№ 56ГДЗ ответы к учебнику Алгебра 8 класс, Мерзляк, Полонский, Якир

Ответы к странице 56

206. Составьте уравнение, равносильное данному:
1) 2x − 3 = 4;
2) |x| = 1;
3) x + 6 = x − 2.

Решение:

1) 2x − 3 = 4
Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.
Равносильное уравнение:
(2x − 3) + 5 = 4 + 5
2x − 3 + 5 = 9
2x + 2 = 9

Проверка:
2x − 3 = 4
2x = 4 + 3
2x = 7
x = 3,5

2x + 2 = 9
2x = 9 − 2
2x = 7
x = 3,5

2) |x| = 1
Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.
|x| : 5 = 1 : 5
$frac{|x|}{5} = frac{1}{5}$

Проверка:
|x| = 1
x = ±1

$frac{|x|}{5} = frac{1}{5} |*5$
|x| = 1
x = ±1

3) x + 6 = x − 2
Если какое−либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
x = x − 2 − 6
x = x − 8

Проверка:
x + 6 = x − 2
x − x = −2 − 6
0 ≠ −8 − нет корней

x = x − 8
x − x = −8
0 ≠ −8 − нет корней

207. Решите уравнение:
1) $frac{x — 6}{x — 4} = 0$;
2) $frac{x — 2}{x^2 — 4} = 0$;
3) $frac{x^2 — 4}{x — 2} = 0$;
4) $frac{x — 2}{x — 2} = 1$;
5) $frac{2x^2 + 18}{x^2 + 9} = 2$;
6) $frac{x}{x — 5} + frac{2x — 9}{x — 5} = 0$;
7) $frac{5x — 7}{x + 1} — frac{x — 5}{x + 1} = 0$;
8) $frac{2x + 16}{x + 3} — frac{1 — 3x}{x + 3} = 0$;
9) $frac{2}{x — 1} + frac{1}{x + 1} = 0$;
10) $frac{3}{x — 2} = frac{4}{x + 3}$;
11) $frac{x}{x — 6} = 2$;
12) $frac{x — 4}{x — 3} = frac{2x + 1}{2x — 1}$;
13) $frac{x + 8}{x} — frac{6}{x — 2} = 0$;
14) $frac{2x}{x — 5} — frac{x^2 + 15x}{x^2 — 25} = 0$;
15) $3 — frac{2x^2 — 5x}{x^2 — 3x} = 0$.

Решение:

1) $frac{x — 6}{x — 4} = 0$
$begin{equation*} begin{cases} x — 6 = 0 &\ x — 4 ≠ 0 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x = 6 &\ x ≠ 4 & end{cases} end{equation*}$
Ответ: x = 6

2) $frac{x — 2}{x^2 — 4} = 0$
$begin{equation*} begin{cases} x — 2 = 0 &\ x^2 — 4 ≠ 0 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x = 2 &\ x^2 ≠ 4 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x = 2 &\ x ≠ ±2 & end{cases} end{equation*}$
Ответ: нет корней

3) $frac{x^2 — 4}{x — 2} = 0$
$begin{equation*} begin{cases} x^2 — 4 = 0 &\ x — 2 ≠ 0 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x^2 = 4 &\ x ≠ 2 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x = ±2 &\ x ≠ 2 & end{cases} end{equation*}$
Ответ: x = −2

4) $frac{x — 2}{x — 2} = 1$
1 = 1
$begin{equation*} begin{cases} 1 = 1 &\ x — 2 ≠ 0 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} 1 = 1 &\ x ≠ 2 & end{cases} end{equation*}$
Ответ: x − любое число, кроме 2.

5) $frac{2x^2 + 18}{x^2 + 9} = 2$
$frac{2(x^2 + 9)}{x^2 + 9} = 2$
2 = 2
$begin{equation*} begin{cases} 2 = 2 &\ x^2 + 9 ≠ 0 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} 2 = 2 &\ x^2 ≠ -9 & end{cases} end{equation*}$
Ответ: x − любое число.

