Ответы к странице 44
177. Упростите выражение:
1) $(x + frac{x}{y}) : (x — frac{x}{y})$;
2) $(frac{a}{b} + frac{a + b}{a — b}) * frac{ab^2}{a^2 + b^2}$;
3) $(frac{m}{m — 1} — 1) : frac{m}{mn — n}$;
4) $(frac{a}{b} — frac{b}{a}) * frac{4ab}{a — b}$;
5) $frac{a}{b} — frac{a^2 — b^2}{b^2} : frac{a + b}{b}$;
6) $frac{7x}{x + 2} — frac{x — 8}{3x + 6} * frac{84}{x^2 — 8x}$;
7) $(a — frac{9a — 9}{a + 3}) : frac{a^2 — 3a}{a + 3}$;
8) $(frac{a}{a + 2} — frac{8}{a + 8}) * frac{a^2 + 8a}{a — 4}$.
Решение:
1) $(x + frac{x}{y}) : (x — frac{x}{y}) = frac{xy + x}{y} : frac{xy — x}{y} = frac{x(y + 1)}{y} : frac{x(y — 1)}{y} = frac{x(y + 1)}{y} * frac{y}{x(y — 1)} = frac{y + 1}{1} * frac{1}{y — 1} = frac{y + 1}{y — 1}$
2) $(frac{a}{b} + frac{a + b}{a — b}) * frac{ab^2}{a^2 + b^2} = frac{a(a — b) + b(a + b)}{b(a — b)} * frac{ab^2}{a^2 + b^2} = frac{a^2 — ab + ab + b^2}{b(a — b)} * frac{ab^2}{a^2 + b^2} = frac{a^2 + b^2}{b(a — b)} * frac{ab^2}{a^2 + b^2} = frac{1}{a — b} * frac{ab}{1} = frac{ab}{a — b}$
3) $(frac{m}{m — 1} — 1) : frac{m}{mn — n} = frac{m — (m — 1)}{m — 1} : frac{m}{n(m — 1)} = frac{m — m + 1}{m — 1} : frac{m}{n(m — 1)} = frac{1}{m — 1} * frac{n(m — 1)}{m} = frac{1}{1} * frac{n}{m} = frac{n}{m}$
4) $(frac{a}{b} — frac{b}{a}) * frac{4ab}{a — b} = frac{a * a — b * b}{ab} * frac{4ab}{a — b} = frac{a^2 — b^2}{1} * frac{4}{a — b} = frac{(a — b)(a + b)}{1} * frac{4}{a — b} = frac{a + b}{1} * frac{4}{1} = 4(a + b)$
5) $frac{a}{b} — frac{a^2 — b^2}{b^2} : frac{a + b}{b} = frac{a}{b} — frac{(a — b)(a + b)}{b^2} * frac{b}{a + b} = frac{a}{b} — frac{a — b}{b} * frac{1}{1} = frac{a — (a — b)}{b} = frac{a — a + b}{b} = frac{b}{b} = 1$
6) $frac{7x}{x + 2} — frac{x — 8}{3x + 6} * frac{84}{x^2 — 8x} = frac{7x}{x + 2} — frac{x — 8}{3(x + 2)} * frac{84}{x(x — 8)} = frac{7x}{x + 2} — frac{1}{x + 2} * frac{28}{x} = frac{7x}{x + 2} — frac{28}{x(x + 2)} = frac{7x * x — 28}{x(x + 2)} = frac{7x^2 — 28}{x(x + 2)} = frac{7(x^2 — 4)}{x(x + 2)} = frac{7(x — 2)(x + 2)}{x(x + 2)} = frac{7(x — 2)}{x}$
