Ответы к странице 142
563. Вынесите множитель из-под знака корня:
1) $sqrt{-m^9}$;
2) $sqrt{a^4b^{13}}$, если a ≠ 0;
3) $sqrt{4x^6y}$, если x < 0;
4) $sqrt{m^7n^7}$, если m ≤ 0, n ≤ 0;
5) $sqrt{45x^3y^{14}}$, если y < 0;
6) $sqrt{64a^2b^{9}}$, если a > 0;
7) $sqrt{242m^{11}b^{18}}$, если b < 0;
8) $sqrt{-m^2n^{2}p^{15}}$, если m > 0, n < 0.
Решение:
1) $sqrt{-m^9} = sqrt{(-m)^8 * (-m)} = |-m|^4 * sqrt{-m} = m^4sqrt{-m}$
2) $sqrt{a^4b^{13}} = sqrt{a^4 * b^{12} * b} = sqrt{(a^2)^2} * sqrt{(b^6)^2} * sqrt{b} = a^2b^6sqrt{b}$, если a ≠ 0
3) $sqrt{4x^6y} = sqrt{4 * (x^3)^2 * y} = sqrt{2^2} * sqrt{(x^3)^2} * sqrt{y} = 2 * |x^3| * sqrt{y} = -2x^3sqrt{y}$, если x < 04) $sqrt{m^7n^7} = sqrt{m^6 * m * n^6 * n} = sqrt{(m^3)^2} * sqrt{m} * sqrt{(n^3)^2} * sqrt{n} = |m^3| * |n^3| * sqrt{mn} = m^3n^3sqrt{mn}$, если m ≤ 0, n ≤ 05) $sqrt{45x^3y^{14}} = sqrt{9 * 5 * x^2 * x * (y^{7})^2} = sqrt{3^2} * sqrt{5} * sqrt{x^2} * sqrt{x} * sqrt{(y^{7})^2} = 3 * |y^7| * sqrt{5x} = -3y^7sqrt{5x}$, если y < 06) $sqrt{64a^2b^{9}} = sqrt{8^2 * a^2 * b^{8} * b} = sqrt{8^2} * sqrt{a^2} * sqrt{(b^4)^2} * sqrt{b} = 8 * |a| * |b^4| * sqrt{b} = 8ab^4sqrt{b}$, если a > 0
7) $sqrt{242m^{11}b^{18}} = sqrt{2 * 121 * m^{10} * m * (b^{9})^2} = sqrt{2} * sqrt{11^2} * sqrt{(m^5)^2} * sqrt{m} * sqrt{(b^9)^2} = 11 * |m^5| * |b^9| * sqrt{2m} = -11m^5b^9sqrt{2m}$, если b < 08) $sqrt{-m^2n^{2}p^{15}} = sqrt{-1 * m^2 * n^{2} * p^{14} * p} = sqrt{m^2} * sqrt{n^2} * sqrt{(p^7)^2} * sqrt{-p} = |m^2| * |n^2| * |p^7| * sqrt{-p} = m^2n^2p^7sqrt{-p}$, если m > 0, n < 0
564. Вынесите множитель из−под знака корня:
1) $sqrt{-m^{19}}$;
2) $sqrt{a^{23}b^{24}}$, если b ≠ 0;
3) $sqrt{49a^{2}b}$, если a < 0;
4) $sqrt{a^9b^9}$;
5) $sqrt{27x^{15}y^{34}}$, если y < 0;
6) $sqrt{-50m^{6}n^6p^7}$, если m > 0, n > 0.
