Ответы к странице 43
§6. Тождественные преобразования рациональных выражений
Упражнения
176. Упростите выражение:
1) $(frac{a}{3} + frac{a}{4}) * frac{6}{a^2}$;
2) $frac{a^2b}{a — b} * (frac{1}{b} — frac{1}{a})$;
3) $(1 + frac{a}{b}) : (1 — frac{a}{b})$;
4) $(frac{a^2}{b^2} — frac{2a}{b} + 1) * frac{b}{a — b}$;
5) $frac{a^2 — ab}{b^2 — 1} * frac{b + 1}{a} — frac{a}{b — 1}$;
6) $(frac{5}{m — n} — frac{4}{m + n}) : frac{m + 9n}{m + n}$;
7) $frac{x — 2}{x + 2} * (x — frac{x^2}{x — 2})$;
8) $frac{x^2 + x}{4} : frac{x^2}{4} + frac{x — 1}{x}$;
9) $frac{6c^2}{c^2 — 1} : (frac{1}{c — 1} + 1)$;
10) $(frac{x}{x + y} + frac{y}{x — y}) * frac{x^2 + xy}{x^2 + y^2}$.
Решение:
1) $(frac{a}{3} + frac{a}{4}) * frac{6}{a^2} = frac{4a + 3a}{12} * frac{6}{a^2} = frac{7a}{12} * frac{6}{a^2} = frac{7}{2} * frac{1}{a} = frac{7}{2a}$
2) $frac{a^2b}{a — b} * (frac{1}{b} — frac{1}{a}) = frac{a^2b}{a — b} * frac{a — b}{ab} = frac{a}{1} * frac{1}{1} = a$
3) $(1 + frac{a}{b}) : (1 — frac{a}{b}) = frac{b + a}{b} : frac{b — a}{b} = frac{b + a}{b} * frac{b}{b — a} = frac{b + a}{1} * frac{1}{b — a} = frac{b + a}{b — a}$
4) $(frac{a^2}{b^2} — frac{2a}{b} + 1) * frac{b}{a — b} = frac{a^2 — 2ab + b^2}{b^2} * frac{b}{a — b} = frac{(a — b)^2}{b^2} * frac{b}{a — b} = frac{a — b}{b} * frac{1}{1} = frac{a — b}{b}$
5) $frac{a^2 — ab}{b^2 — 1} * frac{b + 1}{a} — frac{a}{b — 1} = frac{a(a — b)}{(b — 1)(b + 1)} * frac{b + 1}{a} — frac{a}{b — 1} = frac{a — b}{b — 1} * frac{1}{1} — frac{a}{b — 1} = frac{a — b — a}{b — 1} = frac{-b}{b — 1} = frac{b}{1 — b}$
6) $(frac{5}{m — n} — frac{4}{m + n}) : frac{m + 9n}{m + n} = frac{5(m + n) — 4(m — n)}{(m — n)(m + n)} : frac{m + 9n}{m + n} = frac{5m + 5n — 4m + 4n}{(m — n)(m + n)} : frac{m + 9n}{m + n} = frac{m + 9n}{(m — n)(m + n)} * frac{m + n}{m + 9n} = frac{1}{m — n} * frac{1}{1} = frac{1}{m — n}$
7) $frac{x — 2}{x + 2} * (x — frac{x^2}{x — 2}) = frac{x — 2}{x + 2} * frac{x(x — 2) — x^2}{x — 2} = frac{x — 2}{x + 2} * frac{x^2 — 2x — x^2}{x — 2} = frac{1}{x + 2} * frac{-2x}{1} = frac{-2x}{x + 2} = -frac{2x}{x + 2}$
8) $frac{x^2 + x}{4} : frac{x^2}{4} + frac{x — 1}{x} = frac{x(x + 1)}{4} : frac{x^2}{4} + frac{x — 1}{x} = frac{x(x + 1)}{4} * frac{4}{x^2} + frac{x — 1}{x} = frac{x + 1}{1} * frac{1}{x} + frac{x — 1}{x} = frac{x + 1}{x} + frac{x — 1}{x} = frac{x + 1 + x — 1}{x} = frac{2x}{x} = 2$
9) $frac{6c^2}{c^2 — 1} : (frac{1}{c — 1} + 1) = frac{6c^2}{(c — 1)(c + 1)} : frac{1 + c — 1}{c — 1} = frac{6c^2}{(c — 1)(c + 1)} : frac{c}{c — 1} = frac{6c^2}{(c — 1)(c + 1)} * frac{c — 1}{c} = frac{6c}{c+ 1} * frac{1}{1} = frac{6c}{c + 1}$
10) $(frac{x}{x + y} + frac{y}{x — y}) * frac{x^2 + xy}{x^2 + y^2} = frac{x(x — y) + y(x + y)}{(x + y)(x — y)} * frac{x(x + y)}{x^2 + y^2} = frac{x^2 — xy + xy + y^2}{x — y} * frac{x}{x^2 + y^2} = frac{x^2 + y^2}{x — y} * frac{x}{x^2 + y^2} = frac{1}{x — y} * frac{x}{1} = frac{x}{x — y}$