7) $(a — frac{9a — 9}{a + 3}) : frac{a^2 — 3a}{a + 3} = frac{a(a + 3) — (9a — 9)}{a + 3} : frac{a(a — 3)}{a + 3} = frac{a^2 + 3a — 9a + 9}{a + 3} * frac{a + 3}{a(a — 3)} = frac{a^2 — 6a + 9}{1} * frac{1}{a(a — 3)} = frac{(a — 3)^2}{a(a — 3)} = frac{a — 3}{a}$
8) $(frac{a}{a + 2} — frac{8}{a + 8}) * frac{a^2 + 8a}{a — 4} = frac{a(a + 8) — 8(a + 2)}{(a + 2)(a + 8)} * frac{a(a + 8)}{a — 4} = frac{a^2 + 8a — 8a — 16}{a + 2} * frac{a}{a — 4} = frac{a^2 — 16}{a + 2} * frac{a}{a — 4} = frac{(a — 4)(a + 4)}{a + 2} * frac{a}{a — 4} = frac{a + 4}{a + 2} * frac{a}{1} = frac{a(a + 4)}{a + 2}$
178. Выполните действия:
1) $frac{a + 2}{a^2 — 2a + 1} : frac{a^2 — 4}{3a — 3} — frac{3}{a — 2}$;
2) $frac{b^2 + 3b}{b^3 + 9b} * (frac{b — 3}{b + 3} + frac{b + 3}{b — 3})$;
3) $(frac{3c + 1}{3c — 1} — frac{3c — 1}{3c + 1}) : frac{2c}{6c + 2}$;
4) $(frac{1}{a^2 — 4ab + 4b^2} — frac{1}{4b^2 — a^2}) : frac{2a}{a^2 — 4b^2}$;
5) $(frac{a — 8}{a^2 — 10a + 25} — frac{a}{a^2 — 25}) : frac{a — 20}{(a — 5)^2}$;
6) $(frac{2x + 1}{x^2 + 6x + 9} — frac{x — 2}{x^2 + 3x}) : frac{x^2 + 6}{x^3 — 9x}$.
Решение:
1) $frac{a + 2}{a^2 — 2a + 1} : frac{a^2 — 4}{3a — 3} — frac{3}{a — 2} = frac{a + 2}{(a — 1)^2} : frac{(a — 2)(a + 2)}{3(a — 1)} — frac{3}{a — 2} = frac{a + 2}{(a — 1)^2} * frac{3(a — 1)}{(a — 2)(a + 2)} — frac{3}{a — 2} = frac{1}{a — 1} * frac{3}{a — 2} — frac{3}{a — 2} = frac{3}{(a — 1)(a — 2)} — frac{3}{a — 2} = frac{3 — 3(a — 1)}{(a — 1)(a — 2)} = frac{3 — 3a + 3}{(a — 1)(a — 2)} = frac{6 — 3a}{(a — 1)(a — 2)} = frac{3(2 — a)}{(a — 1)(a — 2)} = -frac{3(a — 2)}{(a — 1)(a — 2)} = -frac{3}{a — 1} = frac{3}{1 — a}$
2) $frac{b^2 + 3b}{b^3 + 9b} * (frac{b — 3}{b + 3} + frac{b + 3}{b — 3}) = frac{b(b + 3)}{b(b^2 + 9)} * frac{(b — 3)^2 + (b + 3)^2}{(b — 3)(b + 3)} = frac{b + 3}{b^2 + 9} * frac{b^2 — 6b + 9 + b^2 + 6b + 9}{(b — 3)(b + 3)} = frac{1}{b^2 + 9} * frac{2b^2 + 18}{b — 3} = frac{1}{b^2 + 9} * frac{2(b^2 + 9)}{b — 3} = frac{1}{1} * frac{2}{b — 3} = frac{2}{b — 3}$
