Ответы к странице 8
5. Найдите допустимые значения переменной, входящей в выражение:
1) 2x − 5;
2) $frac{18}{m}$;
3) $frac{9}{x — 5}$;
4) $frac{x — 5}{9}$;
5) $frac{2 + y}{1 + y}$;
6) $frac{1}{x^2 + 4}$;
7) $frac{5}{x^2-4}$;
8) $frac{5}{|x| — 4}$;
9) $frac{2}{x — 2} + frac{3x}{x + 1}$;
10) $frac{x + 4}{x(x — 6)}$;
11) $frac{x}{|x| + 1}$;
12) $frac{x^2}{(x — 3)(x + 5)}$.
Решение:
1) 2x − 5
x − любое число2) $frac{18}{m}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
m ≠ 0
m − любое число, кроме 0.3) $frac{9}{x — 5}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
x − 5 ≠ 0
x ≠ 5
x − любое число, кроме 54) $frac{x — 5}{9}$
x − любое число5) $frac{2 + y}{1 + y}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
1 + y ≠ 0
y ≠ − 1
y − любое число, кроме −16) $frac{1}{x^2 + 4}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
$x^2 + 4 ≠ 0$
$x^2 ≠ -4$
т.к. квадрат любого числа, всегда число положительное, значит $x^2$ не может бытьт равен −4, следовательно x в знаменателе дроби может быть любым числом.7) $frac{5}{x^2-4}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
$x^2 — 4 ≠ 0$
$x^2 ≠ 4$
$x ≠ ±2$
x − любое число, кроме −2 и 2.8) $frac{5}{|x| — 4}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
|x| − 4 ≠ 0
|x| ≠ 4
x ≠ ±4
x − любое число, кроме −4 и 4.9) $frac{2}{x — 2} + frac{3x}{x + 1}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
x − 2 ≠ 0
x ≠ 2
и
x + 1 ≠ 0
x ≠ −1
x − любое число, кроме −1 и 2.10) $frac{x + 4}{x(x — 6)}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
x(x − 6) ≠ 0
x ≠ 0
и
x − 6 ≠ 0
x ≠ 6
x − любое число, кроме 0 и 6.11) $frac{x}{|x| + 1}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
|x| + 1 ≠ 0
|x| ≠ −1
модуль любого числа всегда число положительное, а значит |x| не может быть равен −1, следовательно x в знаменателе дроби может быть любым числом.12) $frac{x^2}{(x — 3)(x + 5)}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
(x − 3)(x + 5) ≠ 0
x − 3 ≠ 0
x ≠ 3
и
x + 5 ≠ 0
x ≠ −5
x − любое число, кроме −5 и 3.
6. При каких значениях переменных имеет смысл выражение:
1) $frac{9}{y}$;
2) $frac{x + 7}{x + 9}$;
3) $frac{m — 1}{m^2 — 9}$;
4) $frac{x}{|x| — 3}$;
5) $frac{4}{x — 8} + frac{1}{x — 1}$;
6) $frac{2x — 3}{(x + 2)(x — 10)}$?
Решение:
1) $frac{9}{y}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
y ≠ 0
Выражение имеет смысл при любых y, кроме 0.2) $frac{x + 7}{x + 9}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
x + 9 ≠ 0
x ≠ −9
Выражение имеет смысл при любых x, кроме −9.3) $frac{m — 1}{m^2 — 9}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
$m^2 — 9 ≠ 0$
$m^2 ≠ 9$
$m ≠ ±3$
Выражение имеет смысл при любых m, кроме −3 и 3.4) $frac{x}{|x| — 3}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
|x| − 3 ≠ 0
|x| ≠ 3
x ≠ ±3
Выражение имеет смысл при любых x, кроме −3 и 3.5) $frac{4}{x — 8} + frac{1}{x — 1}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
x − 8 ≠ 0
x ≠ 8
и
x − 1 ≠ 0
x ≠ 1
Выражение имеет смысл при любых x, кроме 1 и 8.6) $frac{2x — 3}{(x + 2)(x — 10)}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
(x + 2)(x − 10) ≠ 0
x + 2 ≠ 0
x ≠ −2
и
x − 10 ≠ 0
x ≠ 10
Выражение имеет смысл при любых x, кроме −2 и 10.
