Ответы к странице 149
598. Упростите выражение:
1) $sqrt{(1 — sqrt{2})^2}$;
2) $sqrt{(sqrt{6} — sqrt{7})^2}$;
3) $sqrt{(2sqrt{5} — 3)^2}$;
4) $sqrt{(sqrt{3} — 2)^2} + sqrt{(3 — sqrt{3})^2}$.
Решение:
1) $1 = sqrt{1}$
$sqrt{1} < sqrt{2}$
$1 < sqrt{2}$
тогда:
$sqrt{(1 — sqrt{2})^2} = |1 — sqrt{2}| = -1 + sqrt{2} = sqrt{2} — 1$2) $sqrt{6} < sqrt{7}$
тогда:
$sqrt{(sqrt{6} — sqrt{7})^2} = |sqrt{6} — sqrt{7}| = -sqrt{6} + sqrt{7} = sqrt{7} — sqrt{6}$3) $2sqrt{5} = sqrt{4 * 5} = sqrt{20}$
$3 = sqrt{9}$
$sqrt{20} > sqrt{9}$
$2sqrt{5} > 3$
тогда:
$sqrt{(2sqrt{5} — 3)^2} = |2sqrt{5} — 3| = 2sqrt{5} — 3$4) $2 = sqrt{4}$
$sqrt{3} < sqrt{4}$
$sqrt{3} < 2$
$3 = sqrt{9}$
$sqrt{9} > sqrt{3}$
$3 > sqrt{3}$
тогда:
$sqrt{(sqrt{3} — 2)^2} + sqrt{(3 — sqrt{3})^2} = |sqrt{3} — 2| + |3 — sqrt{3}| = 2 — sqrt{3} + 3 — sqrt{3} = 5 — 2sqrt{3}$
599. Упростите выражение:
1) $sqrt{(sqrt{5} — 4)^2}$;
2) $sqrt{(sqrt{8} — 3)^2} — sqrt{(sqrt{2} — 3)^2}$.
Решение:
1) $4 = sqrt{16}$
$sqrt{5} < sqrt{16}$
$sqrt{5} < 4$
тогда:
$sqrt{(sqrt{5} — 4)^2} = |sqrt{5} — 4| = 4 — sqrt{5}$2) $3 = sqrt{9}$
$sqrt{8} < sqrt{9}$
$sqrt{8} < 3$
$sqrt{2} < sqrt{9}$
$sqrt{2} < 3$
тогда:
$sqrt{(sqrt{8} — 3)^2} — sqrt{(sqrt{2} — 3)^2} = |sqrt{8} — 3| — |sqrt{2} — 3| = 3 — sqrt{8} — (3 — sqrt{2}) = 3 — sqrt{8} — 3 + sqrt{2} = sqrt{2} — sqrt{8} = sqrt{2} — sqrt{4 * 2} = sqrt{2} — 2sqrt{2} = -sqrt{2}$
600. Решите уравнение $sqrt{x} = -x^2$.
Решение:
$sqrt{x} = -x^2$
ОДЗ: x ≥ 0
$-x^2 ≥ 0$
$x^2 ≤ 0$
x = 0
Ответ: x = 0
601. Дана функция
$ƒ(x) = begin{equation*} begin{cases} frac{4}{x}, если;x < 0 &\ sqrt{x}, если;x ≥ 0 & end{cases} end{equation*}$
1) Найдите: ƒ(−8), ƒ(0), ƒ(9).
2) Постройте график данной функции.
Решение:
1)
$ƒ(x) = begin{equation*} begin{cases} frac{4}{x}, если;x < 0 &\ sqrt{x}, если;x ≥ 0 & end{cases} end{equation*}$
$ƒ(-8) = frac{4}{-8} = -0,5$
$ƒ(0) = sqrt{0} = 0$
$ƒ(9) = sqrt{9} = 3$
2)
$y = frac{4}{x}$, если x < 0
$y = sqrt{x}$, если x ≥ 0
602. Дана функция
$ƒ(x) = begin{equation*} begin{cases} x^2, если;x ≤ 1 &\ sqrt{x}, если;x > 1 & end{cases} end{equation*}$
1) Найдите: ƒ(−2), ƒ(0), ƒ(1), ƒ(4).
2) Постройте график данной функции.