3) $(frac{3c + 1}{3c — 1} — frac{3c — 1}{3c + 1}) : frac{2c}{6c + 2} = frac{(3c + 1)^2 — (3c — 1)^2}{(3c — 1)(3c + 1)} : frac{2c}{2(3c + 1)} = frac{9c^2 + 6c + 1 — (9c^2 — 6c + 1)}{(3c — 1)(3c + 1)} * frac{2(3c + 1)}{2c} = frac{12c}{3c — 1} * frac{2}{2c} = frac{6}{3c — 1} * frac{2}{1} = frac{12}{3c — 1}$
4) $(frac{1}{a^2 — 4ab + 4b^2} — frac{1}{4b^2 — a^2}) : frac{2a}{a^2 — 4b^2} = (frac{1}{(a — 2b)^2} — frac{1}{(2b — a)(2b + a)}) : frac{2a}{(a — 2b)(a + 2b)} = (frac{1}{(2b — a)^2} — frac{1}{(2b — a)(2b + a)}) : frac{2a}{(a — 2b)(a + 2b)} = frac{2b + a — (2b — a)}{(2b — a)^2(2b + a)} * frac{(a — 2b)(a + 2b)}{2a} = frac{2b + a — 2b + a}{(a — 2b)^2(a + 2b)} * frac{(a — 2b)(a + 2b)}{2a} = frac{2a}{(a — 2b)^2(a + 2b)} * frac{(a — 2b)(a + 2b)}{2a} = frac{1}{a — 2b} * frac{1}{1} = frac{1}{a — 2b}$
5) $(frac{a — 8}{a^2 — 10a + 25} — frac{a}{a^2 — 25}) : frac{a — 20}{(a — 5)^2} = (frac{a — 8}{(a — 5)^2} — frac{a}{(a — 5)(a + 5)}) : frac{a — 20}{(a — 5)^2} = frac{(a — 8)(a + 5) — a(a — 5)}{(a — 5)^2(a + 5)} * frac{(a — 5)^2}{a — 20} = frac{a^2 — 8a + 5a — 40 — a^2 + 5a}{a + 5} * frac{1}{a — 20} = frac{2a — 40}{a + 5} * frac{1}{a — 20} = frac{2(a — 20)}{a + 5} * frac{1}{a — 20} = frac{2}{a + 5}$
6) $(frac{2x + 1}{x^2 + 6x + 9} — frac{x — 2}{x^2 + 3x}) : frac{x^2 + 6}{x^3 — 9x} = (frac{2x + 1}{(x + 3)^2} — frac{x — 2}{x(x + 3)}) : frac{x^2 + 6}{x(x^2 — 9)} = frac{x(2x + 1) — (x — 2)(x + 3)}{x(x + 3)^2} : frac{x^2 + 6}{x(x — 3)(x + 3)} = frac{2x^2 + x — (x^2 — 2x + 3x — 6)}{x(x + 3)^2} * frac{x(x — 3)(x + 3)}{x^2 + 6} = frac{2x^2 + x — x^2 + 2x — 3x + 6}{x(x + 3)} * frac{x(x — 3)}{x^2 + 6} = frac{x^2 + 6}{x(x + 3)} * frac{x(x — 3)}{x^2 + 6} = frac{1}{x + 3} * frac{x — 3}{1} = frac{x — 3}{x + 3}$
179. Выполните действия:
1) $frac{b + 4}{b^2 — 6b + 9} : frac{b^2 — 16}{2b — 6} — frac{2}{b — 4}$;
2) $(frac{m — 1}{m + 1} — frac{m + 1}{m — 1}) : frac{4m}{m^2 — 1}$;
3) $frac{2x}{x^2 — y^2} : (frac{1}{x^2 + 2xy + y^2} — frac{1}{y^2 — x^2})$;
4) $(frac{2a — 3}{a^2 — 4a + 4} — frac{a — 1}{a^2 — 2a}) : frac{a^2 — 2}{a^3 — 4a}$.
