Ответы к странице 143
569. Упростите выражение:
1) $sqrt{3 + 2sqrt{2}}$;
2) $sqrt{7 + 4sqrt{3}}$;
3) $sqrt{11 + 2sqrt{30}}$.
Решение:
1) $sqrt{3 + 2sqrt{2}} = sqrt{1 + 2 + 2sqrt{2}} = sqrt{2 + 2sqrt{2} + 1} = sqrt{(sqrt{2})^2 + 2 * 1 * sqrt{2} + 1^2} = sqrt{(sqrt{2} + 1)^2} = |sqrt{2} + 1| = sqrt{2} + 1$
2) $sqrt{7 + 4sqrt{3}} = sqrt{4 + 3 + 4sqrt{3}} = sqrt{4 + 4sqrt{3} + 3} = sqrt{2^2 + 2 * 2 * sqrt{3} + (sqrt{3})^2} = sqrt{(2 + sqrt{3})^2} = |2 + sqrt{3}| = 2 + sqrt{3}$
3) $sqrt{11 + 2sqrt{30}} = sqrt{5 + 6 + 2sqrt{30}} = sqrt{5 + 2sqrt{30} + 6} = sqrt{(sqrt{5})^2 + 2sqrt{5 * 6} + (sqrt{6})^2} = sqrt{(sqrt{5} + sqrt{6})^2} = |sqrt{5} + sqrt{6}| = sqrt{5} + sqrt{6}$
570. Упростите выражение:
1) $sqrt{8 + 2sqrt{7}}$;
2) $sqrt{15 + 6sqrt{6}}$;
3) $sqrt{7 + 2sqrt{10}}$.
Решение:
1) $sqrt{8 + 2sqrt{7}} = sqrt{7 + 1 + 2sqrt{7}} = sqrt{7 + 2sqrt{7} + 1} = sqrt{(sqrt{7})^2 + 2 * 1 * sqrt{7} + 1^2} = sqrt{(sqrt{7} + 1)^2} = |sqrt{7} + 1| = sqrt{7} + 1$
2) $sqrt{15 + 6sqrt{6}} = sqrt{6 + 9 + 6sqrt{6}} = sqrt{6 + 6sqrt{6} + 9} = sqrt{(sqrt{6})^2 + 2 * 3 * sqrt{6} + 3^2} = sqrt{(sqrt{6} + 3)^2} = |sqrt{6} + 3| = sqrt{6} + 3$
3) $sqrt{7 + 2sqrt{10}} = sqrt{2 + 5 + 2sqrt{10}} = sqrt{2 + 2sqrt{10} + 5} = sqrt{(sqrt{2})^2 + 2sqrt{2 * 5} + (sqrt{5})^2} = sqrt{(sqrt{2} + sqrt{5})^2} = |sqrt{2} + sqrt{5}| = sqrt{2} + sqrt{5}$
571. Упростите выражение:
$frac{1}{sqrt{2} + 1} + frac{1}{sqrt{3} + sqrt{2}} + frac{1}{sqrt{4} + sqrt{3}} + frac{1}{sqrt{5} + sqrt{4}} + … + frac{1}{sqrt{100} + sqrt{99}}$.
Решение:
$frac{1}{sqrt{2} + 1} + frac{1}{sqrt{3} + sqrt{2}} + frac{1}{sqrt{4} + sqrt{3}} + frac{1}{sqrt{5} + sqrt{4}} + … + frac{1}{sqrt{100} + sqrt{99}} = frac{1(sqrt{2} — 1)}{(sqrt{2} + 1)(sqrt{2} — 1)} + frac{1(sqrt{3} — sqrt{2})}{(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} — sqrt{2})} + frac{1(sqrt{4} — sqrt{3})}{(sqrt{4} + sqrt{3})(sqrt{4} — sqrt{3})} + frac{1(sqrt{5} — sqrt{4})}{(sqrt{5} + sqrt{4})(sqrt{5} — sqrt{4})} + … + frac{1(sqrt{100} — sqrt{99})}{(sqrt{100} + sqrt{99})(sqrt{100} — sqrt{99})} = frac{sqrt{2} — 1}{2 — 1} + frac{sqrt{3} — sqrt{2}}{3 — 2} + frac{sqrt{4} — sqrt{3}}{4 — 3} + frac{sqrt{5} — sqrt{4}}{5 — 4} + … + frac{sqrt{100} — sqrt{99}}{100 — 99} = sqrt{2} — 1 + sqrt{3} — sqrt{2} + sqrt{4} — sqrt{3} + sqrt{5} — sqrt{4} + … + sqrt{100} — sqrt{99} = -1 + 10 = 9$
572. Докажите, что:
$frac{1}{sqrt{3} + 1} + frac{1}{sqrt{5} + sqrt{3}} + frac{1}{sqrt{7} + sqrt{5}} + … + frac{1}{sqrt{91} + sqrt{89}} = frac{sqrt{91} — 1}{2}$.