6) $frac{x}{x — 5} + frac{2x — 9}{x — 5} = 0$
$frac{x + 2x — 9}{x — 5} = 0$
$frac{3x — 9}{x — 5} = 0$
$begin{equation*} begin{cases} 3x — 9 = 0 &\ x — 5 ≠ 0 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} 3x = 9 &\ x ≠ 5 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x = 3 &\ x ≠ 5 & end{cases} end{equation*}$
Ответ: x = 3

7) $frac{5x — 7}{x + 1} — frac{x — 5}{x + 1} = 0$
$frac{5x — 7 — (x — 5)}{x + 1} = 0$
$frac{5x — 7 — x + 5}{x + 1} = 0$
$frac{4x — 2}{x + 1} = 0$
$begin{equation*} begin{cases} 4x — 2 = 0 &\ x + 1 ≠ 0 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} 4x = 2 &\ x ≠ -1 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x = 0,5 &\ x ≠ -1 & end{cases} end{equation*}$
Ответ: x = 0,5

8) $frac{2x + 16}{x + 3} — frac{1 — 3x}{x + 3} = 0$
$frac{2x + 16 — (1 — 3x)}{x + 3} = 0$
$frac{2x + 16 — 1 + 3x}{x + 3} = 0$
$frac{5x + 15}{x + 3} = 0$
$frac{5(x + 3)}{x + 3} = 0$
5 ≠ 0
Ответ: нет корней

9) $frac{2}{x — 1} + frac{1}{x + 1} = 0$
$frac{2(x + 1) + x — 1}{(x — 1)(x + 1)} = 0$
$frac{2x + 2 + x — 1}{x^2 — 1} = 0$
$frac{3x + 1}{x^2 — 1} = 0$
$begin{equation*} begin{cases} 3x + 1 = 0 &\ x^2 — 1 ≠ 0 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} 3x = -1 &\ x^2 ≠ 1 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x = -frac{1}{3} &\ x ≠ ±1 & end{cases} end{equation*}$
Ответ: $x = -frac{1}{3}$

10) $frac{3}{x — 2} = frac{4}{x + 3}$
$frac{3}{x — 2} — frac{4}{x + 3} = 0$
$frac{3(x + 3) — 4(x — 2)}{(x — 2)(x + 3)} = 0$
$frac{3x + 9 — 4x + 8}{(x — 2)(x + 3)} = 0$
$frac{17 — x}{(x — 2)(x + 3)} = 0$
$begin{equation*} begin{cases} x — 2 ≠ 0 &\ x + 3 ≠ 0 &\ 17 — x = 0 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x ≠ 2 &\ x ≠ -3 &\ x = 17 & end{cases} end{equation*}$
Ответ: x = 17

11) $frac{x}{x — 6} = 2$
$frac{x}{x — 6} — 2 = 0$
$frac{x — 2(x — 6)}{x — 6} = 0$
$frac{x — 2x + 12}{x — 6} = 0$
$frac{12 — x}{x — 6} = 0$
$begin{equation*} begin{cases} 12 — x = 0 &\ x — 6 ≠ 0 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x = 12 &\ x ≠ 6 & end{cases} end{equation*}$
Ответ: x = 12

12) $frac{x — 4}{x — 3} = frac{2x + 1}{2x — 1}$
$frac{x — 4}{x — 3} — frac{2x + 1}{2x — 1} = 0$
$frac{(x — 4)(2x — 1) — (2x + 1)(x — 3)}{(x — 3)(2x — 1)} = 0$
$frac{2x^2 — 8x — x + 4 — (2x^2 + x — 6x — 3)}{(x — 3)(2x — 1)} = 0$
$frac{2x^2 — 9x + 4 — (2x^2 — 5x — 3)}{(x — 3)(2x — 1)} = 0$
$frac{2x^2 — 9x + 4 — 2x^2 + 5x + 3}{(x — 3)(2x — 1)} = 0$
$frac{7 — 4x}{(x — 3)(2x — 1)} = 0$
$begin{equation*} begin{cases} x — 3 ≠ 0 &\ 2x — 1 ≠ 0 &\ 7 — 4x = 0 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x ≠ 3 &\ 2x ≠ 1 &\ 4x = 7 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x ≠ 3 &\ x ≠ frac{1}{2} &\ x = frac{7}{4} = 1frac{3}{4} & end{cases} end{equation*}$
Ответ: $x = 1frac{3}{4}$

13) $frac{x + 8}{x} — frac{6}{x — 2} = 0$
$frac{(x + 8)(x — 2) — 6x}{x(x — 2)} = 0$
$frac{x^2 + 8x — 2x — 16 — 6x}{x(x — 2)} = 0$
$frac{x^2 — 16}{x(x — 2)} = 0$
$begin{equation*} begin{cases} x ≠ 0 &\ x — 2 ≠ 0 &\ x^2 — 16 = 0 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x ≠ 0 &\ x ≠ 2 &\ x^2 = 16 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x ≠ 0 &\ x ≠ 2 &\ x = ±4 & end{cases} end{equation*}$
Ответ: x = ±4