Решение:
1)
$ƒ(x) = begin{equation*} begin{cases} x^2, если;x ≤ 1 &\ sqrt{x}, если;x > 1 & end{cases} end{equation*}$
$ƒ(-2) = (-2)^2 = 4$
$ƒ(0) = 0^2 = 0$
$ƒ(1) = 1^2 = 1$
$ƒ(4) = sqrt{4} = 2$
2)
$y = x^2$, если x ≤ 1
$y = sqrt{x}$, если x > 1
603. Найдите область определения, область значений и нули функции $y = sqrt{-x}$. Постройте график данной функции.
Решение:
$y = sqrt{-x}$
Область определения:
−x ≥ 0
x ≤ 0
Область значений:
x ≥ 0
Нули функции:
$sqrt{-x} = 0$
−x = 0
x = 0
604. Постройте график функции $y = frac{x}{sqrt{x}}$.
Решение:
$y = frac{x}{sqrt{x}}$
Область определения:
x > 0
Область значений:
y > 0
$y = frac{x}{sqrt{x}} = frac{(sqrt{x})^2}{sqrt{x}} = sqrt{x}$
605. Упростите выражение:
1) $sqrt{8 — 2sqrt{7}}$;
2) $sqrt{5 — 2sqrt{6}}$;
3) $sqrt{12 — 6sqrt{3}}$;
4) $sqrt{38 — 12sqrt{2}}$.
Решение:
1) $sqrt{8 — 2sqrt{7}} = sqrt{1 + 7 — 2sqrt{7}} = sqrt{1^2 — 2 * 1 * sqrt{7} + (sqrt{7})^2} = sqrt{(1 — sqrt{7})^2} = |1 — sqrt{7}| = -1 + sqrt{7} = sqrt{7} — 1$
2) $sqrt{5 — 2sqrt{6}} = sqrt{3 + 2 — 2sqrt{6}} = sqrt{(sqrt{3})^2 — 2sqrt{3 * 2} + (sqrt{2})^2} = sqrt{(sqrt{3} — sqrt{2})^2} = |sqrt{3} — sqrt{2}| = sqrt{3} — sqrt{2}$
3) $sqrt{12 — 6sqrt{3}} = sqrt{9 + 3 — 6sqrt{3}} = sqrt{3^2 — 2 * 3 * sqrt{3} + (sqrt{3})^2} = sqrt{(3 — sqrt{3})^2} = |3 — sqrt{3}| = 3 — sqrt{3}$
4) $sqrt{38 — 12sqrt{2}} = sqrt{36 + 2 — 12sqrt{2}} = sqrt{6^2 — 2 * 6 * sqrt{2} + (sqrt{2})^2} = sqrt{(6 — sqrt{2})^2} = |6 — sqrt{2}| = 6 — sqrt{2}$
606. Упростите выражение:
1) $sqrt{9 — 4sqrt{5}}$;
2) $sqrt{7 — 2sqrt{10}}$;
3) $sqrt{37 — 20sqrt{3}}$.
Решение:
1) $sqrt{9 — 4sqrt{5}} = sqrt{4 + 5 — 4sqrt{5}} = sqrt{2^2 — 2 * 2 * sqrt{5} + (sqrt{5})^2} = sqrt{(2 — sqrt{5})^2} = |2 — sqrt{5}| = -2 + sqrt{5} = sqrt{5} — 2$
2) $sqrt{7 — 2sqrt{10}} = sqrt{5 + 2 — 2sqrt{10}} = sqrt{(sqrt{5})^2 — 2sqrt{5 * 2} + (sqrt{2})^2} = sqrt{(sqrt{5} — sqrt{2})^2} = |sqrt{5} — sqrt{2}| = sqrt{5} — sqrt{2}$
3) $sqrt{37 — 20sqrt{3}} = sqrt{25+ 12 — 20sqrt{3}} = sqrt{5^2 — 2 * 5 * 2sqrt{3} + (2sqrt{3})^2} = sqrt{(5 — 2sqrt{3})^2} = |5 — 2sqrt{3}| = 5 — 2sqrt{3}$
607. Сколько корней имеет уравнение $sqrt{x} = a — x$ в зависимости от значения a?
Решение:
$sqrt{x} = a — x$
$sqrt{x} + x = a$
$sqrt{x}(1 + sqrt{x}) = a$
при a = 0:
$sqrt{x}(1 + sqrt{x}) = 0$
$sqrt{x} = 0$
$x = 0$
или
$1 + sqrt{x} = 0$
$sqrt{x} = -1$
при a < 0:
еcли a < 0, то $sqrt{x} + x < 0$, что невозможно, так как x ≥ 0, поэтому при a < 0 нет корней.