Решение:
$frac{1}{sqrt{3} + 1} + frac{1}{sqrt{5} + sqrt{3}} + frac{1}{sqrt{7} + sqrt{5}} + … + frac{1}{sqrt{91} + sqrt{89}} = frac{1(sqrt{3} — 1)}{(sqrt{3} + 1)(sqrt{3} — 1)} + frac{1(sqrt{5} — sqrt{3})}{(sqrt{5} + sqrt{3})(sqrt{5} — sqrt{3})} + frac{1(sqrt{7} — sqrt{5})}{(sqrt{7} + sqrt{5})(sqrt{7} — sqrt{5})} + … + frac{1(sqrt{91} — sqrt{89})}{(sqrt{91} + sqrt{89})(sqrt{91} — sqrt{89})} = frac{sqrt{3} — 1}{2} + frac{sqrt{5} — sqrt{3}}{2} + frac{sqrt{7} — sqrt{5}}{2} + … + frac{sqrt{91} — sqrt{89}}{2} = frac{sqrt{3} — 1 + sqrt{5} — sqrt{3} + sqrt{7} — sqrt{5} + … + sqrt{91} — sqrt{89}}{2} = frac{-1 + sqrt{91}}{2} = frac{sqrt{91} — 1}{2}$
573. Докажите, что:
$sqrt{2} * sqrt{2 + sqrt{2}} * sqrt{2 + sqrt{2 + sqrt{2}}} * sqrt{2 — sqrt{2 + sqrt{2}}} = 2$.
Решение:
$sqrt{2} * sqrt{2 + sqrt{2}} * sqrt{2 + sqrt{2 + sqrt{2}}} * sqrt{2 — sqrt{2 + sqrt{2}}} = sqrt{2} * sqrt{2 + sqrt{2}} * sqrt{(2 + sqrt{2 + sqrt{2}})(2 — sqrt{2 + sqrt{2}})} = sqrt{2} * sqrt{2 + sqrt{2}} * sqrt{2^2 — (sqrt{2 + sqrt{2}})^2} = sqrt{2} * sqrt{2 + sqrt{2}} * sqrt{4 — (2 + sqrt{2})} = sqrt{2} * sqrt{2 + sqrt{2}} * sqrt{4 — 2 — sqrt{2}} = sqrt{2} * sqrt{2 + sqrt{2}} * sqrt{2 — sqrt{2}} = sqrt{2} * sqrt{(2 + sqrt{2})(2 — sqrt{2})} = sqrt{2} * sqrt{2^2 — (sqrt{2})^2} = sqrt{2} * sqrt{4 — 2} = sqrt{2} * sqrt{2} = (sqrt{2})^2 = 2$
574. Упростите выражение:
1) $sqrt{10 + 8sqrt{2 + sqrt{9 + 4sqrt{2}}}}$;
2) $sqrt{22 + 6sqrt{3 + sqrt{13 + sqrt{48}}}}$.
