Ответы к странице 63
236. Представьте числа $1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, frac{1}{2}, frac{1}{4}, frac{1}{8}, frac{1}{16}, frac{1}{32}, frac{1}{64}$ в виде степени с основанием:
1) 2;
2) $frac{1}{2}$.
Решение:
1) $1 = 2^0$
$2 = 2^1$
$4 = 2 * 2 = 2^2$
$8 = 2 * 2 * 2 = 2^3$
$16 = 2 * 2 * 2 * 2 = 2^4$
$32 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2^5$
$64 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2^6$
$frac{1}{2} = 2^{-1}$
$frac{1}{4} = frac{1}{2 * 2} = 2^{-2}$
$frac{1}{8} = frac{1}{2 * 2 * 2} = 2^{-3}$
$frac{1}{16} = frac{1}{2 * 2 * 2 * 2} = 2^{-4}$
$frac{1}{32} = frac{1}{2 * 2 * 2 * 2 * 2} = 2^{-5}$
$frac{1}{64} = frac{1}{2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2} = 2^{-6}$2) $1 = (frac{1}{2})^0$
$2 = (frac{1}{2})^{-1}$
$4 = (frac{1}{2})^{-2}$
$8 = (frac{1}{2})^{-3}$
$16 = (frac{1}{2})^{-4}$
$32 = (frac{1}{2})^{-5}$
$64 = (frac{1}{2})^{-6}$
$frac{1}{2} = (frac{1}{2})^1$
$frac{1}{4} = frac{1}{2} * frac{1}{2} = (frac{1}{2})^2$
$frac{1}{8} = frac{1}{2} * frac{1}{2} * frac{1}{2} = (frac{1}{2})^3$
$frac{1}{16} = frac{1}{2} * frac{1}{2} * frac{1}{2} * frac{1}{2} = (frac{1}{2})^4$
$frac{1}{32} = frac{1}{2} * frac{1}{2} * frac{1}{2} * frac{1}{2} * frac{1}{2} = (frac{1}{2})^5$
$frac{1}{64} = frac{1}{2} * frac{1}{2} * frac{1}{2} * frac{1}{2} * frac{1}{2} * frac{1}{2} = (frac{1}{2})^6$
237. Представьте в виде степени однозначного натурального числа дробь:
1) $frac{1}{49}$;
2) $frac{1}{216}$;
3) $frac{1}{625}$;
4) $frac{1}{128}$.
Решение:
1) $frac{1}{49} = frac{1}{7^2} = 7^{-2}$
2) $frac{1}{216} = frac{1}{6^3} = 6^{-3}$
3) $frac{1}{625} = frac{1}{5^4} = 5^{-4}$
4) $frac{1}{128} = frac{1}{2^7} = 2^{-7}$
238. Представьте в виде степени с основанием 10 число:
1) 0,1;
2) 0,01;
3) 0,0001;
4) 0,000001.
Решение:
1) $0,1 = frac{1}{10} = 10^{-1}$
2) $0,01 = frac{1}{100} = frac{1}{10^2} = 10^{-2}$
3) $0,0001 = frac{1}{1000} = frac{1}{10^4} = 10^{-4}$
4) $0,000001 = frac{1}{1000000} = frac{1}{10^6} = 10^{-6}$
239. Представьте числа $1, 3, 9, 27, 81, frac{1}{3}, frac{1}{9}, frac{1}{27}, frac{1}{81}$ в виде степени с основанием:
1) 3;
2) $frac{1}{3}$.
Решение:
1) $1 = 3^0$
$3 = 3^1$
$9 = 3 * 3 = 3^2$
$27 = 3 * 3 * 3 = 3^3$
$81 = 3 * 3 * 3 * 3 = 3^4$
$frac{1}{3} = 3^{-1}$
$frac{1}{9} = frac{1}{3^2} = 3^{-2}$
$frac{1}{27} = frac{1}{3^3} = 3^{-3}$
$frac{1}{81} = frac{1}{3^4} = 3^{-4}$2) $1 = (frac{1}{3})^0$
$3 = (frac{1}{3})^{-1}$
$9 = 3^2 = (frac{1}{3})^{-2}$
$27 = 3^3 = (frac{1}{3})^{-3}$
$81 = 3^4 = (frac{1}{3})^{-4}$
$frac{1}{3} = (frac{1}{3})^{1}$
$frac{1}{9} = frac{1}{3^2} = (frac{1}{3})^{2}$
$frac{1}{27} = frac{1}{3^3} = (frac{1}{3})^{3}$
$frac{1}{81} = frac{1}{3^4} = (frac{1}{3})^{4}$
240. Вычислите:
1) $5^{-2}$;
2) $2^{-4}$;
3) $(-9)^{-2}$;
4) $0,2^{-3}$;
5) $1^{-24}$;
6) $(-1)^{-16}$;
7) $(-1)^{-17}$;
8) $(frac{7}{8})^{0}$;
9) $(frac{2}{3})^{-3}$;
10) $(-1frac{1}{6})^{-2}$.
