Ответы к странице 46
186. Упростите выражение:
1) $frac{a — frac{a^2}{a + 1}}{a — frac{a}{a + 1}}$;
2) $frac{a — frac{6a — 9}{a}}{1 — frac{3}{a}}$;
3) $frac{1}{1 — frac{1}{1 + frac{1}{a}}}$;
4) $frac{frac{2a — b}{b} + 1}{frac{2a + b}{b} — 1} + frac{3 — frac{b}{a}}{frac{3a}{b} — 1}$.
Решение:
1) $frac{a — frac{a^2}{a + 1}}{a — frac{a}{a + 1}} = frac{frac{a(a + 1) — a^2}{a + 1}}{frac{a(a + 1) — a}{a + 1}} = frac{frac{a^2 + a — a^2}{a + 1}}{frac{a^2 + a — a}{a + 1}} = frac{frac{a}{a + 1}}{frac{a^2}{a + 1}} = frac{a}{a + 1} * frac{a + 1}{a^2} = frac{1}{1} * frac{1}{a} = frac{1}{a}$
2) $frac{a — frac{6a — 9}{a}}{1 — frac{3}{a}} = frac{frac{a^2 — (6a — 9)}{a}}{frac{a — 3}{a}} = frac{frac{a^2 — 6a + 9}{a}}{frac{a — 3}{a}} = frac{frac{(a — 3)^2}{a}}{frac{a — 3}{a}} = frac{(a — 3)^2}{a} * frac{a}{a — 3} = frac{a — 3}{1} * frac{1}{1} = a — 3$
3) $frac{1}{1 — frac{1}{1 + frac{1}{a}}} = frac{1}{1 — frac{1}{frac{a + 1}{a}}} = frac{1}{1 — frac{a}{a + 1}} = frac{1}{frac{a + 1 — a}{a + 1}} = frac{1}{frac{1}{a + 1}} = a + 1$
4) $frac{frac{2a — b}{b} + 1}{frac{2a + b}{b} — 1} + frac{3 — frac{b}{a}}{frac{3a}{b} — 1} = frac{frac{2a — b + b}{b}}{frac{2a + b — b}{b}} + frac{frac{3a — b}{a}}{frac{3a — b}{b}} = frac{frac{2a}{b}}{frac{2a}{b}} + frac{frac{3a — b}{a}}{frac{3a — b}{b}} = 1 +frac{3a — b}{a} * frac{b}{3a — b} = 1 + frac{b}{a} = frac{a + b}{a}$
187. Упростите выражение:
1) $frac{frac{a — b}{a + b} + frac{b}{a}}{frac{a}{a + b} — frac{a — b}{a}}$;
2) $frac{1}{1 — frac{1}{1 — frac{1}{a + 1}}}$.
Решение:
1) $frac{frac{a — b}{a + b} + frac{b}{a}}{frac{a}{a + b} — frac{a — b}{a}} = frac{frac{a(a — b) + b(a + b)}{a(a + b)}}{frac{a^2 — (a — b)(a + b)}{a(a + b)}} = frac{a^2 — ab + ab + b^2}{a^2 — (a^2 — b^2)} = frac{a^2 + b^2}{a^2 — a^2 + b^2} = frac{a^2 + b^2}{b^2}$
2) $frac{1}{1 — frac{1}{1 — frac{1}{a + 1}}} = frac{1}{1 — frac{1}{frac{a + 1 — 1}{a + 1}}} = frac{1}{1 — frac{1}{frac{a}{a + 1}}} = frac{1}{1 — frac{a + 1}{a}} = frac{1}{frac{a — (a + 1)}{a}} = frac{1}{frac{a — a — 1}{a}} = frac{1}{frac{-1}{a}} = frac{a}{-1} = -a$
188. Упростите выражение:
1) $(frac{a^2}{b^3 — ab^2} + frac{a — b}{b^2} — frac{1}{b}) : (frac{a + b}{b — a} — frac{b — a}{a + b} + frac{6a^2}{a^2 — b^2})$;
2) $(frac{a + 2}{4a^3 — 4a^2 + a} — frac{2 — a}{1 — 8a^3} * frac{4a^2 + 2a + 1}{2a^2 + a}) : (frac{1}{1 — 2a})^2 — frac{8a — 1}{2a^2 + a}$.
