^2 * frac{3b^4}{8a^3} = frac{6a}{b^2}$2) $(frac{2b^4}{3c})^3 : x = frac{b^6}{12}$
$x = (frac{2b^4}{3c})^3 : frac{b^6}{12} = frac{8b^{12}}{27c^3} : frac{b^6}{12} = frac{8b^{12}}{27c^3} * frac{12}{b^6} = frac{8b^{6}}{9c^3} * frac{4}{1} = frac{32b^{6}}{9c^3}$
Ответ: $(frac{2b^4}{3c})^3 : frac{32b^{6}}{9c^3} = frac{b^6}{12}$
158. Выполните умножение и деление дробей:
1) $frac{4 — a}{8a^3} * frac{12a^5}{a^2 — 16}$;
2) $frac{4c — d}{c^2 + cd} * frac{2c^2 — 2d^2}{4c^2 — cd}$;
3) $frac{b^2 — 6b + 9}{b^2 — 3b + 9} * frac{b^3 + 27}{5b — 15}$;
4) $frac{a^3 — 16a}{3a^2b} * frac{12ab^2}{4a + 16}$;
5) $frac{a^3 + b^3}{a^2 — b^2} * frac{7a — 7b}{a^2 — ab + b^2}$;
6) $frac{x^2 — 9}{x + y} * frac{5x + 5y}{x^2 — 3x}$;
7) $frac{m + 2n}{2 — 3m} : frac{m^2 + 4mn + 4n^2}{3m^2 — 2m}$;
8) $frac{a^3 + 8}{16 — a^4} : frac{a^2 — 2a + 4}{a^2 + 4}$;
9) $frac{x^2 — 12x + 36}{3x + 21} * frac{x^2 — 49}{4x — 24}$;
10) $frac{3a + 15b}{a^2 — 81b^2} : frac{4a + 20b}{a^2 — 18ab + 81b^2}$.
Решение:
1) $frac{4 — a}{8a^3} * frac{12a^5}{a^2 — 16} = frac{4 — a}{2} * frac{3a^2}{(a — 4)(a + 4)} = -frac{a — 4}{2} * frac{3a^2}{(a — 4)(a + 4)} = -frac{1}{2} * frac{3a^2}{a + 4} = -frac{3a^2}{2(a + 4)}$
2) $frac{4c — d}{c^2 + cd} * frac{2c^2 — 2d^2}{4c^2 — cd} = frac{4c — d}{c(c + d)} * frac{2(c^2 — d^2)}{c(4c — d)} = frac{1}{c(c + d)} * frac{2(c — d)(c + d)}{c} = frac{1}{c} * frac{2(c — d)}{c} = frac{2(c — d)}{c^2}$
3) $frac{b^2 — 6b + 9}{b^2 — 3b + 9} * frac{b^3 + 27}{5b — 15} = frac{(b — 3)^2}{b^2 — 3b + 9} * frac{(b + 3)(b^2 — 3b + 9)}{5(b — 3)} = frac{b — 3}{1} * frac{b + 3}{5} = frac{b^2 — 9}{5}$
4) $frac{a^3 — 16a}{3a^2b} * frac{12ab^2}{4a + 16} = frac{a(a^2 — 16)}{a} * frac{4b}{4(a + 4)} = frac{(a — 4)(a + 4)}{1} * frac{b}{a + 4} = frac{a — 4}{1} * frac{b}{1} = b(a — 4)$
5) $frac{a^3 + b^3}{a^2 — b^2} * frac{7a — 7b}{a^2 — ab + b^2} = frac{(a + b)(a^2 — ab + b^2)}{(a — b)(a + b)} * frac{7(a — b)}{a^2 — ab + b^2} = frac{1}{1} * frac{7}{1} = 7$
6) $frac{x^2 — 9}{x + y} * frac{5x + 5y}{x^2 — 3x} = frac{(x — 3)(x + 3)}{x + y} * frac{5(x + y)}{x(x — 3)} = frac{x + 3}{1} * frac{5}{x} = frac{5(x + 3)}{x}$
7) $frac{m + 2n}{2 — 3m} : frac{m^2 + 4mn + 4n^2}{3m^2 — 2m} = frac{m + 2n}{2 — 3m} : frac{(m + 2n)^2}{m(3m — 2)} = -frac{m + 2n}{3m — 2n} * frac{m(3m — 2)}{(m + 2n)^2} = -frac{1}{1} * frac{m}{m + 2n} = -frac{m}{m + 2n}$