Решение:
1) $5^{-2} = (frac{1}{5})^2 = frac{1}{25}$
2) $2^{-4} = (frac{1}{2})^4 = frac{1}{16}$
3) $(-9)^{-2} = (frac{1}{-9})^2 = frac{1}{81}$
4) $0,2^{-3} = (frac{2}{10})^{-3} = (frac{1}{5})^{-3} = 5^3 = 125$
5) $1^{-24} = 1^{24} = 1$
6) $(-1)^{-16} = 1^{16} = 1$
7) $(-1)^{-17} = (-1)^{17} = -1$
8) $(frac{7}{8})^{0} = 1$
9) $(frac{2}{3})^{-3} = (frac{3}{2})^{3} = frac{27}{8} = 3frac{3}{8}$
10) $(-1frac{1}{6})^{-2} = (-frac{7}{6})^{-2} = (-frac{6}{7})^2 = frac{36}{49}$
241. Найдите значение выражения:
1) $20^{-2}$;
2) $0,3^{-1}$;
3) $(-6)^{-3}$;
4) $(frac{4}{7})^{-2}$;
5) $(-frac{1}{6})^{-3}$;
6) $(3frac{1}{3})^{-2}$.
Решение:
1) $20^{-2} = (frac{1}{20})^2 = frac{1}{400}$
2) $0,3^{-1} = (frac{3}{10})^{-1} = (frac{10}{3})^1 = 3frac{1}{3}$
3) $(-6)^{-3} = (frac{1}{-6})^3 = -frac{1}{216}$
4) $(frac{4}{7})^{-2} = (frac{7}{4})^{2} = frac{49}{16} = 3frac{1}{16}$
5) $(-frac{1}{6})^{-3} = (-6)^3 = -216$
6) $(3frac{1}{3})^{-2} = (frac{10}{3})^{-2} = (frac{3}{10})^{2} = frac{9}{100}$
242. Вычислите значение выражения:
1) $3^{-1} — 4^{-1}$;
2) $2^{-3} + 6^{-2}$;
3) $(frac{2}{7})^{-1} + (-2,3)^0 — 5^{-2}$;
4) $9 * 0,1^{-1}$;
5) $0,5^{-2} * 4^{-1}$;
6) $(2^{-1} — 8^{-1} * 16)^{-1}$.
Решение:
1) $3^{-1} — 4^{-1} = (frac{1}{3})^1 — (frac{1}{4})^1 = frac{1}{3} — frac{1}{4} = frac{4 — 3}{12} = frac{1}{12}$
2) $2^{-3} + 6^{-2} = (frac{1}{2})^3 + (frac{1}{6})^2 = frac{1}{8} + frac{1}{36} = frac{9 + 2}{72} = frac{11}{72}$
3) $(frac{2}{7})^{-1} + (-2,3)^0 — 5^{-2} = (frac{7}{2})^1 + 1 — (frac{1}{5})^2 = frac{7}{2} + 1 — frac{1}{25} = frac{7 * 25 + 50 — 2}{50} = frac{175 + 50 — 2}{50} = frac{223}{50} = 4frac{23}{50}$
4) $9 * 0,1^{-1} = 9 * (frac{1}{10})^{-1} = 9 * 10 = 90$
5) $0,5^{-2} * 4^{-1} = (frac{5}{10})^{-2} * (frac{1}{4})^1 = (frac{1}{2})^{-2} * frac{1}{4} = 2^2 * frac{1}{4} = 4 * frac{1}{4} = 1$
6) $(2^{-1} — 8^{-1} * 16)^{-1} = (frac{1}{2} — frac{1}{8} * 16)^{-1} = (frac{1}{2} — 2)^{-1} = (frac{1}{2} — frac{4}{2})^{-1} = (-frac{3}{2})^{-1} = -frac{2}{3}$
243. Чему равно значение выражения:
1) $2^{-2} + 2^{-1}$;
2) $3^{-2} — 6^{-1}$;
3) $0,03^0 + 0,7^0$;
4) $(9 * 3^{-3} — 12^{-1})^{-1}$?