14) $frac{2x}{x — 5} — frac{x^2 + 15x}{x^2 — 25} = 0$
$frac{2x}{x — 5} — frac{x^2 + 15x}{(x — 5)(x + 5)} = 0$
$frac{2x(x + 5) — (x^2 + 15x)}{(x — 5)(x + 5)} = 0$
$frac{2x^2 + 10x — x^2 — 15x}{(x — 5)(x + 5)} = 0$
$frac{x^2 — 5x}{(x — 5)(x + 5)} = 0$
$frac{x(x — 5)}{(x — 5)(x + 5)} = 0$
$frac{x}{x + 5} = 0$
$begin{equation*} begin{cases} x = 0 &\ x + 5 ≠ 0 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x = 0 &\ x ≠ -5 & end{cases} end{equation*}$
Ответ: x = 0

15) $3 — frac{2x^2 — 5x}{x^2 — 3x} = 0$
$frac{3(x^2 — 3x) — (2x^2 — 5x)}{x^2 — 3x} = 0$
$frac{3x^2 — 9x — 2x^2 + 5x}{x^2 — 3x} = 0$
$frac{x^2 — 4x}{x^2 — 3x} = 0$
$frac{x(x — 4)}{x(x — 3)} = 0$
$frac{x — 4}{x — 3} = 0$
$begin{equation*} begin{cases} x — 4 = 0 &\ x — 3 ≠ 0 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x = 4 &\ x ≠ 3 & end{cases} end{equation*}$
Ответ: x = 4

208. Решите уравнение:
1) $frac{x^2 — 1}{x^2 — 2x + 1} = 0$;
2) $frac{x^2 — 2x + 1}{x^2 — 1} = 0$;
3) $frac{x + 7}{x — 7} — frac{2x — 3}{x — 7} = 0$;
4) $frac{10 — 3x}{x + 8} + frac{5x + 6}{x + 8} = 0$;
5) $frac{x — 6}{x — 2} — frac{x — 8}{x} = 0$;
6) $frac{2x — 4}{x} — frac{3x + 1}{x} + frac{x + 5}{x} = 0$;
7) $frac{x}{x + 6} — frac{36}{x^2 + 6x} = 0$;
8) $frac{2x^2 + 3x + 1}{2x + 1} — x = 1$;
9) $frac{4}{x — 1} — frac{4}{x + 1} = 1$.

Решение:

1) $frac{x^2 — 1}{x^2 — 2x + 1} = 0$
$frac{(x — 1)(x + 1)}{(x — 1)^2} = 0$
$frac{x + 1}{x — 1} = 0$
$begin{equation*} begin{cases} x + 1 = 0 &\ x — 1 ≠ 0 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x = -1 &\ x ≠ 1 & end{cases} end{equation*}$
Ответ: x = −1

2) $frac{x^2 — 2x + 1}{x^2 — 1} = 0$
$frac{(x — 1)^2}{(x — 1)(x + 1)} = 0$
$frac{x — 1}{x + 1} = 0$
$begin{equation*} begin{cases} x — 1 = 0 &\ x^2 — 1 ≠ 0 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x = 1 &\ x^2 ≠ 1 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x = 1 &\ x ≠ ±1 & end{cases} end{equation*}$
Ответ: нет корней

3) $frac{x + 7}{x — 7} — frac{2x — 3}{x — 7} = 0$
$frac{x + 7 — (2x — 3)}{x — 7} = 0$
$frac{x + 7 — 2x + 3}{x — 7} = 0$
$frac{10 — x}{x — 7} = 0$
$begin{equation*} begin{cases} 10 — x = 0 &\ x — 7 ≠ 0 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x = 10 &\ x ≠ 7 & end{cases} end{equation*}$
Ответ: x = 10

4) $frac{10 — 3x}{x + 8} + frac{5x + 6}{x + 8} = 0$
$frac{10 — 3x + 5x + 6}{x + 8} = 0$
$frac{2x + 16}{x + 8} = 0$
$frac{2(x + 8)}{x + 8} = 0$
2 ≠ 0
Ответ: нет корней

5) $frac{x — 6}{x — 2} — frac{x — 8}{x} = 0$
$frac{x(x — 6) — (x — 8)(x — 2)}{x(x — 2)} = 0$
$frac{x^2 — 6x — (x^2 — 8x — 2x + 16)}{x(x — 2)} = 0$
$frac{x^2 — 6x — x^2 + 8x + 2x — 16}{x(x — 2)} = 0$
$frac{4x — 16}{x(x — 2)} = 0$
$begin{equation*} begin{cases} 4x — 16 = 0 &\ x — 2 ≠ 0 &\ x ≠ 0 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} 4x = 16 &\ x ≠ 2 &\ x ≠ 0 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x = 4 &\ x ≠ 2 &\ x ≠ 0 & end{cases} end{equation*}$
Ответ: x = 4