Решение:
1) $frac{b + 4}{b^2 — 6b + 9} : frac{b^2 — 16}{2b — 6} — frac{2}{b — 4} = frac{b + 4}{(b — 3)^2} : frac{(b — 4)(b + 4)}{2(b — 3)} — frac{2}{b — 4} = frac{b + 4}{(b — 3)^2} * frac{2(b — 3)}{(b — 4)(b + 4)} — frac{2}{b — 4} = frac{1}{b — 3} * frac{2}{b — 4} — frac{2}{b — 4} = frac{2}{b — 4}(frac{1}{b — 3} — 1) = frac{2}{b — 4} * frac{1 — (b — 3)}{b — 3} = frac{2}{b — 4} * frac{1 — b + 3}{b — 3} = frac{2}{b — 4} * frac{4 — b}{b — 3} = frac{2}{b — 4} * frac{b — 4}{3 — b} = frac{2}{1} * frac{1}{3 — b} = frac{2}{3 — b}$
2) $(frac{m — 1}{m + 1} — frac{m + 1}{m — 1}) : frac{4m}{m^2 — 1} = frac{(m — 1)^2 — (m + 1)^2}{(m — 1)(m + 1)} : frac{4m}{m^2 — 1} = frac{m^2 — 2m + 1 — (m^2 + 2m + 1)}{m^2 — 1} * frac{m^2 — 1}{4m} = frac{m^2 — 2m + 1 — m^2 — 2m — 1}{1} * frac{1}{4m} = frac{-4m}{4m} = -1$
3) $frac{2x}{x^2 — y^2} : (frac{1}{x^2 + 2xy + y^2} — frac{1}{y^2 — x^2}) = frac{2x}{x^2 — y^2} : (frac{1}{(x + y)^2} + frac{1}{x^2 — y^2}) = frac{2x}{x^2 — y^2} : (frac{1}{(x + y)^2} + frac{1}{(x — y)(x + y)}) = frac{2x}{x^2 — y^2} : frac{x — y + x + y}{(x + y)^2(x — y)} = frac{2x}{x^2 — y^2} : frac{2x}{(x + y)^2(x — y)} = frac{2x}{(x — y)(x + y)} * frac{(x + y)^2(x — y)}{2x} = frac{1}{1} * frac{x + y}{1} = x + y$
4) $(frac{2a — 3}{a^2 — 4a + 4} — frac{a — 1}{a^2 — 2a}) : frac{a^2 — 2}{a^3 — 4a} = (frac{2a — 3}{(a — 2)^2} — frac{a — 1}{a(a — 2)}) : frac{a^2 — 2}{a(a^2 — 4)} = frac{a(2a — 3) — (a — 1)(a — 2)}{a(a — 2)^2} : frac{a^2 — 2}{a(a — 2)(a + 2)} = frac{2a^2 — 3a — (a^2 — a — 2a + 2)}{a(a — 2)^2} * frac{a(a — 2)(a + 2)}{a^2 — 2} = frac{2a^2 — 3a — a^2 + a + 2a — 2}{a — 2} * frac{a + 2}{a^2 — 2} = frac{a^2 — 2}{a — 2} * frac{a + 2}{a^2 — 2} = frac{1}{a — 2} * frac{a + 2}{1} = frac{a + 2}{a — 2}$
180. Упростите выражение:
1) $(frac{15}{x — 7} — x — 7) * frac{7 — x}{x^2 — 16x + 64}$;
2) $(a — frac{5a — 16}{a — 3}) : (2a — frac{2a}{a — 3})$;
3) $(frac{1}{a} + frac{2}{b} + frac{a}{b^2}) * frac{ab}{a^2 — b^2} + frac{2}{b — a}$;
4) $(frac{a}{a — 1} — frac{a}{a + 1} — frac{a^2 + 1}{1 — a^2}) : frac{a^2 + a}{(a — 1)^2}$;
5) $(frac{x + 2y}{x — 2y} — frac{x — 2y}{x + 2y} — frac{16y^2}{x^2 — 4y^2}) : frac{4y}{x + 2y}$;
6) $(frac{3a — 8}{a^2 — 2a + 4} + frac{1}{a + 2} — frac{4a — 28}{a^3 + 8}) * frac{a^2 — 4}{4}$.