8) $frac{a^3 + 8}{16 — a^4} : frac{a^2 — 2a + 4}{a^2 + 4} = frac{(a + 2)(a^2 — 2a + 4)}{(4 — a^2)(4 + a^2)} : frac{a^2 — 2a + 4}{a^2 + 4} = frac{(a + 2)(a^2 — 2a + 4)}{(2 — a)(2 + a)(4 + a^2)} : frac{a^2 — 2a + 4}{a^2 + 4} = frac{a^2 — 2a + 4}{(2 — a)(4 + a^2)} * frac{a^2 + 4}{a^2 — 2a + 4} = frac{1}{2 — a} * frac{1}{1} = frac{1}{2 — a}$
9) $frac{x^2 — 12x + 36}{3x + 21} * frac{x^2 — 49}{4x — 24} = frac{(x — 6)^2}{3(x + 7)} * frac{(x — 7)(x + 7)}{4(x — 6)} = frac{x — 6}{3} * frac{x — 7}{4} = frac{(x — 6)(x — 7)}{12}$
10) $frac{3a + 15b}{a^2 — 81b^2} : frac{4a + 20b}{a^2 — 18ab + 81b^2} = frac{3(a + 5b)}{(a — 9b)(a + 9b)} : frac{4(a + 5b)}{(a — 9b)^2} = frac{3(a + 5b)}{(a — 9b)(a + 9b)} * frac{(a — 9b)^2}{4(a + 5b)} = frac{3}{a + 9b} * frac{a — 9b}{4} = frac{3(a — 9b)}{4(a + 9b)}$
159. Упростите выражение:
1) $frac{7a^2}{a^2 — 25} * frac{5 — a}{a}$;
2) $frac{a^3 + b^3}{a^3 — b^3} * frac{b — a}{b + a}$;
3) $frac{a^4 — 1}{a^3 — a} * frac{a}{1 + a^2}$;
4) $frac{a^2 — 8ab}{12b} : frac{8b^2 — ab}{24a}$;
5) $frac{5m^2 — 5n^2}{m^2 + n^2} : frac{15n — 15m}{4m^2 + 4n^2}$;
6) $frac{mn^2 — 36m}{m^3 — 8} : frac{2n + 12}{6m — 12}$;
7) $frac{a^4 — 1}{a^2 — a + 1} : frac{a — 1}{a^3 + 1}$;
8) $frac{4x^2 — 100}{6x} : (2x^2 — 20x + 50)$.
Решение:
1) $frac{7a^2}{a^2 — 25} * frac{5 — a}{a} = frac{7a}{(a — 5)(a + 5)} * frac{5 — a}{1} = -frac{7a}{(5 — a)(a + 5)} * frac{5 — a}{1} = -frac{7a}{a + 5} * frac{1}{1} = -frac{7a}{a + 5}$
2) $frac{a^3 + b^3}{a^3 — b^3} * frac{b — a}{b + a} = frac{(a + b)(a^2 — ab + b^2)}{(a — b)(a^2 + ab + b^2)} * (-frac{a — b}{a + b}) = frac{a^2 — ab + b^2}{a^2 + ab + b^2} * (-frac{1}{1}) = -frac{a^2 — ab + b^2}{a^2 + ab + b^2}$
3) $frac{a^4 — 1}{a^3 — a} * frac{a}{1 + a^2} = frac{(a^2 — 1)(a^2 + 1)}{a(a^2 — 1)} * frac{a}{1 + a^2} = frac{1}{1} * frac{1}{1} = 1$
4) $frac{a^2 — 8ab}{12b} : frac{8b^2 — ab}{24a} = frac{a(a — 8b)}{12b} : frac{b(8b — a)}{24a} = frac{a(a — 8b)}{12b} * frac{24a}{b(8b — a)} = frac{a(a — 8b)}{12b} * (-frac{24a}{b(a — 8b)}) = frac{a}{b} * (-frac{2a}{b}) = -frac{2a^2}{b^2}$
5) $frac{5m^2 — 5n^2}{m^2 + n^2} : frac{15n — 15m}{4m^2 + 4n^2} = frac{5(m^2 — n^2)}{m^2 + n^2} : frac{15(n — m)}{4(m^2 + n^2)} = frac{5(m — n)(m + n)}{m^2 + n^2} : (-frac{15(m — n)}{4(m^2 + n^2)}) = frac{5(m — n)(m + n)}{m^2 + n^2} * (-frac{4(m^2 + n^2)}{15(m — n)}) = frac{m + n}{1} * (-frac{4}{3}) = -frac{4(m + n)}{3}$