6) $frac{2x — 4}{x} — frac{3x + 1}{x} + frac{x + 5}{x} = 0$
$frac{2x — 4 — (3x + 1) + x + 5}{x} = 0$
$frac{2x — 4 — 3x — 1 + x + 5}{x} = 0$
$frac{0}{x} = 0$
$begin{equation*} begin{cases} 0 = 0 &\ x ≠ 0 & end{cases} end{equation*}$
Ответ: x − любое число, кроме 0.

7) $frac{x}{x + 6} — frac{36}{x^2 + 6x} = 0$
$frac{x}{x + 6} — frac{36}{x(x + 6)} = 0$
$frac{x^2 — 36}{x(x + 6)} = 0$
$begin{equation*} begin{cases} x^2 — 36 = 0 &\ x ≠ 0 &\ x + 6 ≠ 0 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x^2 = 36 &\ x ≠ 0 &\ x ≠ -6 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x = ±6 &\ x ≠ 0 &\ x ≠ -6 & end{cases} end{equation*}$
Ответ: x = 6

8) $frac{2x^2 + 3x + 1}{2x + 1} — x = 1$
$frac{2x^2 + 3x + 1 — x(2x + 1)}{2x + 1} = 1$
$frac{2x^2 + 3x + 1 — 2x^2 — x}{2x + 1} = 1$
$frac{2x + 1}{2x + 1} = 1$
1 = 1
$begin{equation*} begin{cases} 1 = 1 &\ 2x + 1 ≠ 0 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} 1 = 1 &\ 2x ≠ -1 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} 1 = 1 &\ x ≠ -0,5 & end{cases} end{equation*}$
Ответ: x − любое число, кроме −0,5.

9) $frac{4}{x — 1} — frac{4}{x + 1} = 1$
$frac{4}{x — 1} — frac{4}{x + 1} — 1 = 0$
$frac{4(x + 1) — 4(x — 1) — (x — 1)(x + 1)}{(x — 1)(x + 1)} = 0$
$frac{4x + 4 — 4x + 4 — (x^2 — 1)}{(x — 1)(x + 1)} = 0$
$frac{8 — x^2 +1}{(x — 1)(x + 1)} = 0$
$frac{9 — x^2}{x^2 — 1} = 0$
$begin{equation*} begin{cases} 9 — x^2 = 0 &\ x^2 — 1 ≠ 0 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x^2 = 9 &\ x^2 ≠ 1 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x = ±3 &\ x ≠ ±1 & end{cases} end{equation*}$
Ответ: x = ±3

209. Какое число нужно вычесть из числителя и знаменателя дроби $frac{15}{19}$, чтобы получить дробь, равную $frac{2}{3}$?

Решение:

$frac{15 — x}{19 — x} = frac{2}{3}$
$frac{15 — x}{19 — x} — frac{2}{3} = 0$
$frac{3(15 — x) — 2(19 — x)}{3(19 — x)} = 0$
$frac{45 — 3x — 38 + 2x}{3(19 — x)} = 0$
$frac{7 — x}{3(19 — x)} = 0$
$begin{equation*} begin{cases} 7 — x = 0 &\ 3(19 — x) ≠ 0 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x = 7 &\ 19 — x ≠ 0 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x = 7 &\ x ≠ 19 & end{cases} end{equation*}$
Ответ: x = 7

210. Какое число нужно прибавить к числителю и знаменателю дроби $frac{25}{32}$, чтобы получить дробь, равную $frac{5}{6}$?

Решение:

$frac{25 + x}{32 + x} = frac{5}{6}$
$frac{25 + x}{32 + x} — frac{5}{6} = 0$
$frac{6(25 + x) — 5(32 + x)}{6(32 + x)} = 0$
$frac{150 + 6x — 160 — 5x}{6(32 + x)} = 0$
$frac{x — 10}{6(32 + x)} = 0$
$begin{equation*} begin{cases} x — 10 = 0 &\ 6(32 + x) ≠ 0 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x = 10 &\ 32 + x ≠ 0 & end{cases} end{equation*}$
$begin{equation*} begin{cases} x = 10 &\ x ≠ -32 & end{cases} end{equation*}$
Ответ: x = 10