Решение:
1) $sqrt{10 + 8sqrt{2 + sqrt{9 + 4sqrt{2}}}} = sqrt{10 + 8sqrt{2 + sqrt{8 + 4sqrt{2} + 1}}} = sqrt{10 + 8sqrt{2} + sqrt{(2sqrt{2} + 1)^2}} = sqrt{10 + 8sqrt{2 + 2sqrt{2} + 1}} = sqrt{10 + 8sqrt{(sqrt{2} + 1)^2}} = sqrt{10 + 8(sqrt{2} + 1)} = sqrt{10 + 8sqrt{2} + 8} = sqrt{2(5 + 4sqrt{2} + 4)} = sqrt{2} * sqrt{9 + 4sqrt{2}} = sqrt{2} * sqrt{8 + 4sqrt{2} + 1} = sqrt{2} * sqrt{(2sqrt{2} + 1)^2} = sqrt{2} * (2sqrt{2} + 1) = 2sqrt{4} + sqrt{2} = 2 * 2 + sqrt{2} = 4 + sqrt{2}$
2) $sqrt{22 + 6sqrt{3 + sqrt{13 + sqrt{48}}}} = sqrt{22 + 6sqrt{3 + sqrt{12 + sqrt{16 * 3} + 1}}} = sqrt{22 + 6sqrt{3 + sqrt{(2sqrt{3} + 1)^2}}} = sqrt{22 + 6sqrt{3 + 2sqrt{3} + 1}} = sqrt{22 + 6sqrt{(sqrt{3} + 1)^2}} = sqrt{22 + 6(sqrt{3} + 1)} = sqrt{22 + 6sqrt{3} + 6} = sqrt{28 + 6sqrt{3}} = sqrt{27 + 6sqrt{3} + 1} = sqrt{(3sqrt{3} + 1)^2} = 3sqrt{3} + 1$
575. Рабочий должен был изготовлять ежедневно по 12 деталей. Однако он изготовлял ежедневно по 15 деталей, и уже за 5 дней до окончания срока работы ему осталось изготовить 30 деталей. Сколько деталей должен был изготовить рабочий?
Решение:
Пусть x (дней) − должен был работать рабочий по плану, тогда:
12x (деталей) − должен был изготовить рабочий;
x − 5 (дней) − работал рабочий фактически;
15(x − 5) (деталей) − изготовил рабочий фактически.
Так как, до окончания срока работы рабочему осталось изготовить 30 деталей, можно составить уравнение:
12x − 15(x − 5) = 30
12x − 15x + 75 = 30
−3x = 30 − 75
−3x = −45
x = 15 (дней) − должен был работать рабочий по плану, тогда:
12x = 12 * 15 = 180 (деталей) − должен был изготовить рабочий.
Ответ: 180 деталей
576. При распродаже цену на товар снизили на 20%. На сколько процентов нужно повысить цену на товар, чтобы она стала равна первоначальной?
Решение:
Пусть x (руб.) − начальная цена товара, тогда:
x − 0,2x = 0,8x (руб.) − цена товара на распродаже;
$frac{x}{0,8x} = frac{1}{frac{8}{10}} = frac{10}{8} = 1frac{2}{8} = 1frac{1}{4} = 1,25$ (раза) − нужно повысить цену на товар, чтобы она стала равна первоначальной;
(1,25 − 1) * 100% = 0,25 * 100% = на 25% − нужно повысить цену на товар, чтобы она стала равна первоначальной.
Ответ: на 25%
577. Лодка проплыла 32 км по течению реки за 4 ч, а против течения − за 8 ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.
Решение:
1) 32 : 4 = 8 (км/ч) − скорость лодки по течению реки;
2) 32 : 8 = 4 (км/ч) − скорость лодки против течения реки;
3) 8 − 4 = 4 (км/ч) − удвоенная скорость течения реки;
4) 4 : 2 = 2 (км/ч) − скорость течения реки;
5) 8 − 2 = 6 (км/ч) − собственная скорость лодки.
Ответ: 6 км/ч − скорость лодки; 2 км/ч − скорость течения реки.
578. Федя и Оля ехали в одном поезде. Федя сел в двенадцатый вагон от головы поезда, а Оля − в шестой вагон от хвоста поезда. Оказалось что они едут в одном вагоне. Сколько вагонов в поезде?
Решение:
Так как, Оля села в шестой вагон от хвоста поезда, то после вагона в который села Федя и Оля до хвоста поезда осталось
6 − 1 = 5 (вагонов)
Значит:
12 + (6 − 1) = 12 + 5 = 17 (вагонов) − было всего в поезде.
Ответ: 17 вагонов
579. Число a − положительное, а число b − отрицательное. Какое из данных выражений принимает наибольшее значение:
1) $a^2b$;
2) $-a^2b^2$;
3) $-ab^2$;
4) $ab$;
5) $-a^2b$?
Решение:
1) $a^2b < 0$, так как $a^2 > 0$, b < 0;
2) $-a^2b^2 < 0$, так как $-a^2 < 0$, $b^2 > 0$;
3) $-ab^2 < 0$, так как $-a < 0$, $b^2 > 0$;
4) $ab < 0$, так как a > 0, b < 0;
5) $-a^2b > 0$, так как $-a^2 < 0$, $b < 0$.
Ответ: любое положительное число больше отрицательного, а так как только пятое выражение положительное, значит оно принимает наибольшее значение.