Решение:
1) $(frac{15}{x — 7} — x — 7) * frac{7 — x}{x^2 — 16x + 64} = frac{15 — x(x — 7) — 7(x — 7))}{x — 7} * frac{7 — x}{(x — 8)^2} = frac{15 — x^2 + 7x — 7x + 49}{x — 7} * frac{7 — x}{(x — 8)^2} = frac{64 — x^2}{x — 7} * frac{7 — x}{(x — 8)^2} = frac{x^2 — 64}{7 — x} * frac{7 — x}{(x — 8)^2} = frac{(x — 8)(x + 8)}{1} * frac{1}{(x — 8)^2} = frac{x + 8}{x — 8}$
2) $(a — frac{5a — 16}{a — 3}) : (2a — frac{2a}{a — 3}) = frac{a(a — 3) — (5a — 16)}{a — 3} : frac{2a(a — 3) — 2a}{a — 3} = frac{a^2 — 3a — 5a + 16}{a — 3} : frac{2a^2 — 6a — 2a}{a — 3} = frac{a^2 — 8a + 16}{a — 3} : frac{2a^2 — 8a}{a — 3} = frac{(a — 4)^2}{a — 3} : frac{2a(a — 4)}{a — 3} = frac{(a — 4)^2}{a — 3} * frac{a — 3}{2a(a — 4)} = frac{a — 4}{1} * frac{1}{2a} = frac{a — 4}{2a}$
3) $(frac{1}{a} + frac{2}{b} + frac{a}{b^2}) * frac{ab}{a^2 — b^2} + frac{2}{b — a} = frac{b^2 + 2ab + a^2}{ab^2} * frac{ab}{(a — b)(a + b)} + frac{2}{b — a} = frac{(a + b)^2}{ab^2} * frac{ab}{(a — b)(a + b)} + frac{2}{b — a} = frac{a + b}{b} * frac{1}{a — b} + frac{2}{b — a} = frac{a + b}{b(a — b)} — frac{2}{a — b} = frac{a + b — 2b}{b(a — b)} = frac{a — b}{b(a — b)} = frac{1}{b}$
4) $(frac{a}{a — 1} — frac{a}{a + 1} — frac{a^2 + 1}{1 — a^2}) : frac{a^2 + a}{(a — 1)^2} = (frac{a}{a — 1} — frac{a}{a + 1} + frac{a^2 + 1}{a^2 — 1}) : frac{a^2 + a}{(a — 1)^2} = (frac{a}{a — 1} — frac{a}{a + 1} + frac{a^2 + 1}{(a — 1)(a + 1)}) : frac{a^2 + a}{(a — 1)^2} = frac{a(a + 1) — a(a — 1) + a^2 + 1}{(a — 1)(a + 1)} : frac{a(a + 1)}{(a — 1)^2} = frac{a^2 + a — a^2 + a + a^2 + 1}{(a — 1)(a + 1)} : frac{a(a + 1)}{(a — 1)^2} = frac{a^2 + 2a + 1}{(a — 1)(a + 1)} : frac{a(a + 1)}{(a — 1)^2} = frac{(a + 1)^2}{(a — 1)(a + 1)} * frac{(a — 1)^2}{a(a + 1)} = frac{1}{1} * frac{a — 1}{a} = frac{a — 1}{a}$
5) $(frac{x + 2y}{x — 2y} — frac{x — 2y}{x + 2y} — frac{16y^2}{x^2 — 4y^2}) : frac{4y}{x + 2y} = (frac{x + 2y}{x — 2y} — frac{x — 2y}{x + 2y} — frac{16y^2}{(x — 2y)(x + 2y)}) : frac{4y}{x + 2y} = frac{(x + 2y)^2 — (x — 2y)^2 — 16y^2}{(x — 2y)(x + 2y)} * frac{x + 2y}{4y} = frac{(x + 2y — (x — 2y))(x + 2y + x — 2y) — 16y^2}{x — 2y} * frac{1}{4y} = frac{2x(x + 2y — x + 2y) — 16y^2}{x — 2y} * frac{1}{4y} = frac{2x * 4y — 16y^2}{x — 2y} * frac{1}{4y} = frac{4y(2x — 4y)}{x — 2y} * frac{1}{4y} = frac{2x — 4y}{x — 2y} = frac{2(x — 2y)}{x — 2y} = 2$
6) $(frac{3a — 8}{a^2 — 2a + 4} + frac{1}{a + 2} — frac{4a — 28}{a^3 + 8}) * frac{a^2 — 4}{4} = (frac{3a — 8}{a^2 — 2a + 4} + frac{1}{a + 2} — frac{4a — 28}{(a + 2)(a^2 — 2a + 4)}) * frac{a^2 — 4}{4} = frac{(3a — 8)(a + 2) + a^2 — 2a + 4 — (4a — 28)}{(a + 2)(a^2 — 2a + 4)} * frac{a^2 — 4}{4} = frac{3a^2 — 8a + 6a — 16 + a^2 — 2a + 4 — 4a + 28}{(a + 2)(a^2 — 2a + 4)} * frac{a^2 — 4}{4} = frac{4a^2 — 8a + 16}{(a + 2)(a^2 — 2a + 4)} * frac{(a — 2)(a + 2)}{4} = frac{4(a^2 — 2a + 4)}{a^2 — 2a + 4} * frac{a — 2}{4} = frac{1}{1} * frac{a — 2}{1} = a — 2$