Ответы к странице 122
472. Какие из данных бесконечных дробей являются записями рациональных чисел, а какие − иррациональных:
1) 0,(3);
2) 0,4(32);
3) 0,20200200020… (количество нулей между соседними двойками последовательно увеличивается на 1)?
Решение:
1) 0,(3) − рациональное;
2) 0,4(32) − рациональное;
3) 0,20200200020… − иррациональное.
473. Сравните:
1) 6,542… и 6,452…;
2) −24,064… и −24,165… .
Решение:
1) 6,542… > 6,452..
2) −24,064… > −24,165…
474. Сравните:
1) 0,234… и 0,225…;
2) −1,333… и −1,345… .
Решение:
1) 0,234… > 0,225…
2) −1,333… > −1,345…
475. С помощью микрокалькулятора найдите приближенное значение числа $sqrt{3}$ с точностью до 0,01:
1) по недостатку;
2) по избытку.
Решение:
1) $sqrt{3} = 1,73205… ≈ 1,73$
2) $sqrt{3} = 1,73205… ≈ 1,74$
476. С помощью микрокалькулятора найдите приближенное значение числа $sqrt{5}$ с точностью до 0,01:
1) по недостатку;
2) по избытку.
Решение:
1) $sqrt{5} = 2,23606… ≈ 2,23$
2) $sqrt{5} = 2,23606… ≈ 2,24$
477. Укажите какое−нибудь значение a, при котором уравнение $x^2 = a$:
1) имеет два рациональных корня;
2) имеет два иррациональных корня;
3) не имеет корней.
Решение:
1) $x^2 = a$
при a = 16:
$x^2 = 16$
x = ±4
Ответ: при a = 16 уравнение имеет два рациональных корня: −4 и 4.2) $x^2 = a$
при a = 3:
$x^2 = 3$
$x = ±sqrt{3}$
Ответ: при a = 3 уравнение имеет два рациональных корня: $-sqrt{3}$ и $sqrt{3}$.3) $x^2 = a$
при a = −5:
$x^2 = -5$ − нет корней
Ответ: при a = −5 уравнение не имеет корней.
478. Сравните числа:
1) $frac{43}{7}$ и 6,12;
2) 3,(24) и 3,24;
3) π и 3,(14);
4) −2,(36) и −2,36;
5) 7,(18) и 7,(17).
Решение:
1) $frac{43}{7}$ и 6,12
$frac{43}{7} = 6frac{1}{7} = 6frac{25}{175}$
$6,12 = 6frac{12}{100} = 6frac{21}{175}$
$6frac{25}{175} > 6frac{21}{175}$
$frac{43}{7} > 6,12$2) 3,(24) и 3,24
3,(24) = 3,242424…
3,24 = 3,24000…
3,242424… > 3,24000…
3,(24) > 3,243) π и 3,(14)
π = 3,14159…
3,(14) = 3,1414…
3,14159… > 3,1414…
π > 3,(14)4) −2,(36) и −2,36
−2,(36) = −2,3636…
−2,36 = −2,3600…
−2,3636… < −2,3600...
−2,(36) < −2,365) 7,(18) и 7,(17)
7,(18) = 7,1818…
7,(17) = 7,1717…
7,1818… > 7,1717…
7,(18) > 7,(17)
479. Сравните числа:
1) $frac{1}{6}$ и 0,2;
2) $frac{7}{9}$ и 0,77;
3) −1,(645) и −1,(643).
Решение:
1) $frac{1}{6}$ и 0,2
$frac{1}{6} = frac{5}{30}$
$0,2 = frac{2}{10} = frac{1}{5} = frac{6}{30}$
$frac{5}{30} < frac{6}{30}$
$frac{1}{6} < 0,2$2) $frac{7}{9}$ и 0,77
$frac{7}{9} = frac{700}{900}$
$0,77 = frac{77}{100} = frac{693}{900}$
$frac{700}{900} > frac{693}{900}$
$frac{7}{9} > 0,77$3) −1,(645) и −1,(643)
−1,(645) = −1,645645…
−1,(643) = −1,643643…
−1,645645… < −1,643643...