Решение:
1) $(frac{a^2}{b^3 — ab^2} + frac{a — b}{b^2} — frac{1}{b}) : (frac{a + b}{b — a} — frac{b — a}{a + b} + frac{6a^2}{a^2 — b^2}) = (frac{a^2}{b^2(b — a)} + frac{a — b}{b^2} — frac{1}{b}) : (frac{a + b}{b — a} — frac{b — a}{b + a} — frac{6a^2}{b^2 — a^2}) = frac{a^2 + (a — b)(b — a) — b(b — a)}{b^2(b — a)} : (frac{a + b}{b — a} — frac{b — a}{b + a} — frac{6a^2}{(b — a)(b + a)}) = frac{a^2 + ab — b^2 — a^2 + ab — b^2 + ab}{b^2(b — a)} : frac{(a + b)(a + b) — (b — a)(b — a) — 6a^2}{(b — a)(b + a)} = frac{3ab — 2b^2}{b^2(b — a)} : frac{a^2 + 2ab + b^2 — (b^2 — 2ab + a^2) — 6a^2}{(b — a)(b + a)} = frac{b(3a — 2b)}{b^2(b — a)} : frac{a^2 + 2ab + b^2 — b^2 + 2ab — a^2 — 6a^2}{(b — a)(b + a)} = frac{3a — 2b}{b(b — a)} : frac{4ab — 6a^2}{(b — a)(b + a)} = frac{3a — 2b}{b(b — a)} : frac{2a(2b — 3a)}{(b — a)(b + a)} = frac{3a — 2b}{b(b — a)} * frac{(b — a)(b + a)}{2a(2b — 3a)} = frac{3a — 2b}{b} * (-frac{b + a}{2a(3a — 2b)}) = frac{1}{b} * (-frac{b + a}{2a}) = -frac{a + b}{2ab}$
2) $(frac{a + 2}{4a^3 — 4a^2 + a} — frac{2 — a}{1 — 8a^3} * frac{4a^2 + 2a + 1}{2a^2 + a}) : (frac{1}{1 — 2a})^2 — frac{8a — 1}{2a^2 + a} = (frac{a + 2}{a(4a^2 — 4a + 1)} + frac{2 — a}{8a^3 — 1} * frac{4a^2 + 2a + 1}{a(2a + 1)}) : (frac{1}{1 — 2a})^2 — frac{8a — 1}{a(2a + 1)} = (frac{a + 2}{a(4a^2 — 4a + 1)} + frac{2 — a}{(2a — 1)(4a^2 + 2a + 1)} * frac{4a^2 + 2a + 1}{a(2a + 1)}) : frac{1}{(1 — 2a)^2} — frac{8a — 1}{a(2a + 1)} = (frac{a + 2}{a(4a^2 — 4a + 1)} + frac{2 — a}{2a — 1} * frac{1}{a(2a + 1)}) : frac{1}{(1 — 2a)^2} — frac{8a — 1}{a(2a + 1)} = (frac{a + 2}{a(2a — 1)^2} + frac{2 — a}{a(2a — 1)(2a + 1)}) : frac{1}{(1 — 2a)^2} — frac{8a — 1}{a(2a + 1)} = frac{(a + 2)(2a + 1) + (2 — a)(2a — 1)}{a(2a — 1)^2(2a + 1)} * frac{(1 — 2a)^2}{1} — frac{8a — 1}{a(2a + 1)} = frac{2a^2 + 4a + a + 2 + 4a — 2a^2 — 2 + a}{a(2a + 1)} — frac{8a — 1}{a(2a + 1)} = frac{10a}{a(2a + 1)} — frac{8a — 1}{a(2a + 1)} = frac{10a — (8a — 1)}{a(2a + 1)} = frac{10a — 8a + 1}{a(2a + 1)} = frac{2a + 1}{a(2a + 1)} = frac{1}{a}$
189. Упростите выражение:
$(frac{18y^2 + 3y}{27y^3 — 1} — frac{3y + 1}{9y^2 + 3y + 1}) : (1 — frac{3y — 1}{y} — frac{5 — 6y}{3y — 1})$.