7. Запишите рациональную дробь, которая содержит переменную x и имеет смысл при всех значениях x, кроме:
1) x = 7;
2) x = −1;
3) x = 0 и x = 4.
Решение:
1) $frac{2x + 1}{x — 7}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
x − 7 ≠ 0
x ≠ 7
Выражение имеет смысл при любых x, кроме 7.2) $frac{3x}{x + 1}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
x + 1 ≠ 0
x ≠ −1
Выражение имеет смысл при любых x, кроме −1.3) $frac{5x — 2}{x(x — 4)}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
x(x − 4) ≠ 0
x ≠ 0
и
x − 4 ≠ 0
x ≠ 4
Выражение имеет смысл при любых x, кроме 0 и 4.
8. Запишите рациональную дробь, содержащую переменную y, допустимыми значениями которой являются:
1) все числа, кроме 5;
2) все числа, кроме −2 и 0;
3) все числа, кроме 3, −3 и 6;
4) все числа.
Решение:
1) $frac{2y}{y — 5}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
y − 5 ≠ 0
y ≠ 5
Выражение имеет смысл при любых y, кроме 5.2) $frac{3y + 1}{y(y + 2)}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
y ≠ 0
и
y + 2 ≠ 0
y ≠ −2
Выражение имеет смысл при любых y, кроме −2 и 0.3) $frac{7y}{(y — 3)(y + 3)(y — 6)}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
y − 3 ≠ 0
y ≠ 3
и
y + 3 ≠ 0
y ≠ −3
и
y − 6 ≠ 0
y ≠ 6
Выражение имеет смысл при любых y, кроме −3, 3 и 6.4) $frac{9y + 10}{2}$
Выражение имеет смысл при любых y.
9. Автомобиль проехал по шоссе a км со скоростью 75 км/ч и по грунтовой дороге b км со скоростью 40 км/ч. За какое время автомобиль проехал весь путь? Составьте выражение и найдите его значение при a = 150, b = 20.
Решение:
Дано:
v t S
По шоссе 75 км/ч ? a км
По грунтовой
дороге 40 км/ч ? b кмРешение:
1) составим выражение:
$frac{a}{75} + frac{b}{40}$
2) при a = 150, b = 20:
$frac{150}{75} + frac{20}{40} = 2 + frac{1}{2} = 2frac{1}{2}$ ч = 2 ч 30 мин − время за которое автомобиль проехал весь путь.
Ответ: за 2 ч 30 мин.
10. Ученик купил ручки по 58 р., заплатив за них m р., и по 45 р., заплатив за них n р. Сколько ручек купил ученик? Составьте выражение и найдите его значение при m = 174, n = 180.
Решение:
Дано:
цена сумма количество
Ручки №1 58 руб. m руб. ?
Ручки №2 45 руб. n руб. ?Решение:
1) составим выражение:
$frac{m}{58} + frac{n}{45}$
2) при m = 174, n = 180:
$frac{174}{58} + frac{180}{45} = 3 + 4 = 7$ (ручек) − купил ученик.
Ответ: 7 ручек.
11. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной x значение дроби:
1) $frac{1}{x^2}$ положительное;
2) $frac{x^2 + 1}{6x — 9 — x^2}$ отрицательное.
Решение:
1) $frac{1}{x^2}$
Рассмотрим числитель:
1 > 0 − число положительное.
Рассмотрим знаменатель:
$x^2 > 0$ − число положительное, так как квадрат любого числа, всегда число положительное.