−1,(645) < −1,(643)
480. Запишите в порядке убывания числа:
3,(16); π; −1,82…; −0,08…; 2,(136).
Решение:
3,(16) = 3,1616…
π = 3,1415…
2,(136) = 2,136136…
3,1616… > 3,1415… > 2,136136… > −0,08… > −1,82…
Ответ:
3,(16) > π > 2,(136) > −0,08… > −1,82…
481. Запишите в порядке возрастания числа:
1,57; 1,571…; $frac{π}{2}$; 1,(56); 1,(572).
Решение:
$frac{π}{2} = frac{3,1415…}{2} = 1,57075…$
1,(56) = 1,5656…
1,(572) = 1,572572…
1,5656… < 1,57 < 1,57075... < 1,571... < 1,572572...
Ответ: $1,(56) < 1,57 < frac{π}{2} < 1,571... < 1,(572)$
482. Докажите, что сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел являются рациональными числами.
Решение:
Любое рациональное число может быть представлено в виде обыкновенной дроби $frac{m}{n}$, где x − целое число, a y − натуральное число.
Возьмем два рациональных числа $frac{m_1}{n_1}$ и $frac{m_2}{n_2}$.
1)
$frac{m_1}{n_1} + frac{m_2}{n_2} = frac{m_1n_2 + n_1m_2}{n_1n_2}$
$m_1n_2$ и $n_1m_2$ являются целыми числами, произведение $n_1n_2$ − является натуральным числом, тогда $m_1n_2 + n_1m_2$ − целое число, так как является суммой двух целых чисел.
Поэтому дробь $frac{m_1n_2 + n_1m_2}{n_1n_2}$ является частным целого и натурального числа, по определению является рациональным числом. Поэтому сумма двух рациональных чисел является рациональным числом.
2)
$frac{m_1}{n_1} — frac{m_2}{n_2} = frac{m_1n_2 — n_1m_2}{n_1n_2}$
$m_1n_2$ и $n_1m_2$ являются целыми числами, произведение $n_1n_2$ − является натуральным числом, тогда $m_1n_2 — n_1m_2$ − целое число, так как является разностью двух целых чисел.
Поэтому дробь $frac{m_1n_2 — n_1m_2}{n_1n_2}$ является частным целого и натурального числа, по определению является рациональным числом. Поэтому разность двух рациональных чисел является рациональным числом.
3)
$frac{m_1}{n_1} * frac{m_2}{n_2} = frac{m_1m_2}{n_1n_2}$
Произведение $m_1m_2$ является целым числом, произведение $n_1n_2$ − натуральное число. Значит дробь $frac{m_1m_2}{n_1n_2}$ является частным целого и натурального чисел, и является рациональным числом. Поэтому произведение двух рациональных чисел является рациональным числом.
4)
$frac{m_1}{n_1} : frac{m_2}{n_2} = frac{m_1}{n_1} * frac{n_2}{m_2} = frac{m_1n_2}{n_1m_2}$
Произведение $m_1n_2$ является целым числом, произведение $n_1m_2$ − натуральное число. Значит дробь $frac{m_1n_2}{n_1m_2}$ является частным целого и натурального чисел, и является рациональным числом. Поэтому частное двух рациональных чисел является рациональным числом.
483. Докажите, что сумма рационально и иррационального чисел является числом иррациональным.
Решение:
Сумма и разность двух рациональных числе есть число рациональное.
Пусть:
q − число рациональное;
i − число иррациональное.
Докажем, что q + i является иррациональным числом.
Предположим, что q + i не является иррациональным числом, то q + i = x − рациональное число.
i = x − q − является рациональным число, так как является разностью двух рациональных чисел, по условию i − число иррациональное. Получили противоречие, поэтому предположение неверно и x − иррациональное число.
Значит, сумма рационального и иррационального чисел является числом иррациональным.