Решение:
1) $sqrt{-m^{19}} = sqrt{-1 * m^{18} * m} = sqrt{(m^9)^2} * sqrt{-m} = |m^9| * sqrt{-m} = -m^9sqrt{-m}$
2) $sqrt{a^{23}b^{24}} = sqrt{a^{22} * a * (b^{12})^2} = sqrt{(a^{11})^2} * sqrt{a} * sqrt{(b^{12})^2} = |a^{11}| * |b^{12}| * sqrt{a} = a^{11}b^{12}sqrt{a}$, если b ≠ 0
3) $sqrt{49a^{2}b} = sqrt{49 * a^{2} * b} = sqrt{7^2} * sqrt{a^2} * sqrt{b} = 7 * |a| * sqrt{b} = -7asqrt{b}$, если a < 04) $sqrt{a^9b^9} = sqrt{a^8 * a * b^8 * b} = sqrt{(a^4)^2} * sqrt{a} * sqrt{(b^4)^2} * sqrt{b} = |a^4| * |b^4| * sqrt{ab} = a^4b^4sqrt{ab}$5) $sqrt{27x^{15}y^{34}} = sqrt{9 * 3 * x^{14} * x * (y^{17})^2} = sqrt{3^2} * sqrt{3} * sqrt{(x^7)^2} * sqrt{x} * sqrt{(y^{17})^2} = 3 * |x^{7}| * |y^{17}| * sqrt{3x} = -3x^7y^{17}sqrt{3x}$, если y < 06) $sqrt{-50m^{6}n^6p^7} = sqrt{-2 * 25 * (m^{3})^2 * (n^3)^2 * p^6 * p} = sqrt{5^2} * sqrt{(m^3)^2} * sqrt{(n^3)^2} * sqrt{(p^3)^2} * sqrt{-2p} = 5 * |m^3| * |n^3| * |p^3| * sqrt{-2p} = -5m^3n^3p^3sqrt{-2p}$, если m > 0, n > 0
565. Внесите множитель под знак корня:
1) $asqrt{3}$;
2) $bsqrt{-b}$;
3) $csqrt{c^5}$;
4) $msqrt{n}$, если m ≥ 0;
5) $xy^2sqrt{xy}$, если x ≤ 0;
6) $2psqrt{frac{p}{2}}$;
7) $2psqrt{-frac{p}{2}}$;
8) $ab^2sqrt{frac{a}{b}}$, если a ≥ 0.
Решение:
1) $asqrt{3} = sqrt{a^2} * sqrt{3} = sqrt{3a^2}$
2) $bsqrt{-b} = sqrt{b^2} * sqrt{-b} = sqrt{b^2 * (-b)} = sqrt{-b^3}$
3) $csqrt{c^5} = sqrt{c^2} * sqrt{c^5} = sqrt{c^2 * c^5} = sqrt{c^7}$
4) $msqrt{n} = sqrt{m^2} * sqrt{n} = sqrt{m^2n}$, если m ≥ 0
5) $xy^2sqrt{xy} = -sqrt{x^2} * sqrt{(y^2)^2} * sqrt{xy} = -sqrt{x^2y^4 * xy} = -sqrt{x^3y^5}$, если x ≤ 0
6) $2psqrt{frac{p}{2}} = sqrt{(2p)^2} * sqrt{frac{p}{2}} = sqrt{4p^2 * (frac{p}{2})} = sqrt{2p^2 * p} = sqrt{2p^3}$
7) $2psqrt{-frac{p}{2}} = -sqrt{(2p)^2} * sqrt{-frac{p}{2}} = -sqrt{4p^2 * (-frac{p}{2})} = -sqrt{2p^2 * (-p)} = -sqrt{-2p^3}$
8) $ab^2sqrt{frac{a}{b}} = sqrt{(ab^2)^2} * sqrt{frac{a}{b}} = sqrt{a^2b^4 * frac{a}{b}} = sqrt{a^2b^3 * a} = sqrt{a^3b^3}$, если a ≥ 0
566. Внесите множитель под знак корня:
1) $msqrt{7}$, если m ≥ 0;
2) $3nsqrt{6}$, если n ≤ 0;
3) $psqrt{p^3}$;
4) $x^4ysqrt{x^5y}$, если y ≤ 0;
5) $7asqrt{frac{3}{a}}$;
6) $5absqrt{-frac{a^7}{5b}}$, если a ≤ 0, b > 0.