при a > 0:
если a > 0, то уравнение имеет 1 корень.
Ответ:
при a = 0: x = 0;
при a < 0: корней нет;
при a > 0: один корень.
608. Упростите выражение
$sqrt{(sqrt{a} + 1)^2 — 4sqrt{a}} + sqrt{(sqrt{a} — 2)^2 + 8sqrt{a}}$.
Решение:
$sqrt{(sqrt{a} + 1)^2 — 4sqrt{a}} + sqrt{(sqrt{a} — 2)^2 + 8sqrt{a}} = sqrt{(sqrt{a})^2 + 2sqrt{a} + 1^2 — 4sqrt{a}} + sqrt{(sqrt{a})^2 — 2 * 2sqrt{a} + 2^2 + 8sqrt{a}} = sqrt{a + 2sqrt{a} + 1 — 4sqrt{a}} + sqrt{a — 4sqrt{a} + 4 + 8sqrt{a}} = sqrt{a — 2sqrt{a} + 1} + sqrt{a + 4sqrt{a} + 4} = sqrt{(sqrt{a})^2 — 2sqrt{a} + 1^2} + sqrt{(sqrt{a})^2 + 2 * 2sqrt{a} + 2^2} = sqrt{(sqrt{a} — 1)^2} + sqrt{(sqrt{a} + 2)^2} = |sqrt{a} — 1| + |sqrt{a} + 2|$
т.к. a ≥ 0, то $sqrt{a} + 2 > 0$
1)
$sqrt{a} — 1 ≥ 0$
$sqrt{a} ≥ 0$ и a ≥ 1
$sqrt{a} + 2 ≥ 0$
$|sqrt{a} — 1| + |sqrt{a} + 2| = sqrt{a} — 1 + sqrt{a} + 2 = 2sqrt{a} + 1$
2)
если $sqrt{a} — 1 < 0$, то есть $sqrt{a} < 1, 0 < a < 1$
$|sqrt{a} — 1| + |sqrt{a} + 2| = -sqrt{a} + 1 + sqrt{a} + 2 = 3$
Ответ:
при a ≥ 1 выражение равно $2sqrt{a} + 1$;
при 0 < a < 1 значение выражения равно 3.
609. Упростите выражение
$sqrt{(sqrt{a} — 6)^2 + 24sqrt{a}} — sqrt{(sqrt{a} + 6)^2 — 24sqrt{a}}$.
Решение:
$sqrt{(sqrt{a} — 6)^2 + 24sqrt{a}} — sqrt{(sqrt{a} + 6)^2 — 24sqrt{a}} = sqrt{(sqrt{a})^2 — 2 * 6sqrt{a} + 6^2 + 24sqrt{a}} — sqrt{(sqrt{a})^2 + 2 * 6sqrt{a} + 6^2 — 24sqrt{a}} = sqrt{a — 12sqrt{a} + 36 + 24sqrt{a}} — sqrt{a + 12sqrt{a} + 36 — 24sqrt{a}} = sqrt{a + 12sqrt{a} + 36} — sqrt{a — 12sqrt{a} + 36} = sqrt{(sqrt{a})^2 + 2 * 6sqrt{a} + 6^2} — sqrt{(sqrt{a})^2 — 2 * 6sqrt{a} + 6^2} = sqrt{(sqrt{a} + 6)^2} — sqrt{(sqrt{a} — 6)^2} = |sqrt{a} + 6| — |sqrt{a} — 6|$
т.к. a ≥ 0, тогда $sqrt{a} + 6 > 0$
1)
$sqrt{a} — 6 ≥ 0$
$sqrt{a} ≥ 6$
a ≥ 36
$|sqrt{a} + 6| — |sqrt{a} — 6| = sqrt{a} + 6 — sqrt{a} + 6 = 12$
2)
$sqrt{a} — 6 < 0$
$sqrt{a} < 6$
0 < a < 36
$|sqrt{a} + 6| — |sqrt{a} — 6| = sqrt{a} + 6 — (-sqrt{a} + 6) = sqrt{a} + 6 + sqrt{a} — 6 = 2sqrt{a}$
Ответ:
при a ≥ 36 значение выражения равно 12;
при 0 < a < 36 значение выражения равно $2sqrt{a}$.