Решение:
$(frac{18y^2 + 3y}{27y^3 — 1} — frac{3y + 1}{9y^2 + 3y + 1}) : (1 — frac{3y — 1}{y} — frac{5 — 6y}{3y — 1}) = (frac{18y^2 + 3y}{(3y — 1)(9y^2 + 3y + 1)} — frac{3y + 1}{9y^2 + 3y + 1}) : frac{y(3y — 1) — (3y — 1)^2 — y(5 — 6y)}{y(3y — 1)} = frac{18y^2 + 3y — (3y — 1)(3y + 1)}{(3y — 1)(9y^2 + 3y + 1)} : frac{3y^2 — y — (9y^2 — 6y + 1) — 5y + 6y^2}{y(3y — 1)} = frac{18y^2 + 3y — (9y^2 — 1)}{(3y — 1)(9y^2 + 3y + 1)} : frac{3y^2 — y — 9y^2 + 6y — 1 — 5y + 6y^2}{y(3y — 1)} = frac{18y^2 + 3y — 9y^2 + 1}{(3y — 1)(9y^2 + 3y + 1)} : frac{-1}{y(3y — 1)} = frac{9y^2 + 3y + 1}{(3y — 1)(9y^2 + 3y + 1)} * (-frac{y(3y — 1)}{1}) = frac{1}{1} * (-frac{y}{1}) = -y$
190. Докажите тождество:
1) $frac{16}{(a — 2)^4} : (frac{1}{(a — 2)^2} — frac{2}{(a^2 — 4)} + frac{1}{(a + 2)^2}) — frac{8a}{(a — 2)^2} = 1$;
2) $frac{a + 11}{a + 9} — (frac{a + 5}{a^2 — 81} + frac{a + 7}{a^2 — 18a + 81}) : (frac{a + 3}{a — 9})^2 = 1$.
Решение:
1) $frac{16}{(a — 2)^4} : (frac{1}{(a — 2)^2} — frac{2}{(a^2 — 4)} + frac{1}{(a + 2)^2}) — frac{8a}{(a — 2)^2} = 1$
$frac{16}{(a — 2)^4} : (frac{1}{(a — 2)^2} — frac{2}{(a — 2)(a + 2)} + frac{1}{(a + 2)^2}) — frac{8a}{(a — 2)^2} = 1$
$frac{16}{(a — 2)^4} : frac{(a + 2)^2 — 2(a — 2)(a + 2) + (a — 2)^2}{(a — 2)^2(a + 2)^2} — frac{8a}{(a — 2)^2} = 1$
$frac{16}{(a — 2)^4} : frac{(a + 2 — (a — 2))^2}{(a — 2)^2(a + 2)^2} — frac{8a}{(a — 2)^2} = 1$
$frac{16}{(a — 2)^4} : frac{(a + 2 — a + 2)^2}{(a — 2)^2(a + 2)^2} — frac{8a}{(a — 2)^2} = 1$
$frac{16}{(a — 2)^4} : frac{4^2}{(a — 2)^2(a + 2)^2} — frac{8a}{(a — 2)^2} = 1$
$frac{16}{(a — 2)^4} * frac{(a — 2)^2(a + 2)^2}{16} — frac{8a}{(a — 2)^2} = 1$
$frac{1}{(a — 2)^2} * frac{(a + 2)^2}{1} — frac{8a}{(a — 2)^2} = 1$
$frac{(a + 2)^2 — 8a}{(a — 2)^2} = 1$
$frac{a^2 + 4a + 4 — 8a}{(a — 2)^2} = 1$
$frac{a^2 — 4a + 4}{(a — 2)^2} = 1$
$frac{(a — 2)^2}{(a — 2)^2} = 1$
1 = 12) $frac{a + 11}{a + 9} — (frac{a + 5}{a^2 — 81} + frac{a + 7}{a^2 — 18a + 81}) : (frac{a + 3}{a — 9})^2 = 1$
$frac{a + 11}{a + 9} — (frac{a + 5}{(a — 9)(a + 9)} + frac{a + 7}{(a — 9)^2}) : frac{(a + 3)^2}{(a — 9)^2} = 1$
$frac{a + 11}{a + 9} — frac{(a + 5)(a — 9) + (a + 7)(a + 9)}{(a — 9)^2(a + 9)} * frac{(a — 9)^2}{(a + 3)^2} = 1$
$frac{a + 11}{a + 9} — frac{a^2 + 5a — 9a — 45 + a^2 + 7a + 9a + 63}{a + 9} * frac{1}{(a + 3)^2} = 1$
$frac{a + 11}{a + 9} — frac{2a^2 + 12a + 18}{a + 9} * frac{1}{(a + 3)^2} = 1$
$frac{a + 11}{a + 9} — frac{2(a^2 + 6a + 9)}{a + 9} * frac{1}{(a + 3)^2} = 1$
$frac{a + 11}{a + 9} — frac{2(a + 3)^2}{a + 9} * frac{1}{(a + 3)^2} = 1$
$frac{a + 11}{a + 9} — frac{2}{a + 9} = 1$
$frac{a + 11 — 2}{a + 9} = 1$
$frac{a + 9}{a + 9} = 1$
1 = 1
191. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение
$frac{b^2 + 9}{3b^2 — b^3} + (frac{b + 3}{b — 3})^2 * (frac{1}{b — 3} + frac{6}{9 — b^2} — frac{3}{b^2 + 3b})$
принимает положительные значения.