6) $frac{mn^2 — 36m}{m^3 — 8} : frac{2n + 12}{6m — 12} = frac{m(n^2 — 36)}{(m — 2)(m^2 + 2m + 4)} : frac{2(n + 6)}{6(m — 2)} = frac{m(n — 6)(n + 6)}{(m — 2)(m^2 + 2m + 4)} * frac{6(m — 2)}{2(n + 6)} = frac{m(n — 6)}{m^2 + 2m + 4} * frac{3}{1} = frac{3m(n — 6)}{m^2 + 2m + 4}$
7) $frac{a^4 — 1}{a^2 — a + 1} : frac{a — 1}{a^3 + 1} = frac{(a^2 — 1)(a^2 + 1)}{a^2 — a + 1} : frac{a — 1}{(a + 1)(a^2 — a + 1)} = frac{(a — 1)(a + 1)(a^2 + 1)}{a^2 — a + 1} * frac{(a + 1)(a^2 — a + 1)}{a — 1} = frac{(a + 1)(a^2 + 1)}{1} * frac{a + 1}{1} = (a + 1)^2(a^2 + 1)$
8) $frac{4x^2 — 100}{6x} : (2x^2 — 20x + 50) = frac{4(x^2 — 25)}{6x} : 2(x^2 — 10x + 25) = frac{2(x — 5)(x + 5)}{3x} : 2(x — 5)^2 = frac{2(x — 5)(x + 5)}{3x} * frac{1}{2(x — 5)^2} = frac{x + 5}{3x} * frac{1}{x — 5} = frac{x + 5}{3x(x — 5)}$
160. Упростите выражение и найдите его значение:
1) $frac{a^2 — 81}{a^2 — 8a} : frac{a — 9}{a^2 — 64}$, если a = −4;
2) $frac{x}{4x^2 — 4y^2} : frac{1}{6x + 6y}$, если x = 4,2, y = −2,8;
3) $(3a^2 — 18a + 27) : frac{3a — 9}{4a}$, если a = 0,5;
4) $frac{a^6 + a^5}{(3a — 3)^2} : frac{a^5 + a^4}{9a^2 — 9a}$, если a = 0,8.
Решение:
1) $frac{a^2 — 81}{a^2 — 8a} : frac{a — 9}{a^2 — 64} = frac{(a — 9)(a + 9)}{a(a — 8)} : frac{a — 9}{(a — 8)(a + 8)} = frac{(a — 9)(a + 9)}{a(a — 8)} * frac{(a — 8)(a + 8)}{a — 9} = frac{a + 9}{a} * frac{a + 8}{1} = frac{(a + 9)(a + 8)}{a}$
при a = −4:
$frac{(a + 9)(a + 8)}{a} = frac{(-4 + 9)(-4 + 8)}{-4} = frac{5 * 4}{-4} = -5$2) $frac{x}{4x^2 — 4y^2} : frac{1}{6x + 6y} = frac{x}{(2x — 2y)(2x + 2y)} : frac{1}{3(2x + 2y)} = frac{x}{(2x — 2y)(2x + 2y)} * frac{3(2x + 2y)}{1} = frac{x}{2x — 2y} * frac{3}{1} = frac{3x}{2(x — y)}$
при x = 4,2, y = −2,8:
$frac{3x}{2(x — y)} = frac{3 * 4,2}{2(4,2 — (-2,8))} = frac{12,6}{2(4,2 + 2,8)} = frac{12,6}{2 * 7} = frac{12,6}{14} = frac{126}{140} = frac{9}{10} = 0,9$3) $(3a^2 — 18a + 27) : frac{3a — 9}{4a} = 3(a^2 — 6a + 9) : frac{3(a — 3)}{4a} = 3(a — 3)^2 * frac{4a}{3(a — 3)} = (a — 3) * frac{4a}{1} = 4a(a — 3)$
при a = 0,5:
4a(a − 3) = 4 * 0,5(0,5 − 3) = 2 * (−2,5) = −54) $frac{a^6 + a^5}{(3a — 3)^2} : frac{a^5 + a^4}{9a^2 — 9a} = frac{a^5(a + 1)}{9(a — 1)^2} : frac{a^4(a + 1)}{9a(a — 1)} = frac{a^5(a + 1)}{9(a — 1)^2} * frac{9a(a — 1)}{a^4(a + 1)} = frac{a}{a — 1} * frac{a}{1} = frac{a^2}{a — 1}$
при a = 0,8:
$frac{a^2}{a — 1} = frac{0,8^2}{0,8 — 1} = frac{0,64}{-0,2} = -frac{64}{20} = -frac{32}{10} = -3,2$