Решение:
1) $2^{-2} + 2^{-1} = (frac{1}{2})^2 + (frac{1}{2})^1 = frac{1}{4} + frac{1}{2} = frac{2 + 1}{4} = frac{3}{4}$
2) $3^{-2} — 6^{-1} = (frac{1}{3})^2 — (frac{1}{6})^1 = frac{1}{9} — frac{1}{6} = frac{2 — 3}{18} = frac{-1}{18} = -frac{1}{18}$
3) $0,03^0 + 0,7^0 = 1 + 1 = 2$
4) $(9 * 3^{-3} — 12^{-1})^{-1} = (9 * (frac{1}{3})^3 — (frac{1}{12})^1)^{-1} = (9 * frac{1}{27} — frac{1}{12})^{-1} = (frac{1}{3} — frac{1}{12})^{-1} = (frac{4 — 1}{12})^{-1} = (frac{3}{12})^{-1} = (frac{1}{4})^{-1} = 4$
244. Какое из данных чисел записано в стандартном виде:
1) $12 * 10^4$;
2) $1,2 * 10^4$;
3) $0,12 * 10^4$?
Решение:
Стандартным видом числа называют его запись в виде произведения $a * 10^n$, где 1 ≤ a < 10 и n − целое число.
Тогда:
1) $12 * 10^4$ − нестандартный вид, так как 12 > 10;
2) $1,2 * 10^4$ − стандартный вид, так как 1 ≤ 1,2 < 10;
3) $0,12 * 10^4$ − нестандартный вид, так как 0,12 > 1.
Ответ: 2) $1,2 * 10^4$
245. Запишите число в стандартном виде и укажите порядок числа:
1) 3400;
2) 15;
3) 0,0046;
4) 0,000008;
5) 0,73;
6) $250 * 10^2$;
7) $0,86 * 10^3$;
8) $0,23 * 10^4$;
9) $9300 * 10^5$.
Решение:
1) $3400 = 3,4 * 1000 = 3,4 * 10^3$
3 − порядок числа2) $15 = 1,5 * 10 = 1,5 * 10^1$
1 − порядок числа3) $0,0046 = 4,6 : 1000 = 4,6 * frac{1}{1000} = 4,6 * frac{1}{10^3} = 4,6 * 10^{-3}$
−3 − порядок числа4) $0,000008 = 8 : 1000000 = 8 * frac{1}{1000000} = 8 * frac{1}{10^6} = 8 * 10^{-6}$
−6 − порядок числа5) $0,73 = 7,3 : 10 = 7,3 * frac{1}{10} = 7,3 * frac{1}{10^1} = 7,3 * 10^{-1}$
−1 − порядок числа6) $250 * 10^2 = 2,5 * 100 * 100 = 2,5 * 10000 = 2,5 * 10^4$
4 − порядок числа7) $0,86 * 10^3 = 8,6 : 10 * 1000 = 8,6 * frac{1}{10} * 1000 = 8,6 * 100 = 8,6 * 10^2$
2 − порядок числа8) $0,23 * 10^4 = 2,3 : 10 * 10000 = 2,3 * frac{1}{10} * 10000 = 2,3 * 1000 = 2,3 * 10^3$
3 − порядок числа9) $9300 * 10^5 = 9,3 * 1000 * 100000 = 9,3 * 100000000 = 9,3 * 10^8$
8 − порядок числа
246. Запишите числовые значения величин в стандартном виде:
1) скорость света в вакууме равна 300000 км/с;
2) длина реки Лена, самой протяженной реки России, равна 4400 км;
3) площадь озера Байкал составляет 32000 $км^2$;
4) расстояние от Земли до Солнца составляет 149,6 млн.км;
5) атмосферное давление на высоте 100 км составляет 0,032 Па;
6) диаметр молекулы воды равен 0,00000028 мм.
Решение:
1) $300000 = 3 * 100000 = 3 * 10^5$
Ответ: скорость света в вакууме равна $3 * 10^5$ км/с2) $4400 = 4,4 * 1000 = 4,4 * 10^3$
Ответ: длина реки Лена, самой протяженной реки России, равна $4,4 * 10^3$ км3) $32000 = 3,2 * 10000 = 3,2 * 10^4$
Ответ: площадь озера Байкал составляет $3,2 * 10^4$ $км^2$4) 149,6 млн.км = 149,6 * 1000000 км = 1,496 * 100 * 1000000 км = 1,496 * 100000000 км = $1,496 * 10^8$ км
Ответ: расстояние от Земли до Солнца составляет $1,496 * 10^8$ км5) $0,032 = 3,2 : 100 = 3,2 * frac{1}{100} = 3,2 * frac{1}{10^2} = 3,2 * 10^{-2}$
Ответ: атмосферное давление на высоте 100 км составляет $3,2 * 10^{-2}$ Па6) $0,00000028 = 2,8 : 10000000 = 2,8 * frac{1}{10000000} = 2,8 * frac{1}{10^7} = 2,8 * 10^{-7}$
Ответ: диаметр молекулы воды равен $2,8 * 10^{-7}$ мм.