Решение:
$frac{b^2 + 9}{3b^2 — b^3} + (frac{b + 3}{b — 3})^2 * (frac{1}{b — 3} + frac{6}{9 — b^2} — frac{3}{b^2 + 3b}) = frac{b^2 + 9}{b^2(3 — b)} + frac{(b + 3)^2}{(b — 3)^2} * (frac{1}{b — 3} — frac{6}{b^2 — 9} — frac{3}{b(b + 3)}) = frac{b^2 + 9}{b^2(3 — b)} + frac{(b + 3)^2}{(b — 3)^2} * (frac{1}{b — 3} — frac{6}{(b — 3)(b + 3)} — frac{3}{b(b + 3)}) = frac{b^2 + 9}{b^2(3 — b)} + frac{(b + 3)^2}{(b — 3)^2} * frac{b(b + 3) — 6b — 3(b — 3)}{b(b — 3)(b + 3)} = frac{b^2 + 9}{b^2(3 — b)} + frac{(b + 3)^2}{(b — 3)^2} * frac{b^2 + 3b — 6b — 3b + 9}{b(b — 3)(b + 3)} = frac{b^2 + 9}{b^2(3 — b)} + frac{(b + 3)^2}{(b — 3)^2} * frac{b^2 — 6b + 9}{b(b — 3)(b + 3)} = frac{b^2 + 9}{b^2(3 — b)} + frac{(b + 3)^2}{(b — 3)^2} * frac{(b — 3)^2}{b(b — 3)(b + 3)} = frac{b^2 + 9}{b^2(3 — b)} + frac{b + 3}{1} * frac{1}{b(b — 3)} = frac{b^2 + 9}{b^2(3 — b)} + frac{b + 3}{b(b — 3)} = frac{b^2 + 9}{b^2(3 — b)} — frac{b + 3}{b(3 — b)} = frac{b^2 + 9 — b(b + 3)}{b^2(3 — b)} = frac{b^2 + 9 — b^2 — 3b}{b^2(3 — b)} = frac{9 — 3b}{b^2(3 — b)} = frac{3(3 — b)}{b^2(3 — b)} = frac{3}{b^2}$
Ответ: выражение принимает положительные значения при любом b, так как 3 > 0 и $b^2 > 0$, так как квадрат любого числа больше или равен нулю. А частное двух положительных чисел есть число положительное.
192. Подставьте вместо x данное выражение и упростите полученное выражение:
1) $frac{x — a}{x — b}$, если $x = frac{ab}{a + b}$;
2) $frac{a — bx}{b + ax}$, если $x = frac{a — b}{a + b}$.
Решение:
1) $frac{x — a}{x — b}$, если $x = frac{ab}{a + b}$:
$frac{frac{ab}{a + b} — a}{frac{ab}{a + b} — b} = frac{frac{ab — a(a + b)}{a + b}}{frac{ab — b(a + b)}{a + b}} = frac{ab — a(a + b)}{ab — b(a + b)} = frac{ab — a^2 — ab}{ab — ab — b^2} = frac{-a^2}{-b^2} = frac{a^2}{b^2}$2) $frac{a — bx}{b + ax}$, если $x = frac{a — b}{a + b}$:
$frac{a — b * frac{a — b}{a + b}}{b + a * frac{a — b}{a + b}} = frac{a — frac{b(a — b)}{a + b}}{b + frac{a(a — b)}{a + b}} = frac{frac{a(a + b) — b(a — b)}{a + b}}{frac{b(a + b) + a(a — b)}{a + b}} = frac{a(a + b) — b(a — b)}{b(a + b) + a(a — b)} = frac{a^2 + ab — ab + b^2}{ab + b^2 + a^2 — ab} = frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2} = 1$