Решение:
1) $msqrt{7} = sqrt{m^2} * sqrt{7} = sqrt{7m^2}$, если m ≥ 0
2) $3nsqrt{6} = -sqrt{(3n)^2} * sqrt{6} = -sqrt{9n^2 * 6} = -sqrt{54n^2}$, если n ≤ 0
3) $psqrt{p^3} = sqrt{p^2} * sqrt{p^3} = sqrt{p^2 * p^3} = sqrt{p^5}$
4) $x^4ysqrt{x^5y} = -sqrt{(x^4y)^2} * sqrt{x^5y} = -sqrt{x^8y^2 * x^5y} = -sqrt{x^{13}y^3}$, если y ≤ 0
5) $7asqrt{frac{3}{a}} = sqrt{(7a)^2} * sqrt{frac{3}{a}} = sqrt{49a^2 * frac{3}{a}} = sqrt{49a * 3} = sqrt{147a}$
6) $5absqrt{-frac{a^7}{5b}} = -sqrt{(5ab)^2} * sqrt{-frac{a^7}{5b}} = -sqrt{25a^2b^2 * (-frac{a^7}{5b})} = -sqrt{-5a^2b * a^7} = -sqrt{-5a^9b}$, если a ≤ 0, b > 0
567. Докажите тождество:
1) $(frac{8sqrt{a}}{sqrt{a} + 7} — frac{15sqrt{a}}{a + 14sqrt{a} + 49}) : frac{8sqrt{a} + 41}{a — 49} + frac{7sqrt{a} — 49}{sqrt{a} + 7} = sqrt{a} — 7$;
2) $frac{asqrt{a} + 27}{sqrt{a} — sqrt{b}} * (frac{sqrt{a} — 3}{a — 3sqrt{a} + 9} — frac{sqrt{ab} — 9}{asqrt{a} + 27}) = sqrt{a}$.
Решение:
1) $(frac{8sqrt{a}}{sqrt{a} + 7} — frac{15sqrt{a}}{a + 14sqrt{a} + 49}) : frac{8sqrt{a} + 41}{a — 49} + frac{7sqrt{a} — 49}{sqrt{a} + 7} = (frac{8sqrt{a}}{sqrt{a} + 7} — frac{15sqrt{a}}{(sqrt{a} + 7)^2}) * frac{a — 49}{8sqrt{a} + 41} + frac{7sqrt{a} — 49}{sqrt{a} + 7} = frac{8sqrt{a}(sqrt{a} + 7) — 15sqrt{a}}{(sqrt{a} + 7)^2} * frac{(sqrt{a} — 7)(sqrt{a} + 7)}{8sqrt{a} + 41} + frac{7sqrt{a} — 49}{sqrt{a} + 7} = frac{8a + 56sqrt{a} — 15sqrt{a}}{sqrt{a} + 7} * frac{sqrt{a} — 7}{8sqrt{a} + 41} + frac{7sqrt{a} — 49}{sqrt{a} + 7} = frac{8a + 41sqrt{a}}{sqrt{a} + 7} * frac{sqrt{a} — 7}{8sqrt{a} + 41} + frac{7sqrt{a} — 49}{sqrt{a} + 7} = frac{sqrt{a}(8sqrt{a} + 41)}{sqrt{a} + 7} * frac{sqrt{a} — 7}{8sqrt{a} + 41} + frac{7sqrt{a} — 49}{sqrt{a} + 7} = frac{sqrt{a}}{sqrt{a} + 7} * frac{sqrt{a} — 7}{1} + frac{7sqrt{a} — 49}{sqrt{a} + 7} = frac{a — 7sqrt{a} + 7sqrt{a} — 49}{sqrt{a} + 7} = frac{a — 49}{sqrt{a} + 7} = frac{(sqrt{a} — 7)(sqrt{a} + 7)}{sqrt{a} + 7} = sqrt{a} — 7$
2) $frac{asqrt{a} + 27}{sqrt{a} — sqrt{b}} * (frac{sqrt{a} — 3}{a — 3sqrt{a} + 9} — frac{sqrt{ab} — 9}{asqrt{a} + 27}) = frac{(sqrt{a})^3 + 3^3}{sqrt{a} — sqrt{b}} * (frac{sqrt{a} — 3}{a — 3sqrt{a} + 9} — frac{sqrt{ab} — 9}{(sqrt{a})^3 + 3^3}) = frac{(sqrt{a} + 3)(a — 3sqrt{a} + 9)}{sqrt{a} — sqrt{b}} * (frac{sqrt{a} — 3}{a — 3sqrt{a} + 9} — frac{sqrt{ab} — 9}{(sqrt{a} + 3)(a — 3sqrt{a} + 9)}) = frac{(sqrt{a} + 3)(a — 3sqrt{a} + 9)}{sqrt{a} — sqrt{b}} * frac{(sqrt{a} — 3)(sqrt{a} + 3) — (sqrt{ab} — 9)}{(sqrt{a} + 3)(a — 3sqrt{a} + 9)} = frac{1}{sqrt{a} — sqrt{b}} * frac{a — 9 — sqrt{ab} + 9}{1} = frac{a — sqrt{ab}}{sqrt{a} — sqrt{b}} = frac{sqrt{a}(sqrt{a} — sqrt{b})}{sqrt{a} — sqrt{b}} = sqrt{a}$
568. Упростите выражение:
1) $(frac{sqrt{a} — sqrt{b}}{a + sqrt{ab}} — frac{1}{a — b} * frac{(sqrt{b} — sqrt{a})^2}{sqrt{a} + sqrt{b}}) : frac{sqrt{a} — sqrt{b}}{a + sqrt{ab}}$;
2) $(sqrt{a} + sqrt{b} — frac{2sqrt{ab}}{sqrt{a} + sqrt{b}}) : (frac{sqrt{a} — sqrt{b}}{sqrt{a} + sqrt{b}} + frac{sqrt{b}}{sqrt{a}})$.