Следовательно:
$frac{1}{x^2} > 0$ − число положительное, так как частное двух положительных чисел, есть число положительное.2) $frac{x^2 + 1}{6x — 9 — x^2}$
Рассмотрим числитель:
$x^2 + 1 > 0$ − число положительное, так как $x^2 > 0$ − число положительное и 1 − число положительное. А сумма двух положительных чисел есть число положительное.
Рассмотрим знаменатель:
$6x — 9 — x^2 = -(x^2 — 6x + 9) = -(x — 3)^2$ − число отрицательное, так как $(x — 3)^2$ − число положительное, так как является квадратом числа.
Следовательно:
$frac{x^2 + 1}{6x — 9 — x^2} > 0$ − число отрицательное, так как частное положительного и отрицательного чисел, есть число отрицательное.
12. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной x значение дроби:
1) $frac{-x^2}{x^2 + 5}$ неположительное;
2) $frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 — 2x + 1}$ неотрицательное.
Решение:
1) $frac{-x^2}{x^2 + 5}$
Рассмотрим числитель:
$-x^2 < 0$ − число отрицательное, так как $x^2 > 0$ − число положительное, так как является квадратом числа. Либо $-x^2 = 0$, при x = 0.
Найдем при каком значении x числитель равен 0:
$-x^2 = 0$
$x^2 = 0$
x = 0
Рассмотрим знаменатель:
$x^2 + 5$ − число положительное, так как $x^2 > 0$ − число положительное и 5 − число положительное. А сумма двух положительных чисел есть число положительное.
Следовательно:
$frac{-x^2}{x^2 + 5} ≤ 0$ − число неположительное:
$frac{-x^2}{x^2 + 5} = 0$ при x = 0
и
$frac{-x^2}{x^2 + 5} < 0$ при x ≠ 02) $frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 — 2x + 1}$
Рассмотрим числитель:
$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 > 0$ − число положительное, так как квадрат любого числа есть число положительное.
Найдем при каком значении x числитель равен 0:
$(x + 2)^2 = 0$
x + 2 = 0
x = −2
Рассмотрим знаменатель:
$x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2 > 0$ − число положительное, так как квадрат любого числа есть число положительное.
Знаменатель не может быть равен 0, тогда:
$(x — 1)^2 ≠ 0$
x − 1 ≠ 0
x ≠ 1
Следовательно:
$frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 — 2x + 1} ≥ 0$ − число неотрицательное:
$frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 — 2x + 1} = 0$ при x = −2
и
$frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 — 2x + 1} > 0$ при x ≠ −2 и x ≠ 1
13. Известно, что 5x − 15y = 1. Найдите значение выражения:
1) x − 3y;
2) $frac{8}{2x — 6y}$;
3) $frac{18y — 6x}{9}$;
4) $frac{1}{x^2 — 6xy + 9y^2}$.
Решение:
1) 5x − 15y = 1
5(x − 3y) = 1
$x — 3y = frac{1}{5}$2) $frac{8}{2x — 6y} = frac{8}{2(x — 3y)}$
т.к. $x — 3y = frac{1}{5}$, то:
$frac{8}{2 * frac{1}{5}} = frac{8}{frac{2}{5}} = 8 * frac{5}{2} = 4 * 5 = 20$3) $frac{18y — 6x}{9} = frac{6(3y — x)}{9} = -frac{6(x — 3y)}{9}$
т.к. $x — 3y = frac{1}{5}$, то:
$-frac{6 * frac{1}{5}}{9} = -frac{frac{6}{5}}{9} = -(frac{6}{5} * frac{1}{9}) = -(frac{2}{5} * frac{1}{3}) = -frac{2}{15}$4) $frac{1}{x^2 — 6xy + 9y^2} = frac{1}{(x — 3y)^2}$
т.к. $x — 3y = frac{1}{5}$, то:
$frac{1}{(frac{1}{5})^2} = frac{1}{frac{1}{25}} = 25$