Решение:
1) $(frac{sqrt{a} — sqrt{b}}{a + sqrt{ab}} — frac{1}{a — b} * frac{(sqrt{b} — sqrt{a})^2}{sqrt{a} + sqrt{b}}) : frac{sqrt{a} — sqrt{b}}{a + sqrt{ab}} = (frac{sqrt{a} — sqrt{b}}{sqrt{a}(sqrt{a} + sqrt{b})} — frac{1}{(sqrt{a} — sqrt{b})(sqrt{a} + sqrt{b})} * frac{(sqrt{a} — sqrt{b})^2}{sqrt{a} + sqrt{b}}) : frac{sqrt{a} — sqrt{b}}{sqrt{a}(sqrt{a} + sqrt{b})} = (frac{sqrt{a} — sqrt{b}}{sqrt{a}(sqrt{a} + sqrt{b})} — frac{1}{sqrt{a} + sqrt{b}} * frac{sqrt{a} — sqrt{b}}{sqrt{a} + sqrt{b}}) * frac{sqrt{a}(sqrt{a} + sqrt{b})}{sqrt{a} — sqrt{b}} = (frac{sqrt{a} — sqrt{b}}{sqrt{a}(sqrt{a} + sqrt{b})} — frac{sqrt{a} — sqrt{b}}{(sqrt{a} + sqrt{b})^2}) * frac{sqrt{a}(sqrt{a} + sqrt{b})}{sqrt{a} — sqrt{b}} = frac{(sqrt{a} — sqrt{b})(sqrt{a} + sqrt{b}) — sqrt{a}(sqrt{a} — sqrt{b})}{sqrt{a}(sqrt{a} + sqrt{b})^2} * frac{sqrt{a}(sqrt{a} + sqrt{b})}{sqrt{a} — sqrt{b}} = frac{(sqrt{a} — sqrt{b})(sqrt{a} + sqrt{b} — sqrt{a})}{sqrt{a} + sqrt{b}} * frac{1}{sqrt{a} — sqrt{b}} = frac{sqrt{b}}{sqrt{a} + sqrt{b}}$
2) $(sqrt{a} + sqrt{b} — frac{2sqrt{ab}}{sqrt{a} + sqrt{b}}) : (frac{sqrt{a} — sqrt{b}}{sqrt{a} + sqrt{b}} + frac{sqrt{b}}{sqrt{a}}) = frac{sqrt{a}(sqrt{a} + sqrt{b}) + sqrt{b}(sqrt{a} + sqrt{b}) — 2sqrt{ab}}{sqrt{a} + sqrt{b}} : frac{sqrt{a}(sqrt{a} — sqrt{b}) + sqrt{b}(sqrt{a} + sqrt{b})}{sqrt{a}(sqrt{a} + sqrt{b})} = frac{a + sqrt{ab} + sqrt{ab} + b — 2sqrt{ab}}{sqrt{a} + sqrt{b}} : frac{a — sqrt{ab} + sqrt{ab} + b}{sqrt{a}(sqrt{a} + sqrt{b})} = frac{a + b}{sqrt{a} + sqrt{b}} : frac{a + b}{sqrt{a}(sqrt{a} + sqrt{b})} = frac{a + b}{sqrt{a} + sqrt{b}} * frac{sqrt{a}(sqrt{a} + sqrt{b})}{a + b} = sqrt{a}$